2024-2025学年广东省广州市三校（三中、四中、培英中学）高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省广州市三校（三中、四中、培英中学）高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中表示同一函数的是( )
A.
B.
C.
D.
3.下列命题中正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，，则
D. 若，，则
4.已知集合，，若，则( )
A. B. 或 C. D.
5.不等式“在上恒成立”的一个充分不必要条件是( )
A. B. C. D.
6.设偶函数的定义域为，当时是增函数，则，，的大小关系是( )
A. B.
C. D.
7.若函数，且满足对任意的实数都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.若函数的定义域为，如果对中的任意一个，都有，，且，则称函数为“类奇函数”若某函数是“类奇函数”，则下列命题中，错误的是( )
A. 若在定义域中，则
B. 若，则
C. 若在上单调递增，则在上单调递减
D. 若定义域为，且函数也是定义域为的“类奇函数”，则函数也是“类奇函数”
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“，”的否定是“，”
B. 是的必要不充分条件
C. 的单调减区间为
D. 函数且的图象恒过定点
10.设正实数，满足，则下列结论正确的是( )
A. 有最小值 B. 有最小值
C. 有最大值 D. 有最小值
11.已知定义在上的函数满足，且，当时，，则( )
A.
B.
C. 在区间上单调递减，在区间上单调递增
D. 不等式的解集是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数的定义域为______．
13.如图，某池塘里浮萍的面积单位：与时间单位；月的关系为，关于下列说法正确的命题序号是______，
这个指数函数的底数为；
浮萍每月增加的面积都相等；
第个月时，浮萍面积超过．
14.设是定义在上的奇函数，对任意的，满足且，则不等式的解集为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，，
当时，求和；
若，求实数的取值范围．
16.本小题分
若函数为幂函数，且在上单调递减．
求实数的值；
若函数，且，
判断函数的单调性，并证明；
求使不等式成立的实数的取值范围．
17.本小题分
常州市某企业为紧抓新能源发展带来的历史机遇，决定开发一款锂电池生产设备生产此设备的年固定成本为万元，且每生产台需要另投入成本万元，当年产量不足台时，万元；当年产量不少于台时万元经过市场调查和分析，若每台设备的售价定为万元时，则该企业生产的锂电池设备能全部售完．
分别求年产量不足台和年产量不少于台时，年利润万元关于年产量台的函数关系式；
年产量为多少台时，企业在这款锂电池生产设备的生产中获利最大？最大利润是多少万元？
18.本小题分
已知是定义在上的奇函数，当时，．
求函数的解析式；
若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；
若对所有，恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
设函数且．
若，判断的奇偶性和单调性；
若，求使不等式恒成立时实数的取值范围；
若，且在上的最小值为，求实数的值．
参考答案
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15.解：由解得：，故A，
当时，，所以，或．
因为，所以，
当时，，解得，满足；
当时，，解得，
所以或，实数的取值范围为，．
16.解：由题意知，解得：或，
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递减，符合题意；
当时，幂函数，此时幂函数在上单调递增，不符合题意；
所以实数的值为．
，
所以在区间单调递增．证明如下：
任取，
则，
由，可得，，
则，即，
故在区间单调递增．
由知，在区间单调递增，
又由 ，
可得，解得，
所以实数的取值范围是．
17.解：由题意可知，当，时，
，
当，时，
，
所以年利润关于年产量的函数关系式为；
当，时，，
由二次函数的性质可知，当时，取得最大值，
当，时，
，
当且仅当时，即时，等号成立，
即时，取得最大值，
由于，
所以当年生产台时，该企业年利润的最大值为万元．
18.解：因为是定义在上的奇函数，当时，．
所以当时，，
则有，
即，
所以，
又因为，
所以；
作出函数的图象，如图所示：
由此可得函数在上单调递增，
又因为函数在上单调递增，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
当时，，
又因为对所有，恒成立，
即对所有恒成立，
所以对所有恒成立，
当时，则有恒成立，满足题意；
当时，则有，
易知在上单调递增，
所以，
所以，
即实数的取值范围为．
19.解：的定义域为，关于原点对称，且，
为奇函数，
，递减，递减，
故是减函数；
且．
，，
又，且，
，
故在上单调递减，
不等式化为，
，即恒成立，
，
解得；
，，即，
解得或舍去，
，
令，由可知为增函数，
，，
令，
若，当时，，；
若时，当时，，解得，无解；
综上，．
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