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苏科版八年级上册期末全优冲刺测评卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．4，5， 6 B．1.5，2， 2.5
C．11，60， 61 D．1， ，2
3．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
4．周末小刚骑自行车到外婆家，他从家出发后到达书店，看了一会书，仍按原来的速度继续前行到达外婆家，小刚从家出发到外婆家中，小刚与家的距离随时间变化的函数图象大致如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小刚从家到书店的骑行速度为5km/h
B．小刚在书店停留了1.5h
C．书店与外婆家的距离为15km
D．小刚从家到外婆家的平均速度为6km/h
5．如图，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④≌，正确的结论是（ ）．
A．①②③④ B．①② C．只有②③ D．只有①③
6．已知一次函数，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
7．点P在的角平分线上，点P到边的距离为10，点Q是边上任意一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
8．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：7 B．∠A=∠B-∠C
C．a：b：c=2：3：4 D．b2=(a+c) (a-c)
9．如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
10．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．一个正数的平方根分别是 和 ，则 .
12．如图，利用函数图象可知方程组的解为 ．
13．如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
14．如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，则蚂蚁走的最短路径长为 ．
15．若点在直线上，且m，n都是正整数，则点P坐标是 ．
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
17．如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
18．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD=12，DE=7，求BE的长．
20．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 位于第二象限，点 位于第三象限，且a为整数.
（1）求点A和点B的坐标.
（2）若点 为x轴上一点，且 是以 为底的等腰三角形，求m的值.
21．（9分）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
22．（9分）综合与探究
已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接．
（1）如图1，当点D在边上时，求的度数．
（2）如图2，当点D在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段，，的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点D在边的延长线上时，，求线段的长．
23．（9分）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为（元），选择公路运输时，所需费用（元），请分别写出（元），（元）与x（千克）之间的关系式；
（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
24．（9分）
（1） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一点，且 ，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图①，求CF的长；
（2） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为6的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小明以BM为边作等边三角形BMN，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长.
25．（9分）如图，在等边 中，点D是线段 上的一个点，连接 ，以 为边，作等边 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）如图，当D点在射线 上时（C点的右边）， 是否仍然成立，请说明理由；
（3）如图，当D点在射线 上时（B点的左边），若 ，则 的度数是多少？
26．（9分）
（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求 的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究： 是否为定值 如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
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苏科版八年级上册期末全优冲刺测评卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．下面是四家医院标志的图案部分，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，故此选项符合题意；
B、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项不合题意.
故答案为：A.
【分析】轴对称图形是将一个图形沿某直线折叠后直线两旁的部分互相重合，再对各选项逐一判断.
2．下列各组数中是勾股数的是（ ）
A．4，5， 6 B．1.5，2， 2.5
C．11，60， 61 D．1， ，2
【答案】C
【解析】【解答】解：A、42+52≠62，不是勾股数，故此选项不合题意；
B、1.5， 2.5不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意；
C、112+602＝612，三个数都是正整数，是勾股数，故此选项符合题意；
D、 不是正整数，不是勾股数，故此选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据勾股数需要满足两个条件：①正整数，②较小两个的平方和等于较大数的平方，从而即可一一判断得出答案.
3．如图，是的中线，E，F分别是和延长线上的点，且，连接，，下列说法：①和面积相等；②；③；④；⑤．其中正确的是（ ）
A．①② B．③⑤ C．①③④ D．①④⑤
【答案】C
【解析】【解答】解：∵是的中线，
∴，
∴和面积相等，故①符合题意；
而和不一定相等，故②不符合题意；
在和中，
，
∴，故③符合题意；
∴，
∴，故④符合题意；
∵，
∴，故⑤不符合题意，
符合题意结论为：①③④，
故答案为：C．
【分析】由三角形的中线可得BD=CD，利用等底同高可得和面积相等，即可判断①②；根据SAS证明，可得，CE=BF，可证，即可判断③④⑤.
4．周末小刚骑自行车到外婆家，他从家出发后到达书店，看了一会书，仍按原来的速度继续前行到达外婆家，小刚从家出发到外婆家中，小刚与家的距离随时间变化的函数图象大致如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．小刚从家到书店的骑行速度为5km/h
B．小刚在书店停留了1.5h
C．书店与外婆家的距离为15km
D．小刚从家到外婆家的平均速度为6km/h
【答案】D
【解析】【解答】解：由图象可知：
A、小刚从家到书店的骑行速度为=10（km/h），故不符合题意；
B、小刚在书店停留了1.5－0.5=1（h），故不符合题意；
C、书店与外婆家的距离为15－5=10（km），故不符合题意；
D、小刚从家到外婆家的平均速度为15÷2.5=6（km/h），故符合题意．
故答案为：D．
【分析】由图象可知：小刚从家0.5小时走了5km，到达书店，在书店看书1小时后，用了1小时走了10千米到达外婆家，据此逐项判断即可.
