湖南省邵阳市新邵县第三中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省新邵县第三中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = {1,2,6}， = {2,3,4,5,6}，则集合 ∩ 中元素的个数为( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
2.若 ， ∈ ，则“ = ”是“ 2 = 2”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.命题 ∈ ， 2 + 1 > 0的否定是( )
A. ∈ ， 2 + 1 > 0 B. ∈ ， 2 + 1 > 0
C. ∈ ， 2 + 1 ≤ 0 D. ∈ ， 2 + 1 ≤ 0
1
4.已知集合 = {1,2}， = {1,2,4}，给出下列四个对应关系：① = ，② = + 1，③ = | |，④ = 2，

请由函数定义判断，其中能构成从 到 的函数的是( )
A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ③④
5.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程 看作时间 的
函数，其图象可能是( )
A. B.
C. D.
6.若 > 0， > 0，且 + = 4，则下列不等式恒成立的是( )
1 1
A. 0 < < 2 B. + ≤ 1 C. √ ≤ 2 D. 2 + 2 ≤ 8

7.已知定义在 上的奇函数 ( )在( ∞, 0)上单调递减，且 (2) = 0，则满足 ( ) < 0的 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2) ∪ (2, +∞) B. (0,2) ∪ (2, +∞)
C. ( 2,0) ∪ (2, +∞) D. ( ∞, 2) ∪ (0,2)
8.已知函数 ( )对任意 1， 2 ∈ ，总有( 1 2)[ ( 1) ( 2)] > 0.若存在 ∈ ( 1, )使得不等式 (3
) ≤ ( + 2)成立，则实数 的取值范围是( )
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A. [ 1,2] B. [0,1]
C. ( ∞, 0) ∪ (1, +∞) D. ( ∞, 1] ∪ [2, +∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.对于函数 ( ) = + ，下列说法正确的是( )

A. 若 = 1，则函数 ( )的最小值为2
B. 若 = 1，则函数 ( )在(1, +∞)上单调递增
C. 若 = 1，则函数 ( )的值域为
D. 若 = 1，则函数 ( )是奇函数
10.已知幂函数 ( ) = ( 1) 的图像经过点(2,8)，下列结论正确的有( )
A. = 2 B. (0) = 0
2
C. ( )是偶函数 D. 若 (3 2 ) > ( + 1)，则 <
3
11.用[ ]表示不超过 的最大整数，例如，[ 1.2] = 2，[1.5] = 1.已知 ( ) = + [ ]，则( )
2 2
A. ( ) =
3 3
B. ( )为奇函数
C. 1 > 2，都有 ( 1) > ( 2)
5
D. = ( )与 = 1图象所有交点的横坐标之和为4
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若 ( ) = √ ，则 ( )的定义域为______．
13.设函数 ( )是定义在 上的偶函数， (1) = 1，当 ∈ [0, +∞)时， ( )单调递增，则不等式 (2 ) > 1
的解集为______．
14.对于一个由整数组成的集合 ， 中所有元素之和称为 的“小和数”， 的所有非空子集的“小和数”
之和称为 的“大和数”.已知集合 = { 1,0,1,2,3}，则 的“小和数”为______， 的“大和数”为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { | ≤ ≤ + 3}，集合 = { | < 1，或 > 5}，全集 = ．
(1)若 = 4，求 ∩ ， ∪ ；
(2)若命题“ ∈ ，都有 ∈ ”是真命题，求实数 的取值范围．
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16.(本小题15分)
已知二次函数 ( ) = 2 2 + 3．
(1)当 ∈ [ 2,3]时，求 ( )的最大值和最小值；
(2当 ∈ [ , + 1]时，求 ( )的最小值 ( )．
17.(本小题15分)
1
某工厂生产某种产品，其生产的总成本 (万元)与年产量 (吨)之间的函数关系可近似地表示为 = 2
10
20 + 4000.已知此工厂的年产量最小为150吨，最大为250吨．
(1)年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低？并求出最低平均成本；
(2)若每吨产品的平均出厂价为24万元，且产品全部售出，则年产量为多少吨时，可以获得最大利润？并求
出最大利润．
18.(本小题17分)
2 + 2
已知函数 ( ) = 2 是定义在区间( 2,2)上的奇函数，且 (1) = ． 4 3
(1)求 ， ；
(2)判断 ( )在区间( 2,2)上的单调性，并用定义证明；
(3)解关于 的不等式 ( 1) + ( ) < 0．
19.(本小题17分)
经过函数性质的学习，我们知道：“函数 = ( )的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“ =
( )是奇函数”．
(1)若 ( )为定义在 上的奇函数，且当 < 0时， ( ) = 2 + 1，求 ( )的解析式；
(2)某数学学习小组针对上述结论进行探究，得到一个真命题：“函数 = ( )的图象关于点( , 0)成中心对
称图形”的充要条件是“ = ( + )为奇函数”.若定义域为 的函数 ( )的图象关于点(1,0)成中心对称
1
图形，且当 > 1时， ( ) = 1 ．

