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苏科版九年级上册期末真题汇编培优卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图， AB是⊙O 的直径， C是⊙O 上一点. 若则∠A的度数为（ ）
A．30° B．33° C．45° D．60°
3．某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
B．2500x2＝8000
C．2500（1+x）2＝8000
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
4．下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．概率很小的事件不可能发生
C．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算
D．必然事件发生的概率是1
5．如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
6．用配方法解一元二次方程时，首先把化成（a、b为常数）的形式，则的值为（ ）
A．8 B．11 C．14 D．17
7．如图，点B，C，D在⊙A上， ， ，则 的度数为（ ）
A．68° B．78° C．88° D．98°
8．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
10．若四边形A鱿O的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（ )
A． B．
C． D．以上答案均不正确
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为 ．
12．如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
13．如图，矩形中，，，将矩形在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为
14．如图，四边形ABCD内接于，BC为的直径，.若，则的度数为 °.
15．如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数为 .
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则图中阴影部分的面积为 .
17．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是
18．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留π）．
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？
20．（6分）在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D.
（1）求证：OD＝ AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若 ，BC＝12，连接PC，求PC的长.
22．（9分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）用“转化”的思想求方程 ＝x的解．
（3）试直接写出 的解 ．
23．（9分）重庆一中的食堂素有“中学食堂排行榜第一名”的美称，一食堂的烧菜、二食堂的串串、三食堂的夜宵，让无数一中学子毕业后魂牵梦绕.每一道食物的烹饪离不开勤劳的厨师们，也离不开食堂采购人员精心的挑选.现有甲、乙两家肉禽类公司到我校推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似.学校决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了100个鸡腿，然后再从中随机各抽取20个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组： ；B组： C组： ；D组： ；E组： ）.学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
a.甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图
b.乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图
c.甲公司被抽取的鸡腿质量在 这一组的数据是：75 76 78 76 77 78 79
d.乙公司被抽取的鸡腿质量在 这一组的数据是：75 78 75 75 75 77 76 75
e.甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下：
公司 甲公司 乙公司
平均数 73 73
中位数 n 75
众数 74
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中m，n，k的值；
（2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量；
（3）根据以上数据分析，如果你是食堂采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）.
24．（9分）如图，已知点 ， 的坐标分别为 、 ，将 绕C点按顺时针方向旋转 得到△ .
（1）画出△ ；
（2）A的对应点为 ，写出点 的坐标；
（3）求出B旋转到 的路线长.
25．（9分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：PD=PF；
（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
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苏科版九年级上册期末真题汇编培优卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．下列方程是关于的一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A．当时，原方程不是一元二次方程，选项A不符合题意，A错误；
B．方程含有分式，选项B不符合题意，B错误；
C．含有2个未知数，选项C不符合题意，C错误；
D．，化简为，是一元二次方程，选项D符合题意，D正确．
故答案为：D．
【分析】本题考查一元二次方程的定义.一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程.A选项时，原方程未知数最高次数不是2次，据此可判断A选项；B选项含有分式，不是整式，据此可判断B选项；C选项含有两个未知数，据此可判断C选项；D选项利用完全平方公式展开化简可得：，符合一元二次方程的定义，据此可判断D选项.
2．如图， AB是⊙O 的直径， C是⊙O 上一点. 若则∠A的度数为（ ）
A．30° B．33° C．45° D．60°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
故答案为：B.
【分析】根据题意，利用圆周角的定理求∠A的度数即可。
3．某地区2010年投入教育经费2500万元，预计到2012年共投入8000万元．设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，则下列方程正确的是（ ）
A．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
B．2500x2＝8000
C．2500（1+x）2＝8000
D．2500（1+x）+2500（1+x）2＝8000
【答案】A
【解析】【解答】解：设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，
∴，
故答案为：A.
【分析】设这两年投入教育经费的年平均增长率为x，根据题意表示出2011年和2012年的教育经费，再根据"预计到2012年共投入8000万元"，据此即可列方程.
4．下列说法错误的是（ ）
A．通过大量重复试验，可以用频率估计概率
B．概率很小的事件不可能发生
C．投一枚图钉，“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算
D．必然事件发生的概率是1
【答案】B
【解析】【解答】解：A、通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此说法正确，则本项不符合题意；
B、概率很小的事件，代表其发生可能性小，不代表不发生，此说法错误，则本项符合题意；
C、投一枚图钉，由于图形构造不均匀，即“钉尖朝上”的概率不能用列举法计算，此说法正确，则本项不符合题意；
D、必然事件发生的概率是1，此说法正确，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中超势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率；随机事件、必然事件的可能性大小；古典概型的前提条件逐一判断即可.
