2024-2025学年四川省南充市白塔中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年四川省南充市白塔中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 若直线的斜率是，则其倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.已知事件，互斥，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知点，，，，则异面直线与的夹角为( )
A. B. C. D.
4.已知圆：与圆关于直线对称，则圆的标准方程为( )
A. B.
C. D.
5.中，，，，则的面积( )
A. B. C. D.
6.，，函数的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知点是圆：上的动点，则下面说法正确的是( )
A. 圆的半径为
B. 的最大值为
C. 的最小值为
D. 的最大值为
8.点为圆：上的一动点，为圆：上一动点，为坐标原点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在长方体中，，，动点在体对角线上含端点，则下列结论正确的有( )
A. 长方体的表面积为
B. 若，则的值为
C. 当为中点时，为锐角
D. 不存在点，使得平面
10.以下四个命题表述正确的是( )
A. 若空间中任意一点，有，则，，，四点共面
B. 若直线：与直线：平行，则直线与之间的距离为
C. 过点的直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的方程为
D. 若直线的方向向量为，平面的一个法向量为，则
11.如图，经过坐标原点且互相垂直的两条直线和与圆相交于，，，四点，为弦的中点，有下列结论( )
A. 弦长度的最小值为
B. 线段长度的最大值为
C. 点的轨迹是一个圆
D. 四边形面积的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛甲、乙各投篮一次，甲投中的概率为，乙投中的概率为，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为______．
13.在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且是正三角形，是的中点，则三棱锥外接球的表面积为______．
14.已知圆：，点，、为圆上两个不同的点，且，若，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
直线的方程为
证明：直线过定点；
已知是坐标原点，若直线分别与轴正半轴、轴正半轴交于、两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，且，点是棱的中点，点为的中点．
证明：平面；
证明：．
17.本小题分
已知点为线段的中点，，点为圆上动点．
求点的轨迹曲线的方程；
过点的直线与中曲线交于不同的两点，异于坐标原点，直线，的斜率分别为、，判断是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由．
18.本小题分
如图，在以为顶点的圆锥中，点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，，为底面圆周上的两点，且为等边三角形，是母线的中点，．
求圆锥的体积；
求平面与平面的夹角的余弦值；
设与交于点，求直线与平面所成角的正弦值．
19.本小题分
已知，，动点满足，点的轨迹为曲线．
求的方程．
曲线，曲线与曲线的交点为，以为直径的圆与轴，轴正半轴交点分别为，．
点在直线：上移动，过作圆的切线，切点为，，试问直线是否过定点？若是求出这个定点；若否，请说明理由．
为圆上异于，的一点，直线交轴于点，直线交轴于点，求证：为定值．
参考答案
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15.解： 证明：由得，
令，得，所以直线过定点．
分别令，，得，，且，所以，
所以的面积，
设，则，
当且仅当即时取等号，此时，，
所以的面积最小时，的周长为，
此时直线的方程为
16.证明：点是棱的中点，点为的中点．
，
平面，平面，
平面．
在四棱锥中，底面是正方形，
底面，且，点是棱的中点，
，，，
，平面，
平面，，
，平面，
平面，．
17.解：因为，
设，，
因为点为线段的中点，
所以，
因为点在圆上，
所以，
即，
整理得，
则曲线的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
所以，
因为，，
所以．
则为定值，定值为．
18.解：因为，
又点是圆锥底面圆的圆心，是圆锥底面圆的直径，
所以圆锥的体积；
如图，
以为原点，垂直于面的直线，所在的直线，所在的直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
根据题意得，，，，，，
所以，
令平面的法向量为，
所以，可取，
令平面的法向量为，
所以，
可令，
令平面与平面的夹角为，
；
如图，
过点作于点，那么为中点，并且，
所以，，，
根据得，，所以，所以，
所以，
令直线与平面所成角为，
，．
19.解：设，
因为，
所以，
整理得，
则的方程为；
联立，
解得或，
所以圆的方程为，
所以，，
设，，，
易知圆的圆心为原点，
所以，，
可得，，
所以，
则，两点均满足直线，
所以直线的方程为，直线过定点；
设，
因为点在圆上，
所以，
此时，，
令，
解得，
即，
令，
解得，
即，
所以，，
所以，
因为，
设，，
则
．
故为定值，定值为．
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