2024-2025学年辽宁省大连二十四中高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省大连二十四中高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线：与直线：之间的距离为，则( )
A. B. 或 C. D. 或
3.已知是空间向量的一个基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标为，则向量在基底下的坐标为( )
A. B. C. D.
4.在长方体中，，，，为的中点，则异面直线与的距离为( )
A. B. C. D.
5.已知与有且有只有两条公切线，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.萤石是非常漂亮的一种矿物，其原石往往呈现正八面体形状在如图所示的正八面体中，与平面所成的角为( )
A.
B.
C.
D.
7.为圆：上的一个动点，平面内动点满足且，则动点运动的区域面积为( )
A. B. C. D.
8.某工厂生产的一种零件是由一个圆柱和一个正三棱锥穿插而成的对称组合体，如图所示棱和平面都与圆柱侧面相切，是棱与圆柱侧面的切点平面已知，，圆柱的底面圆半径为，则( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，其中，则以下命题正确的有( )
A. 直线的倾斜角为
B. 直线的斜率为
C. 若是直线上的任意一点，则
D. 当时，直线与两坐标轴围成的三角形面积的最小值为
10.如图，在多面体中，平面，四边形是正方形，且，，，分别是线段，的中点，是线段上的一个动点含端点，，则下列说法正确的是( )
A. 存在点，使得
B. 存在点，使得异面直线与所成的角的余弦值为
C. 当点自向处运动时，直线与平面所成的角不变
D. 三棱锥体积的最大值是
11.已知平面内的点异于原点，且点的坐标满足关系式，若这样的点恰有三个，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知二面角，，，，，，，若，，，，则二面角的余弦值为______．
13.已知直线：，：，若直线与关于直线对称，则直线的方程为______．
14.在平面直角坐标系中，已知点是圆：上的一个动点，直线与圆交于另一点，过点作直线的一条垂线，与圆：交于点，若，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，，是中点，平面，为线段上的动点含端点，若．
求平面与平面的夹角的余弦值的取值范围；
设四棱锥的外接球球心为，当为线段中点时，求到平面的距离．
16.本小题分
瑞士数学家欧拉年在所著的三角形的几何学一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线已知的三个顶点分别为，，，直线经过点．
求的欧拉线方程；
已知直线与的外接圆相离，点为直线上的动点，过点作圆的两条切线，，切点分别为，，当四边形的面积的最小值为时，求直线的方程．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，，且，，．
取中点，求证：平面，
求直线与所成角的余弦值，
在线段上，是否存在一点，使得二面角的大小为，如果存在，求与平面所成角，如果不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知圆，点关于直线：的对称点为．
求的方程；
讨论与圆的位置关系；
若与圆相交于，两点，圆心到的距离为，圆的圆心在线段上，且圆与圆相切，切点在劣弧上，求圆的半径的最大值．
19.本小题分
过点作斜率分别为，的直线，，若，则称直线，是定积直线或定积直线．
已知直线：，，试问是否存在点，使得直线，是定积直线？请说明理由．
若为坐标原点，点与点均在第二象限，且点在二次函数的图象上若直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，直线与直线是定积直线，求点的坐标．
已知点，直线与是定积直线，若与轴交于，与轴交于点，直线将分割成面积相等的两个部分，求的取值范围．
参考答案
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15.解：平面，底面为正方形，
以为原点，以过且与直线平行的直线为轴，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，
设平面的法向量为，
则，
令，则，
取平面的法向量，
又平面与平面的夹角为，
，
，
在单调递减，在单调递增，
，
，
即，
平面与平面的夹角的余弦值的取值范围为
设，则，即，
解得，则，，
此时平面的法向量，
到平面的距离为．
16.解：由题意得，，
所以，为等腰直角三角形，
其外心为斜边中点，垂心为直角顶点，
所以的欧拉线是由、确定的直线，可知欧拉线方程为；
由得，外接圆的半径等于，，
设直线方程为，
则四边形的面积，
显然当取最小值时，，即，，
因为时，达到最小值，
所以到的距离为，解得或．
所以直线的方程为或，即或．
17.证明：取中点，连结、、，
在四棱锥中，平面，，，
，，，是中点，
，，
，，、平面，、平面，
平面平面，
平面，平面．
解：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，
，，，，
，，
设直线与所成角为，
则．
直线与所成角的余弦值为．
假设在线段上，存在一点，使得二面角的大小为，
设，，，
则，
，
，，
设平面的法向量，
则
取，得，
平面的法向量，
二面角的大小为，
，
则，解得，，
，，
，
设与平面所成角为，
则，，
与平面所成角为．
18.解：点关于直线：的对称点为，且线段的中点坐标为，
解得
的方程为．
圆的方程可变形为，
则圆心的坐标为，且，解得或，
圆的半径．
设圆心到：的距离为，则．
若，则或，此时与圆相切；
若，则，解得，
又或，或，
此时与圆相离；
若，则或，此时与圆相交．
由题可知，解得或舍去．
当时，圆：，圆心，半径．
由题可知圆的圆心在圆内且两圆内切，记圆的半径为，
由切点在劣弧上，知，．
点在线段上，．
当且仅当圆心与线段的中点重合时，最大，且．
圆的半径的最大值为．
19.解：根据题意，直线：，，
显然两直线斜率之积是定值，且两直线都经过点，
根据定义可知为两直线交点，则，
即存在使得，是定积直线；
设，
则可知，
根据题意有，
即，
所以由，
则，即；
根据题意，因为直线与是定积直线，
过，，则：，
而：，，易知为等腰直角三角形，即，
要满足题意需直线与线段有交点，且；
联立，如下图所示，易知，
则，
显然时上方程无解，则，
解不等式得，即的取值范围为

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