5．如图，是等边三角形，，于点，于点，，则四个结论：①点在的平分线上；②；③；④≌，正确的结论是（ ）．
A．①②③④ B．①② C．只有②③ D．只有①③
【答案】A
【解析】【解答】∵，，且，
∴点在的平分线上，①符合题意；
，
∴，②符合题意；
∵，
∴，
∴，③符合题意；
由③可知，为等边三角形，
∴≌，
由②可知，≌，
∴④符合题意．
故答案为：A．
【分析】利用等边三角形的性质，全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
6．已知一次函数，y随着x的增大而减小，则在直角坐标系内它的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意可得，
∵y随着x的增大而减小，
∴必过二四象限，
∵，
∴函数图象过一、二、四象限，
故答案为：A．
【分析】利用一次函数的图象与系数的关系求解即可。
7．点P在的角平分线上，点P到边的距离为10，点Q是边上任意一点，则的最小值为（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【解析】【解答】解：∵P在的角平分线上，点P到边的距离为10，
∴点P到边的距离为10，
∴的最小值为10．
故答案为：C．
【分析】根据角平分线的性质和垂线段最短的性质可得的最小值为10。
8．已知△ABC的三个内角分别为∠A、∠B、∠C，三边分别为a、b、c，下列条件不能判定△ABC是直角三角形的是（ ）
A．∠A：∠B：∠C=3：4：7 B．∠A=∠B-∠C
C．a：b：c=2：3：4 D．b2=(a+c) (a-c)
【答案】C
【解析】【解答】设的度数分别为
∵，
∴，故A可判定△ABC是直角三角形
∵，
∴，故选项B能判定△ABC是直角三角形；
设a、b、c的边长分别为2a、3a、5a，
∵
∴∠C≠90°，故选项C不能判定△ABC是直角三角形；
∵
∴b2+c2=a2
∴，故选项D能判定△ABC是直角三角形．
故答案为：C
【分析】利用三角形的内角和定理判定A、B，利用勾股定理的逆定理判定C、D
9．如图，已知在正方形中，厘米，，点E在边上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米／秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段上由C点向D点运动，设运动时间为t秒，当ΔBPE与ΔCQP全等时，t的值为（ ）
A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
【答案】D
【解析】【解答】解：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，
∵厘米，厘米，
∴厘米，
∴厘米，
∴运动时间（秒）；
②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴，
∵，
∴要使与全等，只要厘米，厘米即可．
∴点P，Q运动的时间（秒），
故答案为：D．
【分析】分两种情况：①当点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若，，②当点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，再利用全等三角形的性质求解即可。
10．如图，已知直角三角形ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△ABP为等腰三角形，则符合条件的点有（ ）
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，当时，为等腰三角形，
当时，为等腰三角形，
当时，而
所以是等边三角形，
当时，为等腰三角形，
当AB=AP6时，为等腰三角形；
符合条件的点P有6个，
故答案为：C
【分析】分三种情况：AP=AB，BP=AB或BP=AP，据此分别求解即可.
阅卷人 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
得分
11．一个正数的平方根分别是 和 ，则 .
【答案】2
【解析】【解答】解：根据题意可得：x+1+x﹣5=0，
解得：x=2，
故答案为：2.
【分析】 一个正数的平方根有两个，且它们互为相反数，据此解答即可.