5．如图，要设计一幅宽，长的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为．如果要使彩条所占面积是图案面积的三分之一，应如何设计彩条的宽度？
若设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，则根据题意，列方程为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为，
由题意得： .
故答案为：C.
【分析】 设每个横彩条的宽度为，则每个竖彩条的宽度为， 则剩余部分可合成长为（30-4x）cm，宽为（20-6x）cm的矩形，根据“ 彩条所占面积是图案面积的三分之一 ”列出方程即可.
6．用配方法解一元二次方程时，首先把化成（a、b为常数）的形式，则的值为（ ）
A．8 B．11 C．14 D．17
【答案】D
【解析】【解答】解：
x2+6x=5，
x2+6x+9=14，
∴（x+3）2=14，
∴a=3，b=14，
∴a+b=17.
故答案为：D.
【分析】先将常数项移到方程的右边，再在方程的两边同加上一次项系数一半的平方，即可配方，从而求出a、b的值，继而得解.
7．如图，点B，C，D在⊙A上， ， ，则 的度数为（ ）
A．68° B．78° C．88° D．98°
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：C.
【分析】根据同圆中圆周角和圆心角的关系求出∠BDC的大小，则∠BDC的度数可求，最后再根据根据同圆中圆周角和圆心角的关系求出∠CAD的大小即可.
8．如图，将正方形ABCD绕着点A逆时针旋转得到正方形AEFG，点B的对应点E落在正方形ABCD的对角线上，若 ，则 的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：连接AC、AF，如图：
∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴AB=BC=AD= ，∠DAE=45°，
∴由勾股定理，则
，
∴ ，
由弧长公式，则
的长为： ；
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理结合正方形的性质求出AC的长， 由旋转的性质可知AF的长，然后由弧长公式求出CF的弧长即可.
9．如图，已知E是 的外心，P，Q分别是 ， 的中点，连接 ， ，分别交 于点F，D.若 ， ， ，则 的面积为（ ）
A．72 B．96 C．120 D．144
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接AF，AD，AE，BE，CE，
∵点E是△ABC的外心，
∴AE=BE=CE，
∴△ABE，△ACE是等腰三角形，
∵点P、Q分别是AB、AC的中点，
∴PE⊥AB，QE⊥AC，
∴PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，
∴AF=BF=10， AD=CD=8，
在△ADF中，∵ ，
∴△ADF是直角三角形，∠ADF=90°，
∴S△ABC= ，
故答案为：B.
【分析】连接AF，AD，AE，BE，CE， 由E是 的外心，得到△ABE，△ACE是等腰三角形，接着得到PE垂直平分AB，QE垂直平分AC，得到AF=BF=10， AD=CD=8，接着由勾股定理逆定理得到△ADF是直角三角形，再由S△ABC= ，即可得到.
10．若四边形A鱿O的对角线AC，BD相交于O，△AOB，△BOC，△COD，△DOA的周长相等，且△AOB，△BOC，△COD的内切圆半径分别为3，4，6，则△DOA的内切圆半径是（ )
A． B．
C． D．以上答案均不正确
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，设四个三角形的周长为c，
S△AOB=×c×3，S△BOC=×c×4，
∴S△AOB：S△BOC=3：4，
，
∴OA：OC=3：4，
则S△AOD：S△COD=3：4，
∴S△AOD：S△COD=×c×r：×c×6=3：4，
解得r=.
故答案为：A.
【分析】因为三角形的面积等于周长和内切圆半径乘积的一半，结合四个三角形周长相等，于是可求 △AOB和△BOC之比， 再由△AOB和△BOC同高，从而得出OA和OC的比值，其等于△DOA 和△COD的面积之比，再根据三角形的面积等于周长和内切圆半径乘积的一半，即可求得△DOA的内切圆半径.
