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沪科版八年级上册期末复习闯关卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．一次函数的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，10cm B．8cm，9cm，17cm
C．13cm，12cm，18cm D．5cm，5cm，11cm
3．我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，如图是我国四个银行的商标图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
4．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等
5．如图，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，经过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
6．如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
7．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．5 D．13
9．如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
10．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的度数为 ．
12．如图，在 中， ， ，AD是 的中线，AE是 的角平分线， 交AE的延长线于点F，则DF的长为 .
13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 的长就等于AB的长．
14．”两个全等的三角形的周长相等“的逆命题是 命题。（填”真“或”假“）。
15．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是 ．
16．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
三、综合题（本大题共9小题，共72分）
17．（8分）如图， ，点E在 上， 与 相交于点F，若 ， ， ， .
（1）求线段 的长；
（2）求 的度数.
18．（8分）已知一个等腰三角形的周长是30厘米，
（1）若腰长是底边长的2.5倍，求各边的长.
（2）若其中一边长为6厘米，则其他两边长各是多少？
19．（8分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G.
（1）若∠G=29°，求∠ADC的度数；
（2）若点F是BC的中点，求证：AB=AD+CD.
20．（8分）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A （﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y＝3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求AB的函数表达式；
（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△COD＝ S△BOC，求点D的坐标．
22．（8分）如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由.
23．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、
B、C三点在格点(小正方形的顶点)上.
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）求△ABC的面积.
24．（8分）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
25．（8分）为了落实政府的“精准扶贫”政策，某县政府准备购买 、 两种类型的化肥，通过市场调研得知：购买2袋 种化肥和3袋 种化肥共需560元；购买3袋 种化肥比购买2袋 种化肥多用60元.
（1）每袋 种化肥和 种化肥各多少元？
（2）现某村组需要购买 ， 两种类型的化肥共30袋，设购买 种化肥 袋，购买 种化肥和 种化肥的总费用为 元，如果购买 种化肥的数量不超过15袋，求购买这批化肥的最少费用.
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沪科版八年级上册期末复习闯关卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．一次函数的图象经过点P，且y的值随x值的增大而增大，则点P的坐标不可能为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：∵y的值随x值的增大而增大，
∴，
又∵，
∴一次函数的图象经过第一、二、三象限．
∵在第四象限，
∴点P的坐标不可能为．
故答案为：D．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系可得一次函数的图象经过第一、二、三象限，再逐项判断即可。
2．下列每组数分别是三根小木棒的长度，用它们能摆成三角形的是（ ）
A．3cm，4cm，10cm B．8cm，9cm，17cm
C．13cm，12cm，18cm D．5cm，5cm，11cm
【答案】C
【解析】【解答】解：A、3+4<10，不能组成三角形；
B、8+9=17，不能组成三角形；
C、13+12>18，能够组成三角形；
D、5+5＜11，不能组成三角形．
故答案为：C．
【分析】利用三角形三边的关系逐项判断即可。
3．我国主要银行的商标设计基本上都融入了中国古代钱币的图案，如图是我国四个银行的商标图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
【解析】【解答】解：①不是轴对称图形；
②是轴对称图形；
③是轴对称图形；
④是轴对称图形；
故是轴对称图形的是②③④．
故选：D．
【分析】根据轴对称的定义，结合所给图形进行判断即可．
4．为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条，这样做的道理是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．三角形具有稳定性 D．两直线平行，内错角相等
【答案】C
【解析】【解答】解：这样做的道理是三角形具有稳定性．
故选：C．
【分析】三角形具有稳定性，其它多边形不具有稳定性，把多边形分割成三角形则多边形的形状就不会改变．
5．如图，△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点F，经过点F作DE∥BC，交AB于D，交AC于点E，若BD+CE=9，则线段DE的长为（ ）
A．9 B．8 C．7 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：∵∠B和∠C的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠BCF=∠ECF；
∵DE∥BC，
∴∠DFB=∠FBC=∠FBD，∠EFC=∠FCB=∠ECF，
∴DF=DB，EF=EC，
即DE=DF+FE=DB+EC=9．
故选A．
【分析】本题主要利用两直线平行，内错角相等，角平分线的定义以及三角形中等角对等边的性质进行做题．
6．如图，在3×3的正方形网格中由四个格点A，B，C，D，以其中一点为原点，网格线所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称，则原点是（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】B
【解析】【解答】当以点B为原点时，A（﹣1，﹣1），C（1，﹣1），则点A和点C关于y轴对称，符合条件，故选：B．
【分析】以每个点为原点，确定其余三个点的坐标，找出满足条件的点，得到答案．
7．在20km越野赛中，甲乙两选手的行程y（单位：km）随时间x（单位：h）变化的图象如图所示，根据图中提供的信息，有下列说法：①两人相遇前，甲的速度小于乙的速度；②出发后1小时，两人行程均为10km；③出发后1.5小时，甲的行程比乙多3km；④甲比乙先到达终点．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】【解答】在两人出发后0.5小时之前，甲的速度小于乙的速度，0.5小时到1小时之间，甲的速度大于乙的速度，故①错误；由图可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，故②正确；甲的图象的解析式为y=10x，乙AB段图象的解析式为y=4x+6，因此出发1.5小时后，甲的路程为15千米，乙的路程为12千米，甲的行程比乙多3千米，故③正确；甲到达终点所用的时间较少，因此甲比乙先到达终点，故④正确．故选C．
【分析】根据题目所给的图示可得，两人在1小时时相遇，行程均为10km，出发0.5小时之内，甲的速度大于乙的速度，0.5至1小时之间，乙的速度大于甲的速度，出发1.5小时之后，乙的路程为15千米，甲的路程为12千米，再利用函数图象横坐标，得出甲先到达终点．
8．已知三角形三边长分别为2，x，13，若x为正整数，则这样的三角形个数为( )
A．2 B．3 C．5 D．13
【答案】B
【解析】【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；解答即可；
【解答】由题意可得，，
解得，11＜x＜15，
所以，x为12、13、14；
故选B．
【点评】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边差小于第三边；牢记三角形的三边关系定理是解答的关键．
9．如图，D为边BC延长线上一点，与的平分线交于点，与的平分线交于点与的平分线交于点，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠A=∠ACD-∠ABC，
∵∠ABC的角平分线与∠ACD的平分线交于点A1，
∴∠A1=∠A1CD-∠A1BC=，
同理可得
……
以此类推，，
又∵，
∴，∴.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义及三角形外角性质得据此可得规律，从而即可求解.
