2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年黑龙江省牡丹江第一高级中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
2.已知条件：，条件：点在圆：外，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.若双曲线的右支上一点到右焦点的距离为，则到左焦点的距离为( )
A. B. C. D. 或
4.已知椭圆：的两焦点为，，为椭圆上一点且，则( )
A. B. C. D.
5.已知椭圆，则以点为中点的弦所在的直线方程为( )
A. B.
C. D.
6.如图，某种地砖的图案由一个正方形和条抛物线构成，体现了数学的对称美：，：，：，：，，已知正方形的面积为，连接，的焦点，，线段分别交，于点，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，已知椭圆的左、右焦点分别为，，过点的直线与椭圆交于点，直线为椭圆在点处的切线，点关于的对称点为由椭圆的光学性质知，，，三点共线若，则( )
A. B. C. D.
8.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若动点到定点的距离与到直线的距离相等，则点的轨迹不可能是( )
A. 抛物线 B. 线段 C. 直线 D. 射线
10.设双曲线的左焦点为，右焦点为，点在的右支上，且不与的顶点重合，则下列命题中正确的是( )
A. 若且，则双曲线的两条渐近线的方程是
B. 若，则的面积等于
C. 若点的坐标为，则双曲线的离心率大于
D. 以为直径的圆与以的实轴为直径的圆外切
11.已知曲线，曲线，下列结论正确的是( )
A. 与有条公切线
B. 若，分别是，上的动点，则的最小值是
C. 直线与，的交点的横坐标之积为
D. 若是上的动点，则的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知抛物线方程为，则抛物线的准线方程为______．
13.如图，正方形内的图形来自中国古代的太极图勤劳而充满智慧的我国古代劳动人民曾用太极图解释宇宙现象太极图由正方形的内切圆简称大圆和两个互相外切且半径相等的圆简称小圆的半圆弧组成，两个小圆与大圆均内切若正方形的边长为，则以两个小圆的圆心图中两个黑白点视为小圆的圆心为焦点，正方形对角线所在直线为渐近线的双曲线实轴长是 ．
14.如图，用一个平面去截圆锥，得到的截口曲线是椭圆．许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家的方法非常巧妙，极具创造性．在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面，截面相切，两个球分别与截面相切于，，在截口曲线上任取一点，过作圆锥的母线，分别与两个球相切于，，由球和圆的几何性质，可以知道，，，于是由，的产生方法可知，它们之间的距离是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以，为焦点的椭圆．
如图，一个半径为的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源，则球在桌面上的投影是椭圆．已知是椭圆的长轴，垂直于桌面且与球相切，，则椭圆的离心率为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，且满足，垂足为．
Ⅰ求的值及点的坐标．
Ⅱ设直线与轴交于点，直线与轴交于点，求的外接圆方程．
16.本小题分
如图，在圆锥中，为圆锥底面的直径，为底面圆周上一点，点在线段上，，．
证明：平面；
若圆锥的侧面积为，求二面角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的离心率为，且过点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点的直线与椭圆交于点、，设点，若的面积为，求直线的斜率．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，
，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
在棱上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，说明理由．
19.本小题分
已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点是上一点若为的内心，且．
求的方程；
点是在第一象限的渐近线上的一点，且轴，点是右支上的一动点，在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点证明：为定值．
参考答案
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15.解：Ⅰ因为直线：，：，且满足，
所以，
解得，
可得直线的方程为：，
直线的方程为：，
联立，解得，
即两条直线的交点；
Ⅱ由Ⅰ可得，，
由题意可得圆心在线段的中垂线，线段的中垂线上，
而的中垂线的方程为，
的中垂线的方程，即，
联立，解得，，
即圆心的坐标，半径，
所以圆的方程为．
16.解：证明：平面，，故以为坐标原点，
为轴正方向，为轴正方向，与同向的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设，故B，，，
，，，
，，，
，，
故AD，，，，平面，
平面；
侧面积，，，
由可知，为平面的法向量，设平面的法向量为，而，故
，
令，则，则，即二面角的余弦值为．

17.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，
所以，
又椭圆过点，
所以，解得，，
故椭圆的方程为．
Ⅱ由题意知，直线的斜率不可能为，设其方程为，，，
联立，消去，得，
所以，，恒成立，
所以的面积，
整理得，即，
解得或舍，
所以，
所以直线的斜率．
18.证明：平面平面，且平面平面，
且，平面，
平面，
平面，
，
又，且，、平面，
平面；
解：取中点为，连接，，
，
，
又，
．
平面平面，且平面平面，
且平面，
平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：
则，，，，
则，，
设为平面的法向量，
则由，得，令，则．
设与平面的夹角为，则
；
解：假设存在点使得平面，设，，
由知，，，，，，
则有，可得，
，
平面，为平面的法向量，
，即，解得．
综上，存在点，即当时，点即为所求．
19.解：因为点是上一点，所以设的内切圆半径为，
则，，．
因为，
所以，
所以，所以．
由双曲线的定义及其几何性质，得，即．
联立，解得所以的方程为．
证明：由题意可知，直线的斜率存在，则可设直线的方程为
由，可得．
由题意知．
若点在双曲线的右支的上半支上，则，
所以，故．
因为，所以，所以．
若点在双曲线的右支的下半支上，则，
所以，故．
因为，所以，所以．
综上可知，．
将代入直线的方程，得，即．
又，所以直线的方程为，即．
因为直线的方程为，所以当时，，即直线与直线的交点，所以．
联立，得，
所以直线与直线的交点．
又，所以
．
因为，所以，
所以，为定值．
．
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