阅卷人 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
得分
11．已知关于x的一元二次方程x2﹣mx+6＝0．其中一个解x＝3，则m的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：把x＝3代入方程x2﹣mx+6＝0得9﹣3m+6＝0，
解得m＝5．
故答案是：5．
【分析】把 x＝3代入方程可得m的值。
12．如图，在中，是的中点，作点关于弦的对称点，连接并延长交于点，过点作于点，若，则等于 度．
【答案】18
【解析】【解答】解：如图：连接AC、BC、DC
设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，
∴BF⊥AE，
∴∠E＝90° x，
∵C点和D点关于AB对称，
∴AD＝AC，AB垂直平分CD，
∴AB平分∠CAD，
∴∠CAB＝∠DAB＝2x，
∵C是 的中点，
∴∠ABC＝∠CAB＝2x，
∴∠ACB＝180° 4x，
∵∠ACB＋∠AEB＝180°，
∴180° 4x＋90° x＝180°，解得x＝18°，
即∠EBF等于18度．
故答案为：18．
【分析】设∠EBF＝x，则∠BAE＝2x，∠E＝90° x，根据对称的性质得AD＝AC，AB垂直平分CD，则可判断AB平分∠CAD，则∠CAB＝∠DAB＝2x，根据圆周角定理得到∠ABC＝∠CAB＝2x，根据三角形的内角和定理得∠ACB＝180° 4x，利用圆内接四边形的性质得180° 4x＋90° x＝180°，然后解方程即可．
13．如图，矩形中，，，将矩形在直线l上按顺时针方向不滑动的每秒转动，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为
【答案】
【解析】【解答】解：由勾股定理得矩形的对角线长为10，
从到，，路线长为；
从到，，路线长为；
从到，，路线长为；
所以总长为．
故填空答案：．
【分析】由勾股定理得矩形的对角线长，利用弧长公式分别求得从到，从到和从到的弧长，即可求解.
14．如图，四边形ABCD内接于，BC为的直径，.若，则的度数为 °.
【答案】140
【解析】【解答】解：∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA=70°，
∴∠AOB=180°-2∠OAB=180°-2×70°=40°，
∵OA∥CD，
∴∠AOB=∠C=40°；
∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，
∴∠BAD=180°-∠C=180°-40°=140°.
故答案为：140
【分析】利用等边对等角可求出∠OAB的度数，再利用三角形的内角和定理求出∠AOB的度数；然后根据圆内接四边形的对角互补，可求出∠BAD的度数.
15．如图，五边形ABCDE是的内接正五边形，则正五边形的中心角的度数为 .
【答案】72°
【解析】【解答】解：∵ 五边形ABCDE是的内接正五边形，
∴中心角∠COD=360°÷5=72°.
故答案为：72°
【分析】利用圆的内接正n边形的中心角为，将n=5代入计算，可求解.
16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB为直径的⊙O交BC于点D，则图中阴影部分的面积为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝30°，
∴∠DOA＝2∠B＝60°，
∴图中阴影部分的面积为 ＝ .
故答案为： .
【分析】根据等边对等角得∠B＝∠C＝30°，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍得∠DOA=60°，进而根据扇形面积计算公式“”直接代入计算即可.
17．把一张圆形纸片按如图方式折叠两次后展开，图中的虚线表示折痕，则的度数是
【答案】120°
【解析】【解答】解：如图，过点O作OG⊥AB，交圆O于点G，交AB于点H，连接AG，AO，BO，
由折叠得GH=OH，
∴AG=AO，
∵AO=OG，
∴AO=OG=AG，
∴△AGO是等边三角形，
∴∠AOG=60°，
同理∠BOG=60°，
∴∠BOA=120°，
∴弧AB的度数是120°.
故答案为：120°.
【分析】过点O作OG⊥AB，交圆O于点G，交AB于点H，连接AG，AO，BO，由折叠得GH=OH，根据线段垂直平分线性质可得AG=AO，结合同圆半径相等可推出△AGO是等边三角形，则∠AOG=60°，同理∠BOG=60°，进而由角的和差及圆心角、弧的关系可得答案.
