2024-2025学年贵州省县中新学校计划项目高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年贵州省县中新学校计划项目高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.若函数的定义域为，值域为，则函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
4.下列各组函数中，和表示相等函数的是( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.设，，则“”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既非充分又非必要条件
6.已知，，且，则下列关系正确的是( )
A. B. C. D.
7.已知函数为定义在上的奇函数，且在区间上单调递增，在区间上单调递减，，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
8.已知集合，对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合恰有个子集，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
10.下列命题中，正确的是( )
A. 若，则
B. 若，，则
C. 若，则
D. 若，，则
11.形如的函数，我们称之为“对勾函数”“对勾函数”具有如下性质：该函数在上单调递减，在上单调递增已知函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是定义在上的偶函数，当时，则 ______．
13.定义运算若，，则 ______．
14.已知是定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求实数的取值范围；
若集合，且为单元素集，求的取值范围．
16.本小题分
已知关于的不等式．
若该不等式的解集为，求和的值；
若，求该不等式的解集．
17.本小题分
已知函数．
判断函数的奇偶性，并证明；
讨论函数在区间上的单调性．
18.本小题分
六盘水市乌蒙大草原旅游景点某年国庆期间，团队收费方案如下：不超过人时，人均收费元；超过人且不超过人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准设该景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元．
求关于的函数解析式；
景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象为了让收取的总费用随着团队中人数增加而增加，求的取值范围．
19.本小题分
材料：当，时，称为，的算术平均数，为，的几何平均数，为，的调和平均数，为，的平方平均数，大小关系是当且仅当时等号成立问题：
求与的调和平均数和平方平均数；
已知函数，且，求证：；
根据某市场规律，两次购买同一种物品，不考虑物品价格的升降，可以用两种不同的策略：第一种是每次购买这种物品的数量一定；第二种是每次购买这种物品所花的钱数一定假设该物品第一次价格为元，第二次价格为元，试问哪种购物方式比较经济？说明理由．
参考答案
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15.解：集合，
因为，所以，
当时，，
解得，
当时，则，无解，
综上所述，实数的取值范围；
因为，
所以或，
又因为，且为单元素集，
所以，
解得，
所以的取值范围为
16.解：由题设知，是的两个根，
则．
由且，
可得，
当时，解集为；
当时，解集为；
当时，解集为．
17.解：为奇函数，
证明如下：函数，
当时，函数定义域为，，
，所以为奇函数，
当时，函数定义域为，
且，
所以为奇函数，
综上，为奇函数．
令，
则，
又由，则，，即，
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
综合可得：当时，在上单调递减；
当时，在上单调递增．
18.解：已知旅游景点某年国庆期间，团队收费方案如下：不超过人时，人均收费元；超过人且不超过人时，每增加人，人均收费降低元；超过人时，人均收费都按照人时的标准，
又该景点接待有名游客的某团队，收取总费用为元，
则当时，；
当且时，；
当且时，；
综上，，且，．
由知：总费用在和上都是递增，
所以，只需在上总费用不出现递减即可，
对于，开口向下且对称轴为，
所以，只需，总费用随着团队中人数增加而增加．
19.解：令，则调和平均数，
平方平均数；
证明：由，且，，
又因为，且，，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以，
即，
所以，
显然，得证．
若每次购买这种物品的数量一定，则物品平均价格为元，
若每次购买这种物品所花的钱数元一定，则物品平均价格为元，
由题意可知，，当且仅当时等号成立，
当时，，此时每次购买这种物品的数量一定比较经济；
当时，，此时两种购买方式一样经济．
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