2024-2025学年上海财经大学附属北郊高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海财经大学附属北郊高级中学高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.经过两点和的直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知点坐标为，点坐标为，以线段为直径的圆的半径是( )
A. B. C. D.
3.若抛物线：的焦点在直线上，则等于( )
A. B. C. D.
4.，分别为直线与上任意一点，则最小值为( )
A. B. C. D.
5.若圆的圆心到直线的距离为，则实数的值为( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
6.已知点在直线上，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.阿基米德在他的著作关于圆锥体和球体中计算了一个椭圆的面积，当我们垂直地缩小一个圆时，得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆的面积为，两个焦点分别为，，点是椭圆上的动点，点是点关于原点的对称点，若四边形的周长为，则四边形面积的最大值为( )
A. B. C. D.
8.过双曲线的右焦点向其一条渐近线作垂线，垂足为，与另一条渐近线交于点，若，则双曲线的离心率为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线在轴上的截距是
B. 直线经过第一、二、三象限
C. 过点，且倾斜角为的直线方程为
D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
10.已知曲线：，其中为非零常数，则下列结论中正确的是( )
A. 当时，曲线是一个圆
B. 当时，曲线是一个双曲线
C. 当时，曲线是焦点为的椭圆
D. 若曲线是离心率为的椭圆，则
11.椭圆的两个焦点分别为，，则下列说法正确的是( )
A. 过点的直线与椭圆交于，两点，则的周长为
B. 若上存在点，使得，则的取值范围为
C. 若直线与恒有公共点，则的取值范围为
D. 若，为上一点，，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.圆：在点处的切线方程为______．
13.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为，到另一焦点距离为，则等于______．
14.如图，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为的直线交于，两点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点若四边形的面积等于，则的方程为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面直角坐标系中，，，，
若直线与直线平行，求的值；
若直线与直线垂直，求的值．
16.本小题分
求满足下列条件的椭圆的标准方程．
两个焦点的坐标分别为，，并且椭圆经过点
椭圆经过点和．
17.本小题分
已知抛物线：的焦点到其准线的距离为．
求的值；
直线与抛物线交于，两点，以为直径的圆经过坐标原点，求实数的值．
18.本小题分
如图，已知的圆心在原点，且与直线相切．
求的方程；
点在直线上，过点引的两条切线、，切点为、．
求四边形面积的最小值；
求证：直线过定点．
19.本小题分
动点到直线与直线的距离之积等于，且记点的轨迹方程为．
求的方程；
已知点，直线：交于点，，上是否存在点满足？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：因为直线与直线平行，所以，
因为，，，，
所以，经检验两直线不重合，
所以；
因为直线与直线垂直，两直线斜率均存在，
所以，
因为，，，
所以．
16.解：已知椭圆的两个焦点的坐标分别为，，
则椭圆的焦点在轴上，
设它的标准方程为，
由已知得，
又因为，
因为在椭圆上，
所以，
即，
从而有，
解得或，
因此，
即所求椭圆的标准方程为；
已知椭圆经过点和，
设椭圆的方程为，
则，
即椭圆方程为．
17.解：抛物线：的焦点到其准线的距离为，
可得，即有．
由可得抛物线方程为，与直线联立，
消去可得，
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，，解得且，
设，，
则，
得，
因为以为直径的圆经过坐标原点，所以，
所以，解得．

18.解：依题意得：圆心到直线的距离，
所以，所以的方程为．
连接，，
，是圆的两条切线，
，，
所以，
当取最小值为时，四边形面积的最小值为．
证明：由得，，在以为直径的圆上，
设点的坐标为，，
则线段的中点坐标为，
以为直径的圆的方程为，
即，
为两圆的公共弦，
由得直线的方程为，，
即，则直线恒过定点．
19.解：因为到直线与直线的距离之积等于，且，
所以，化简得，又，
所以，
所以的方程为；
存在，使得，理由如下：
联立，可得，
因为，所以且，
设，，，
则，
所以，
又．
设存在点满足，
则，
所以．
因为点在上，所以，
化简得，，解得，
将其代入，可得，
所以存在，使得．
第1页，共1页