18．如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是 （结果保留π）．
【答案】
【解析】【解答】解：根据图示知，∠1+∠2=180°﹣90°﹣45°=45°，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∠1﹣∠2=135°，
∴阴影部分的面积应为：S=．
故答案是：．
【分析】阴影部分可看成是圆心角为135°，半径为1是扇形．
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共66分）
得分
19．（6分）如图所示，已知圆锥底面半径r=10cm，母线长为40cm．
（1）求它的侧面展开图的圆心角和表面积．
（2）若一甲出从A点出发沿着圆锥侧面行到母线SA的中点B，请你动脑筋想一想它所走的最短路线是多少？为什么？
【答案】（1）解：=2π×10，
解得n=90°．
圆锥表面积=π×102+π×10×40=500πcm2．
（2）解：如右图，由圆锥的侧面展开图可见，甲虫从A点出发沿着圆锥侧面绕行到母线SA的中点B所走的最短路线是线段AB的长．
在Rt△ASB中，SA=40，SB=20，
∴AB=20（cm）．
∴甲虫走的最短路线的长度是20cm．
【解析】【分析】（1）根据圆锥侧面展开图的弧长等于其底面周长，可求出圆心角度数；圆锥的表面积=底面积+侧面面积，据此计算即可；
（2）将圆锥的侧面展成平面图形，连接AB，则线段AB的长即为它所走的最短路线，根据勾股定理计算即可.
20．（6分）在平面内，O为线段AB的中点，所有到点O的距离等于OA的点组成图形W．取OA的中点C，过点C作CD⊥AB交图形W于点D，D在直线AB的上方，连接AD，BD．
（1）求∠ABD的度数；
（2）若点E在线段CA的延长线上，且∠ADE＝∠ABD，求直线DE与图形W的公共点个数．
【答案】（1）解：根据题意，图形W为以O为圆心，OA为直径的圆．
如图1，连接OD，
∴OA＝OD．
∵点C为OA的中点，CD⊥AB，
∴AD＝OD．
∴OA＝OD＝AD．
∴△OAD 是等边三角形．
∴∠AOD＝60°．
∴∠ABD＝30°．
（2）解：如图2，
∵∠ADE＝∠ABD，
∴∠ADE＝30°．
∵∠ADO＝60°．
∴∠ODE＝90°．
∴OD⊥DE．
∴DE是⊙O的切线．
∴直线DE与图形W的公共点个数为1．
【解析】【分析】（1）连接OD，证明△OAD为等边三角形，可得∠AOD=60°，根据圆周角定理可求出∠ABD的度数；
（2）由∠ADE＝∠ABD=30°，从而求出∠ODE=∠ADE+∠ADO=90°，根据切线的判定定理可证DE是⊙O的切线 ，从而得解.
21．（9分）如图，AB是⊙O的直径，点P在⊙O上，且PA＝PB，点M是⊙O外一点，MB与⊙O相切于点B，连接OM，过点A作AC∥OM交⊙O于点C，连接BC交OM于点D.
（1）求证：OD＝ AC；
（2）求证：MC是⊙O的切线；
（3）若 ，BC＝12，连接PC，求PC的长.
【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵AC∥OM，
∴ ，
∴OD⊥BC，
∴D为BC的中点，O为AB的中点，
∴OD为△ABC为中位线，
∴OD＝ AC；
（2）证明：如图所示：连接OC，
∵AC∥OM，
∴∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠ACO，
∴∠BOM＝∠COM，
在△OCM与△OBM中，
，
∴△OCM≌△OBM（SAS）
又∵MB是⊙O的切线，
∴∠OCM＝∠OBM＝90°，
∴MC是⊙O的切线；
（3）解：∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB＝∠APB＝90°
∵OB＝ ，
∴AB＝15，
∴PA＝PB＝ ，
∵BC=12，
∴AC=9，
过点A作AH⊥PC于点H，
∵ ， ，
∴AH＝CH＝ ，
，
∴PC＝PH+CH＝ .
【解析】【分析】（1）由圆周角定理可得∠ACB=90°，由平行线的性质可得∠BDO=∠ACB=90°，根据垂径定理得出D为BC的中点，故OD为△ABC为中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半即可得出结论；
（2）连接OC，由平行线的性质可得∠OAC＝∠BOM，∠ACO＝∠COM，由等腰三角形的性质可得∠OAC＝∠ACO，得出 ∠BOM＝∠COM ，从而利用SAS证△OCM≌△OBM，根据全等三角形的对应角相等结合切线的性质可得∠OCM＝∠OBM＝90°，据此证明；
（3）由圆周角定理可得∠ACB＝∠APB＝90°，求出AB、PA、AC的值，过点A作AH⊥PC于点H，易得AH=CH，由勾股定理求出CH、PH，接下来根据PC=PH+CH进行计算.