12．如图，利用函数图象可知方程组的解为 ．
【答案】
【解析】【解答】观察图象可知，y=2x与x+ky=3相交于点（1，2），
可求出方方程组的解为，
故答案为
【分析】根据一次函数与二元一次方程的关系可得两函数解析式的交点即是方程组的解。
13．如图，是的角平分线，，，，则的长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵，，，
∴
是直角三角形
是的角平分线，
在与中
设，则
在中，
即
解得
在中
故答案为：
【分析】过点作于点，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再证明，可得BE=BC=9，进而求出AE的长，再利用勾股定理列出方程求解即可。
14．如图所示，长方体中，，，是的中点，一只蚂蚁从点出发，沿长方体表面爬到点，则蚂蚁走的最短路径长为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图
由题意可知处于同一平面，连接、，
∴在中，，
在中，，
∵
∴蚂蚁的最短路径为
故答案为：．
【分析】先画出图象，分两种情况，再利用勾股定理求出AE的长，再比较大小即可得到答案。
15．若点在直线上，且m，n都是正整数，则点P坐标是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：直线图象如下：
当 时， ，点 ，满足条件，
当 时， ，不符合题意，
故答案为：．
【分析】根据要求结合函数解析式求解即可。
16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD为△ABC的角平分线，过点D作直线lAB，点P为直线l上的一个动点，若△BCD的面积为16，BC＝8，则AP最小值为 ．
【答案】4
【解析】【解答】解：∵∠C＝90°，△BCD的面积为16，BC＝8，
∴，即，
作DE⊥AB，
∵BD为△ABC的角平分线，
∴，
∵直线lAB，
∴AP最小值与DE相等为4，
故答案为：4．
【分析】根据三角形的面积公式求出CD，根据角平分线的性质求出DE，根据垂线段最短解答即可。
17．如图，在中，，，，D为的中点，P为上一动点，连接，，则的最小值是 .
【答案】6
【解析】【解答】解：作A关于的对称点，连接，，
，，
，
，
为等边三角形，
为，
的最小值为到的距离，
故答案为：6.
【分析】作A关于的对称点，连接，，易证△AA'B为等边三角形，可得的最小值为到的距离，即为BC的长.
18．边长分别为4cm，3cm两正方体如图放置，点P在上，且，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点P，需要爬行的最短距离是 cm．
【答案】
【解析】【解答】解：①将立体几何转换为平面几何，如图所示：
此时，；
②将立体几何转换为平面几何，如图所示：
此时，，
∵，
∴爬行的最短距离是，
故答案为：.
【分析】先将立体几何转换为平面几何，再利用勾股定理求出PA的长，最后比较大小即可.
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共66分）
得分
19．（6分）如图，∠ACB=90°，AC=BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E．
（1）求证：△ACD≌△CBE；
（2）若AD=12，DE=7，求BE的长．
【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°，BE⊥CE，
∴∠ECB+∠ACD=90°∠ECB+∠CBE=90°，
∴∠ACD=∠CBE，
∵AD⊥CE，BE⊥CE，
∴∠ADC=∠CEB=90°，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△CBE
（2）解：∵△ACD≌△CBE，
∴AD=CE，CD=BE，
∵AD=12，DE=7，
∴BE=CD=CE-DE=12-7=5
【解析】【分析】（1）由∠ECB+∠ACD=90°∠ECB+∠CBE=90°，可得∠ACD=∠CBE， 由垂直的定义可得∠ADC=∠CEB=90°， 根据AAS可证△ACD≌△CBE；
（2） 利用全等三角形的性质可得AD=CE，CD=BE， 根据 BE=CD=CE-DE 进行计算即得.
20．（6分）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点 位于第二象限，点 位于第三象限，且a为整数.
（1）求点A和点B的坐标.
（2）若点 为x轴上一点，且 是以 为底的等腰三角形，求m的值.
【答案】（1）解：由题意得 ，
解得 ，
∵ 为整数，
∴ ，
∴ ；
（2）解：由题意知， 轴，假设点C(m，0)位置如图， 交x轴于点D，
∴D(-4，0)，
∵△ABC是以BC为底的等腰三角形，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ 或-1.
【解析】【分析】（1）根据第二象限的符号（-，+），第三象限的符号（-，-），由此建立关于a的不等式组，求出不等式组的解集；再由已知a为整数，可确定出a的值；然后求出点A，B的坐标.
（2）设点C(m，0)，利用勾股定理求出CD的长，再根据CD=|m+4|=3，解方程求出m的值.