①求 ( )的解析式；
②若函数 ( )满足：当定义域为[ , ]时值域也是[ , ]，则称区间[ , ]为函数 ( )的“保值”区间，若函数
( ) = ( )( > 0)在(0, +∞)上存在保值区间，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】{ | ≥ 0}
13.【答案】{ | < 1或 > 3}
14.【答案】5 80
15.【答案】解：(1) = 4时， = { |4 ≤ ≤ 7}，集合 = { | < 1，或 > 5}，
∩ = { |5 < ≤ 7}， ∪ = { | < 1或 ≥ 4}；
(2)若命题“ ∈ ，都有 ∈ ”是真命题，则 ，
所以 > 5或 + 3 < 1，
即 > 5或 < 4，
故 的范围为{ | > 5或 < 4}．
16.【答案】解：(1)根据题意， ( ) = 2 2 + 3 = ( 1)2 + 2，
其对称轴 = 1，
在区间[ 2,3]上， ( )的最小值为 (1) = 2，最大值为 ( 2) = 11，
故 ( )的最大值为11，最小值为2；
(2) ( ) = 2 2 + 3 = ( 1)2 + 2，
①当 + 1 < 1，即 < 0时，函数在[ , + 1]上为减函数， ( ) = ( + 1) = 2 + 2；
②当 + 1 ≥ 1且 < 1，即0 ≤ < 1时， ( ) = (1) = 2；
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③当 ≥ 1时，函数在[ , + 1]上为增函数， ( ) = ( ) = 2 2 + 3；
2 + 2, < 0
( ) = {2,0 ≤ < 1 ．
2 2 + 3, ≥ 1
4000
17.【答案】解：(1)由题意可得，生产每吨产品的平均成本为 = + 20， ∈ [150,250]，
10
4000 4000
又因为 + 20 ≥ 2√ 20 = 20，
10 10
4000
当且仅当 = ，即 = 200时，等号成立，
10
所以年产量为200吨时，平均成本最低为20万元；
(2)设利润为 ( )，
2 1
则 ( ) = 24 ( 20 + 4000) = ( 220)2 + 840，
10 10
又因为150 ≤ ≤ 250，
所以当 = 220时， ( ) = 840．
即年产量为220吨时，最大利润为840万元．
2 +
18.【答案】解：(1) ∵ ( ) = 是定义在区间( 2,2)上的奇函数，
4 2

∴ (0) = = 0，即 = 0，
4
2 2 2
(1) = = = 1，故 ( ) = ，
4 1 3 4 2
经检验，符合要求，
∴ = 1， = 0；
(2) ( )在区间( 2,2)上单调递增，证明如下：
2
由(1)得 ( ) = 2；，令 2 < 1 < 2 < 2， 4
2 1 2 2 2(4+ 1 2)( 1 2)则 ( 1) ( 2) = 2 = ， 4 2 21 4 2 (4 1)(4
2
2)
由 2 < 1 < 2 < 2 4 + 1 2 > 0、 1
2 2
2 < 0、4 1 > 0、4 2，
2 2
∴ ( 11) ( 2) = 2
2
2 < 0， 4 1 4 2
即当 2 < 1 < 2 < 2时， ( 1) ( 2) < 0，
∴ ( )在区间( 2,2)上单调递增；
(3)由 ( 1) + ( ) < 0，即 ( 1) < ( ) = ( )，
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由 ( )在区间( 2,2)上单调递增，
1 <
1 1
∴有{ 2 < < 2 ，解得 1 < < ，即 ∈ ( 1, ).
2 2
2 < 1 < 2
19.【答案】解：(1) ( )为定义在 上的奇函数，
当 > 0时， < 0，
所以 ( ) = ( ) = [( )2 + 1] = 2 1，
又 (0) = 0，
2 + 1, < 0
所以 ( ) = {0, = 0 ；
2 1, > 0
(2)①因为定义域为 的函数 ( )的图象关于点(1,0)成中心对称图形，
所以 = ( + 1)为奇函数，
所以 (1 + ) = (1 )，即 ( ) = (2 )， < 1时，2 > 1，
1 1
所以 ( ) = (2 ) = (1 ) = 1 + ．
2 2
1
1, ≤ 1
所以 ( ) = {2 ；
1
1 , > 1

1 1
②当 ∈ (0,1)时， ( ) = ( 1 + ) = ( 1 )( > 0)在(0,1)单调递增，
2 2
1
( 1 ) =
当[ , ] (0，1)时，则{ 2 ，
1
( 1 ) =
2
1
即方程 ( 1 ) = 在(0,1)有两个不相等的根，
2
即 2 + ( 2) = 0在(0,1)有两个不相等的根，
令 ( ) = 2 + ( 2) ，( > 0)，
(0) = < 0
则{ ，
(1) = 1 < 0
所以 2 + ( 2) = 0有(0,1)不可能有两个不相等的根；
1
当 ∈ (1, +∞)时， ( ) = (1 )( > 0)在(1, +∞)单调递增，

1
(1 ) =
当[ , ] (1，+∞)时，则{ ，
1
(1 ) =

1
即方程 (1 ) = 在(1, +∞)有两个不相等的根，

即 2 + = 0在(1, +∞)两个不相等的根，
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令 ( ) = 2 + ，( > 0)，
(1) = 1 > 0

则{ ( ) = ( )
2 + < 0
2 2 2 ，解得 > 4，

> 1
2
当0 < < 1 < 时，易知 ( )在 上单调递增，
所以 ( ) = ( )( > 0)在(0, +∞)单调递增，
1
( 1 ) =
此时{ 2 ，
1
(1 ) =

2+2 1
= = (1 ) +
1 1
即{ 2 ，
1
= = ( 1) + + 2
1 1
1
令 ( ) = (1 ) + , (0 < < 1)，则易知 ( )在(0,1)单调递减，
1
所以 ( ) < (0) = 0即 < 0，
1 1
又 > 1时， = ( 1) + + 2 ≥ 2√ ( 1) + 2 = 4，
1 1
1
当且仅当( 1) = ，即 = 2时取等，
1
1
= (1 ) + < 0
所以{ 1 ，此时无解．
1
= ( 1) + + 2 ≥ 4
1
综上可知： 的取值范围是(4, +∞)．
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