22．（9分）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想我们还可以解一些新的方程例如一元三次方程x3+x2﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）＝0，通过解方程x＝0和x2+x﹣2＝0，可得方程x3+x2﹣2x＝0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ．
（2）用“转化”的思想求方程 ＝x的解．
（3）试直接写出 的解 ．
【答案】（1）1；-2
（2）解：∵ ＝x，
∴2x+3＝x2（x≥0），即x2﹣2x﹣3＝0，
∴（x+1）（x﹣3）＝0
则x+1＝0或x﹣3＝0，
解得x1＝﹣1（舍去，不合题意），x2＝3．
（3） ，
【解析】【解答】解：（1）∵x3+x2﹣2x＝0
∴x（x2+x﹣2）＝0，
∴x（x﹣1）（x+2）＝0
则x＝0或x﹣1＝0或x+2＝0
解得x1＝0，x2＝1，x3＝﹣2，
故答案为1，-2；
（3）∵ ，
∴ 或 ，
解得 ， ．
故答案为 ， ．
【分析】（1）首先意公因式x，继而因式分解，求出解即可；
（2）将式子的两边平方后整理得到式子，解出答案即可；
（3）将方程组进行转化，解二元一次方程组即可。
23．（9分）重庆一中的食堂素有“中学食堂排行榜第一名”的美称，一食堂的烧菜、二食堂的串串、三食堂的夜宵，让无数一中学子毕业后魂牵梦绕.每一道食物的烹饪离不开勤劳的厨师们，也离不开食堂采购人员精心的挑选.现有甲、乙两家肉禽类公司到我校推销鸡腿，两家鸡腿价格相同，品质相似.学校决定通过评估质量来确定选择哪家鸡腿，检查人员从两家分别抽取了100个鸡腿，然后再从中随机各抽取20个，这些鸡腿的质量记为x（单位：克），将所得的数据分为5组（A组： ；B组： C组： ；D组： ；E组： ）.学校对数据进行分析后，得到如下部分信息：
a.甲公司被抽取的20个鸡腿质量频数分布直方图
b.乙公司被抽取的20个鸡腿质量扇形统计图
c.甲公司被抽取的鸡腿质量在 这一组的数据是：75 76 78 76 77 78 79
d.乙公司被抽取的鸡腿质量在 这一组的数据是：75 78 75 75 75 77 76 75
e.甲、乙公司被抽取的鸡腿质量的平均数、中位数、众数如下：
公司 甲公司 乙公司
平均数 73 73
中位数 n 75
众数 74
根据以上信息，解答下列问题：
（1）直接写出上述表中m，n，k的值；
（2）根据以上数据，请估算乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量；
（3）根据以上数据分析，如果你是食堂采购人员，你会选择采购哪个公司的鸡腿，请说明理由（写出一条理由即可）.
【答案】（1） ， ，
（2）解： （个）
所以乙公司这100个鸡腿中质量不低于75克的数量为55个.
（3）解：我会选择采购甲公司，因为甲公司和乙公司的鸡腿质量平均数都为73克，但甲公司鸡腿质量的中位数75.5克大于乙公司鸡腿质量的中位数75克.
【解析】【解答】解：（1）由乙公司中抽取的20个鸡腿中质量位于B组的有8个，则其所占的百分比为：8÷20×100%=40%，
D组中鸡腿所占的百分比为1－(15%+40%+15%+10%)=20%，所以m=20；
把甲公司抽取的20个鸡腿质量按从大到小排列，位于中间的两个鸡腿质量正好是B组的75和76两个数，则中位数为(75+76)÷2=75.5，即n=75.5；
由扇形统计图计算知，乙公司中A组的有20×15%=3（个），
C组的有20×15%=3（个），
D组的有20×20%=4（个），
E组的有20×10%=2（个），
其中B组8个中质量为75克的共有5个，
所以此组数据的众数为75.
故答案为： ， ， ；
【分析】（1）由题意可得：由乙公司中抽取的20个鸡腿中质量位于B组的所占的百分比，再根据百分比之和为1得到m的值；把甲公司抽取的20个鸡腿质量按从大到小排列，求出第10、11个数据的平均数即为中位数n的值；由扇形统计图求出乙公司中A组、C组、D组的个数，然后根据众数的概念可得k的值；
（2）求出乙公司这100个鸡腿中处于A、B组的个数所占的百分比之和，然后乘以100即可；
（3）根据平均数、中位数的大小进行分析.
24．（9分）如图，已知点 ， 的坐标分别为 、 ，将 绕C点按顺时针方向旋转 得到△ .
（1）画出△ ；
（2）A的对应点为 ，写出点 的坐标；
（3）求出B旋转到 的路线长.
