福建省福州市八县（市）协作校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

福建省福州市八县（市）协作校 2024-2025 学年高一上学期期中考试数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,3}， = {( , )| ∈ ， ∈ ， + ∈ }，则集合 中的元素个数为( )
A. 2 B. 3 C. 8 D. 9
2.“ + > + ”是“ > 且 > ”的( )
A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.集合 = { | < 2或 ≥ 3}， = { | ≤ 0}，若 ∩ = ( 为实数集)，则 的取值范围是( )
A. { | ≤ 3} B. { | ≤ 2} C. { | < 2} D. { | 2 ≤ ≤ 2}
4.若命题“ ∈ ， 2 2 ≥ ”是真命题，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2] B. ( ∞, 2) C. [2,+∞) D. (2,+∞)
9
5.已知 < 10，则 + 的最大值为( )
10
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6.已知函数 ( )是定义域为 的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = ( + 1).若 (3 + 2 ) + (2 11) > 0，则
的取值范围为( )
A. ( ∞, 0) B. (0,+∞) C. ( ∞, 2) D. (2,+∞)
7.某文具店购进一批新型台灯，若按每盈台灯15元的价格销售，每天能卖出30点；若售价每提高1元，日销
售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得不少于400元的销售收入.则这批台灯的销售单
价 (单位：元)的取值范围是( )
A. { |10 ≤ < 16} B. { |12 ≤ < 18} C. { |15 ≤ ≤ 20} D. { |10 ≤ ≤ 20}
8.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 4)为偶函数， ( + 2)为奇函数，且 ( )在[0,2]上单调递增，则下列
错误的是( )
A. (2) = 0 B. = 4为函数 ( )图象的一条对称轴
C. 函数 ( )在[4,8]上单调递减 D. (1) < (7)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个结论中正确的是( )
A. 命题“ ∈ ，3 2 2 1 < 0”的否定是“ ∈ ，3 20 0 2 0 1 > 0”
B. 设 ， ∈ ，则“ 2 > 2”的充分不必要条件是“ > ”
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C. 若“ 20 ∈ ， 0 2 0 < 0”为真命题，则 > 1
D. 若函数 ( ) = 2 2 + 4在区间[0, ]上的最大值为4，最小值为3，则实数 的取值范围是[1,2]
10.下列选项正确的有( )
A. 当 ∈ (0,2)时，函数 = 2 2 + 2的值域为[1,2)
1
B. = √ 2 + 3 + 有最小值2
√ 2+3
2+5
C. 函数 = 的最小值为2
√ 2+4
3
D. 当 > 0， > 0时，若 + = 2 ，则 + 2 的最小值为 + √ 2
2
11.已知定义在( ∞,0) ∪ (0,+∞)上的函数 ( )，满足 ( ) + 2 = ( ) + ( )，且当 > 1时， ( ) > 2，
则( )
A. ( 1) = 1
B. ( )为偶函数
C. (2024) < (2025)
D. 若 ( + 2) < 2，则 3 < < 2或 2 < < 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知集合 = { |( 1)( + 3) > 0}， = { | ≤ < + 1}，且 ( )，则实数 的取值范围是
______．
2
13.幂函数 = ( 1) 2 3( , ∈ )图象关于 轴对称，且在(0,+∞)上是减函数，则 + = ______．
3+ 2+ + 2
14.若关于 的函数 ( ) = 2 ( > 0)的最大值为 ，最小值为 ，且 + = 5，则实数 的值为 +
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 2}， = { | > 1}．
(1)求集合 ∩ ；
(2)设集合 = { | < < + 6}，且 ∩ = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 + 1．
(1)当 = 1时，求函数 ( )在 ∈ [ 2,2]上的最大值与最小值；
(2)若 ( )在 ∈ [ 1,2]上的最大值为4，求实数 的值．
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17.(本小题15分)
已知关于 的不等式 2 + 1 ≤ 0．
(1)当3 ≤ ≤ 4时，不等式 2 + 1 ≤ 0恒成立，求实数 的取值范围；
(2)当 > 0时，解关于 的不等式．
18.(本小题17分)
经市场调查，某超市的一种商品在过去的一个月内(以30天计)，销售价格(元)与时间 (天)的函数关系近似
1
满足 ( ) = 100(1 + )，销售量(件)与时间 (天)的函数关系近似满足 ( ) = 125 | 25|．