21．（9分）在中，，直线经过点C，且于D，于E．
（1）当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：
①；
②．
（2）当直线绕点C旋转到图2的位置时，求证：；
（3）当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．
【答案】（1）证明：如图
①∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴．
②∵，
∴，，
∴．
（2）证明：
∵，
∴，
∴．
又∵，
∴，
∴，
∴．
（3）解：当旋转到图3的位置时，所满足的等量关系是（或等）．
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）①利用“一线三等角”证明即可；
②根据全等三角形的性质可得，，再利用线段的和差及等量代换可得；
（2）利用“一线三等角”证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得；
（3）先证明，可得，再利用线段的和差及等量代换可得。
22．（9分）综合与探究
已知在中，，D为直线上一动点（点D不与点B，点C重合），以为边作（其中），连接．
（1）如图1，当点D在边上时，求的度数．
（2）如图2，当点D在边的延长线上运动时，类比第（1）问，请你猜想线段，，的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，当点D在边的延长线上时，，求线段的长．
【答案】（1）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
（2）解：存在的数量关系为．
理由：
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（2）利用全等三角形的判定与性质证明求解即可；
（3）先求出 ， 再求出CD=3，最后利用勾股定理计算求解即可。
23．（9分）抗疫期间，社会各界众志成城，某乳品公司向疫区捐献牛奶，若由铁路运输每千克需运费0.58元；若由公路运输每千克需运费0.28元，并且还需其他费用600元．
（1）若该公司运输第一批牛奶共计8000千克，分别由铁路和公路运输，费用共计4340元，请问铁路和公路各运输了多少千克牛奶？
（2）设该公司运输第二批牛奶x（千克），选择铁路运输时，所需费用为（元），选择公路运输时，所需费用（元），请分别写出（元），（元）与x（千克）之间的关系式；
（3）运输第二批牛奶时公司决定只选择一种运输方式，请问随着x（千克）的变化，怎样选择运输方式所需费用较少？
【答案】（1）解：设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克
由题意可得： ，解得：
答：铁路和公路分别运输牛奶5000千克和3000千克．
（2）解：由题意可得：y1=0.58x，y2=0.28x+600．
（3）解：当y1=y2，时，0.58x=0.28x+600，解得x=2000
故当运输2000千克时，两种方式均可
当y1＜y2，时，0.58x＜0.28x+600，解得x＜2000
故当运输少于2000千克时，铁路划算
当y1＞y2，时，0.58x=0.28x+600，解得x＞2000
故当运输超过2000千克时，公路划算．
【解析】【分析】（1）设铁路和公路分别运输牛奶x、y千克，根据题意列出方程组，再求解即可；
（2）根据题意直接列出函数解析式即可；
（3）根据（2）中的解析式列出方程或不等式求解即可。
24．（9分）
（1） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一点，且 ，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图①，求CF的长；
（2） 是边长为6的等边三角形，E是边AC上的一个动点，小明以BE为边作等边三角形BEF，如图②，在点E从点C到点A的运动过程中，求点F所经过的路径长；
（3） 是边长为6的等边三角形，M是高CD上的一个动点，小明以BM为边作等边三角形BMN，如图③，在点M从点C到点D的运动过程中，求点N所经过的路径长.
【答案】（1）解：∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴
∵ ，
∴ ；
（2）解：如图所示：连结CF，由（1） ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
当点E在点C处时， ，
当点E在A处时，点F与点C重合.
∴点F运动的路径长即为AC长为6；
（3）解：如图所示：取BC的中点H，连结NH.
∵ ， ， ，
∴ ，
∵ 和 是等边三角形，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
在 和 中，
，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
当点M在C处时， ，
当点M在D处时，点N与点H重合.
∴点N所经过的路径的长为CD长即为 .
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质可得BA=BC，BE=BF，∠ABC=∠EBF=60°，根据角的和差关系可得∠ABE=∠CBF，证明△ABE≌△CBF，得到CF=AE，根据AE=AC-CE可得AE，进而可得CF；
（2）连结CF，根据全等三角形的性质可得CF=AE，∠BCF=∠BAE=60°，推出CF∥AB，当点E在点C处时，CF=AC；当点E在A处时，点F与点C重合，据此可得AC；
（3）取BC的中点H，连结NH，则BH=BD，根据等边三角形的性质可得BM=BN，∠ABC=∠MBN=60°，根据角的和差关系可得∠DBM=∠HBN，证明△DBM≌△HBN，得到HN=DM，∠BHM=∠BDM=90°，利用勾股定理求出HN，当点M在D处时，点N与点H重合，据此可得CD的长.
25．（9分）如图，在等边 中，点D是线段 上的一个点，连接 ，以 为边，作等边 ，连接 .
（1）求证： ；
（2）如图，当D点在射线 上时（C点的右边）， 是否仍然成立，请说明理由；
（3）如图，当D点在射线 上时（B点的左边），若 ，则 的度数是多少？
【答案】（1）证明：∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE.
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC，
∴∠BAD=∠EAC.
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD=CE.