【答案】（1）解：△ 如图所示.
（2）解：由图可知 .
（3）解： ， ，
弧 的长为 .
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质找出点A、B绕C点顺时针旋转90°的对应点A1、B1，然后顺次连接；
（2）根据（1）中的图象就可得到点A1的坐标；
（3）利用勾股定理求出BC，然后结合弧长公式进行计算.
25．（9分）已知：如图，△ABC内接于⊙O，AB为直径，∠CBA的平分线交AC于点F，交⊙O于点D，DE⊥AB于点E，且交AC于点P，连结AD．
（1）求证：∠DAC=∠DBA；
（2）求证：PD=PF；
（3）连接CD，若CD﹦3，BD﹦4，求⊙O的半径和DE的长．
【答案】（1）证明：∵BD平分∠CBA，∴∠CBD=∠DBA，∵∠DAC与∠CBD都是弧CD所对的圆周角，
∴∠DAC=∠CBD，∴∠DAC=∠DBA，∵AB是⊙O的直径，DE⊥AB，∴∠ADB=∠AED=90°，
∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DBA+∠DAE=90°，∴∠ADE=∠DBA，∴∠DAC=∠ADE，∴∠DAC=∠DBA
（2）证明：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵DE⊥AB于E，∴∠DEB=90°，
∴∠ADE+∠EDB=∠DFA+∠DAC =90°，又∵∠ADE =∠DAP，∴∠PDF=∠PFD，∴PD=PF
（3）解：连接CD，∵∠CBD=∠DBA，∴CD=AD，∵CD﹦3，∴AD=3，∵∠ADB=90°，∴AB=5，
故⊙O的半径为2.5，∵DE×AB=AD×BD，∴5DE=3×4，∴DE=2.4． 即DE的长为2.4．
【解析】【分析】(1)、利用角平分线的性质得出∠CBD=∠DBA，进而得出∠DAC=∠DBA，再利用互余的性质得出∠DAC=∠ADE，进而得出∠DAC=∠DBA；(2)、利用圆周角定理得出∠ADB=90°，进而求出∠PDF=∠PFD，则PD=PF；(3)、利用勾股定理得出AB的长，再利用三角形面积求出DE即可．
26．（9分）如图，在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，P点在BC上，从B点到C点运动（不包括C点），点P运动的速度为2cm/s；Q点在AC上从C点运动到A点（不包括A点），速度为5cm/s．若点P、Q分别从B、C同时运动，且运动时间记为t秒，请解答下面的问题，并写出探索的主要过程．
（1）当t为何值时，P、Q两点的距离为5 cm？
（2）当t为何值时，△PCQ的面积为15cm2？
（3）请用配方法说明，点P运动多少时间时，四边形BPQA的面积最小？最小面积是多少？
【答案】（1）解：∵在Rt△ABC中，AC=24cm，BC=7cm，∴AB=25cm，设经过ts后，P、Q两点的距离为5 cm，ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
根据勾股定理可知PC2+CQ2=PQ2，
代入数据（7-2t）2+（5t）2=（5 ）2；解得t=1或t=- （不合题意舍去）
（2）解：设经过ts后，S△PCQ的面积为15cm2ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= = ×（7-2t）×5t=15
解得t1=2，t2=1.5，经过2或1.5s后，S△PCQ的面积为15cm2
（3）解：设经过ts后，△PCQ的面积最大，则此时四边形BPQA的面积最小，
ts后，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，
S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2t）×5t= ×（-2t2+7t）
当t=- 时，即t= =1.75s时，△PCQ的面积最大，
即S△PCQ= ×PC×CQ= ×（7-2×1.75）×5×1.752= （cm2），
∴四边形BPQA的面积最小值为：S△ABC-S△PCQ最大= ×7×24- = （cm2），
当点P运动1.75秒时，四边形BPQA的面积最小为： cm2
【解析】【分析】（1）由题意可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，在直角三角形PCQ中，根据勾股定理可得，PC2+CQ2=PQ2，将PC、CQ、PQ代入等式，可得关于t的方程，解方程即可求解；
（2）由（1）可得PC=7-2t cm，CQ=5t cm，则△PCQ的面积=PC×CQ=15，列方程即可求解；
（3）由（2）知，PC=7-2t cm，CQ=5t cm，△PCQ的面积=PC×CQ，要使四边形BPQA的面积最小，则△PCQ的面积最大，求得使△PCQ的面积最大的t值即可。
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