(1)试写出该商品的日销售金额 ( )关于时间 (1 ≤ ≤ 30, ∈ )的函数表达式；
(2)求该商品的日销售金额 ( )的最大值与最小值．
19.(本小题17分)
已知函数 = ( )的图象关于点 ( , )成中心对称图形的充要条件是 = ( + ) 是奇函数，给定函数
4
( ) = ．
+1
(1)请你应用题设结论，求函数 ( )图象的对称中心；
(2)用定义证明 ( )在区间(0,+∞)上的单调性；
(3)已知函数 ( )的图象关于点(1,1)对称，且当 ∈ [0,1]时， ( ) = 2 + .若对任意 1 ∈ [0,2]，总存
在 2 ∈ [1,3]，使得 ( 1) = ( 2)，求实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】[ 3,0]
13.【答案】3
5
14.【答案】
2
15.【答案】解：(1)因为 = { | 2 ≤ ≤ 2}， = { | > 1}，
所以 = { | ≤ 1}，
所以 ∩ = { | 2 ≤ ≤ 1}；
(2)因为 ∩ = ，可得 ，
< 2
故{ ，解得 4 < < 2，
+ 6 > 2
即实数 的取值范围为：{ | 4 < < 2}．
16.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 + 2 + 1 = ( + 1)2，
对称轴为 = 1，
当 ∈ [ 2,2]时， ( ) = ( 1) = 0， ( ) = (2) = 9；
(2)因为 ( )是开口向上的抛物线，
所以 ( 1)和 (2)中必有一个是最大值，
若 ( 1) = 1 2 + 1 = 2 2 = 4， = 1，
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1
若 (2) = 4 + 4 + 1 = 4, = ，
4
1
所以 = 1或 ．
4
17.【答案】解：(1)不等式 2 + 1 ≤ 0可化为 ( 2 1) ≤ 1，
当3 ≤ ≤ 4时，8 ≤ 2 1 ≤ 15，2 ≤ 1 ≤ 3，
1 1 1
所以不等式化为 ≤ ，又因为4 ≤ + 1 ≤ 5，所以 ≥ ，
+1 +1 5
1
所以实数 的取值范围是{ | ≤ }；
5
(2)不等式 2 + 1 ≤ 0可化为( 1)( 1 + ) ≤ 0，
1
因为 > 0，所以不等式对应方程的根为1和 1，

1 1
当 1 = 1时， = ，
2
1
所以 = 时，不等式为( 1)2 ≤ 0，解得 = 1；
2
1 1 1
当0 < < 时， 1 > 1，解不等式得1 < < 1；
2
1 1 1
当 > 时， 1 < 1，解不等式得 1 < < 1；
2
1
综上， = 时，解集为{1}；
2
1 1
0 < < 时，解集为{ |1 < < 1}；
2
1 1
> 时，解集为{ | 1 < < 1}．
2
18.【答案】解：(1)由题意，得
1
( ) = ( ) ( ) = 100(1 + )(125 | 25|)

100
100( + + 101), (1 ≤ < 25, ∈ )
=
150
{100(149 + ), (25 ≤ ≤ 30, ∈ )
100
(2)①当1 ≤ < 25时，因为 + ≥ 20，

所以当 = 10时， ( )有最小值12100；
当 = 1时， ( )有最大值20200；
150
②当25 ≤ ≤ 30时，∵ 在[25,30]上递减，

∴当 = 30时， ( )有最小值12400，
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当 = 25时， ( )有最大值13000，
综上可得，该商品的日销售金额 ( )取得最小值为12100，最大值为20200．
19.【答案】解：(1)设函数 ( )图象的对称中心为( , )，
则 ( + ) + ( ) 2 = 0，
4 4
即( + ) + ( ) = 2 ，
+ +1 +1
2 2
即( ) = 0，
+1 +1+
( )[( + 1)2 2] 2[( + 1) + ] 2[( + 1) ] = 0，
整理得( ) 2 = ( )( + 1)2 4( + 1)，
于是( ) = ( )( + 1)2 4( + 1) = 0，
解得 = = 1，
所以 ( )的对称中心为( 1, 1)；
(2)证明：任取 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 < 2，
4 4 4
则 ( 1) ( 2) = 1 ( 2 ) = ( 1 2)[1 + ]， 1+1 2+1 ( 1+1)( 2+1)
4
所以 1 2 < 0且1 + > 0， ( 1+1)( 2+1)
所以 ( 1) ( 2) < 0，
即 ( 1) < ( 2)，
4
所以 ( ) = 在(0,+∞)上单调递增；
+1
(3)由题意得： ( )的值域是 ( )值域的子集，
由(2)知 ( )在[1,3]上单调递增，
故 ( )的值域为[ 1,2]，
于是原问题转化为 ( )在[0,2]上的值域 [ 2,4]，

①当 ≤ 0，即 ≤ 0时， ( )在[0,1]上单调递增，
2
同时 ( ) = 2 + 的图象恒过对称中心(1,1)，
可知 ( )在(1,2]上也单调递增，
故 ( )在[0,2]上单调递增，
又 (0) = ， (2) = 2 (0) = 2 ，
故 A= [ , 2 ]，
所以[ , 2 ] ≤ [ 1,2]，
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≥ 1
所以{ ，解得 ≥ 0，
2 ≤ 2
又 ≤ 0，故此时 = 0；

②当0 < < 1，即0 < < 2时，
2

( )在(0, )上单调递减，( , 1)上单调递增，
2 2
又 ( )过对称中心(1,1)，

故 ( )在(1,2 )上单调递增，(2 , 2]上单调递减，
2 2

故此时 = ( { (2), ( )}， { (0), (2 )}
2 2
欲使 [ 1,2]，
(2) = 2 (0) = 2 ≥ 1 (0) = ≤ 2
只需{ 2 ，且{ 2 ，
( ) = + ≥ 1 (2 ) = 2 ( ) = + 2 ≤ 2
2 4 2 2 4
解得2 2√ 2 ≤ ≤ 3且0 ≤ ≤ 2，
解不等式得：0 ≤ ≤ 2，
又0 < < 2，
故此时0 < < 2；

③当 ≥ 1，即 ≥ 2时，
2
( )在[0,1]上单调递减，在(1,2]上也单调递减，
由对称性知 ( )在[0,2]上单调递减，
于是 = [2 , ]，
因为[2 , ] ≤ [ 1,2]，
2 ≥ 1
故{ ，解得 ≤ 2，
≤ 2
又 ≥ 2，故此时 = 2，
综上，实数 的取值范围是[0,2]．
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