（2）解：成立，理由如下：
∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE.
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
∴∠BAD=∠CAE.
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△CAE（SAS），
∴BD=CE.
（3）解： ∵△ABC和△ADE是等边三角形，
∴∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE.
∴∠BAE+∠DAB=∠BAE+∠FAC，
即：∠DAB=∠CAE
在△DAB和△CAE中
∴△DAB≌△EAC
∴DB=CE
又∵
∴
∴
∴∠ADC=∠DAB
∵∠ABC=60°
∴∠ADC+∠DAB=60°=2∠ADC
∴∠ADC=30°
【解析】【分析】（1）根据等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而利用SAS就可以得出△ABD≌△ACE，根据全等三角形对应边相等即可得出结论；
（2）由等边三角形的性质就可以得出∠BAC=∠DAE=60°，AB=BC=AC，AD=DE=AE，进而利用SAS就可以得出△ABD≌△ACE，就可以得出结论；
（3）利用SAS证明△DAB≌△EAC得DB=CE，从而可证AB=DB，得∠ADC=∠DAB，再根据三角形外角的性质可得结论.
26．（9分）
（1）如图1，平面直角坐标系中A(0，a)，B(a，0)(a>0)．C为线段AB的中点，CD⊥x轴于D，若△AOB的面积为2，则△CDB的面积为 ．
（2）如图2，△AOB为等腰直角三角形，O为直角顶点，点E为线段OB上一点，且OB＝3OE，C与E关于原点对称，线段AB交x轴于点D，连CD，若CD⊥AE，试求 的值．
（3）如图3，点C、E在x轴上，B在y轴上，OB＝OC，△BDE是以B为直角顶点的等腰直角三角形，直线CB、ED交于点A，CD交y轴于点F，试探究： 是否为定值 如果是定值，请求出该定值；如果不是，请求出其取值范围．
【答案】（1）
（2）如下图连接AC，
∵C与E关于原点对称，
∴CO=OE，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴∠OAB=∠B=45°，AO⊥CB，
∴∠EAO+∠AEC=90°，AC=AE，
∴∠CAO=∠EAO，
∵AE⊥CD，
∴∠BCD+∠AEC=90°，
∴∠CAO=∠EAO=∠BCD，
∵∠ADC=∠BCD+∠B，∠CAB=∠CAO+∠OAB，
∴∠ADC=∠CAB，
∴AC=CD，
作DM⊥BC，与BC交于M，
∴∠DMC=90°，
∴∠MDB=∠B=45°，
∴DM=MB，
在△ACO和△DCM中，
∵ ，
∴△ACO≌△DCM（AAS），
∴OE=CO=DM=MB，
∵OB＝3OE，
设OE=CO=DM=MB=m，
∵OB＝3OE，
∴OA=OB=3m，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）是定值，
作DN⊥OB，交y轴与N，
∴∠DNB=∠BOE=∠BOC=90°，
∴∠DBN+∠NBD=90°，
∵△BDE为等腰直角三角形，
∴∠DBN+∠OBE=90°，BD=BE，
∴∠NBD=∠OBE，
在△NBD和△OEB中
∵ ，
∴△NBD≌△OEB（AAS），
∴ND=OB=OC，NB=OE，
在△COF和△DNF中
∵
∴△COF≌△DNF（AAS），
∴NF=OF，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ．
【解析】【解答】（1）∵A(0，a)，B(a，0)，
∴AO=OB=a，∠ABO=45°，AB= ，
∵C为线段AB的中点，
∴ ，
∵CD⊥x轴，
∴∠CDB=90°，∠DCB=90°-∠ABO=45°，
∴DC=BD，
∵ ，
∴ ，
∵△AOB的面积为2，即 ，
∴ ，
故答案为： ；
【分析】（1）由点A，B的坐标可求出OA，OB的长，利用勾股定理求出AB的长，利用线段中点的定义求出BC的长；再利用勾股定理求出CD和BD的长，由△AOB的面积为2，可得到a的值；然后求出△CDB得面积.
（2）作DN⊥OB，交y轴与N，利用等腰直角三角形的性质，可证得BD=BE，利用余角的性质可得到∠NBD=∠OBE，利用AAS证明△NBD≌△OEB，利用全等三角形的性质可得到ND=OB=OC，NB=OE；再利用AAS证明△COF≌△DNF，利用全等三角形的对应边相等可得到 NF=OF，；然后求出CO-EO=2BF，由此可证得结论.
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