10．如图，为线段上一动点（不与点，重合），在同侧分别作等边和等边，与交于点，与交于点，与交于点，连接，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵和是等边三角形，
∴
∴，
在和中
，
∴
∴，故A选项不合题意；
∵
∴故B选项不合题意；
在和中，
∴
∴
又∵
∴是等边三角形
∴
∴
∴，故D选项不合题意.
故答案为：C.
【分析】根据等边三角形的性质得AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，进而根据平角的定义推出∠BCD=60°，∠ACD=∠BCE=120°，由SAS可证△ACD≌△BCE，可得AD＝BE，∠CAD＝∠CBE，由外角的性质及等量代换可得∠DOE＝60°，再利用ASA判断出△ACP≌△BCQ，得到PC=CQ，可以推出△CPQ是等边三角形，可得∠CPQ＝60°＝∠ACB，可证PQ∥AE，即可求解．
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
11．将一副三角板按如图所示的方式放置，图中的度数为 ．
【答案】75°
【解析】【解答】解：∵，
∴.
故答案为：75°．
【分析】利用三角形外角的性质“三角形的任意一个外角等于与之不相邻的两个内角的和”可求出∠DAC=105°，再利用邻补角的定义即可求出∠CAF的度数.
12．如图，在 中， ， ，AD是 的中线，AE是 的角平分线， 交AE的延长线于点F，则DF的长为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，D为底边的中点，
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=60°，∠ADB=90°，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=30°.
∵DF∥AB，
∴∠F=∠BAE=30°.
∴∠DAF=∠F=30°，
∴AD=DF.
∵AB=8，∠B=30°，
∴AD=4，
∴DF=4
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得到AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，从而可得到∠BAD=60°，∠ADB=90°，再根据角平分线的性质即可得到∠DAE=∠EAB=30°，从而可推出AD=DF，根据直角三角形30度角的性质即可求得AD的长，即得到了DF的长.
13．如图，要测量池塘两岸相对的两点A、B的距离，可以在AB的垂线BF上取两点C、D，使BC＝CD，再作出BF的垂线DE，使A、C、E三点在一条直线上，这时测得 的长就等于AB的长．
【答案】DE
【解析】【解答】解：根据题意可知：
∠B＝∠D＝90°，BC＝CD，∠ACB＝∠ECD，
即
∴△ABC≌△EDC（ASA），
∴AB＝DE．
故答案为：DE．
【分析】由对顶角相等，两个直角相等及BD＝CD，可以判断两个三角形全等；所以AB＝DE．
14．”两个全等的三角形的周长相等“的逆命题是 命题。（填”真“或”假“）。
【答案】假
【解析】【解答】解：逆命题为：周长相等的两个三角形全等，
因为已知三角形的周长，三角形三边的长短是不确定的，所以不能判断是否全等，是假命题.
故答案为：假.
【分析】逆命题的条件和结论分别是原命题的结论和条件，先写出逆命题再分析判断真假即可.
15．如图，一次函数 与 的图象相交于点 ，则方程组 的解是 ．
【答案】
【解析】【解答】 的图象经过 ，
，
，
一次函数 与 的图象相交于点 ，
方程组 的解是 ，
故答案为 ．
【分析】由两条直线的交点坐标 ，先求出m，再求出方程组的解即可．
16．如图，等腰三角形的底边长为，面积是，腰的垂直平分线分别交，边于点，，若点为边的中点，点为线段上一动点，则周长的最小值为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解：如图所示，连接AD，
∵等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点，
∴AD⊥BC，
∴S△ABC＝BC·AD＝×4·AD＝16，
解得AD＝8，
∵EF是腰AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AD的长为CM+MD的最小值，
∴△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝8+×4＝8+2＝10．
故答案为：10．
【分析】如图所示，连接AD，由等腰△ABC的底边BC长为4，面积是16，点D是BC边的中点，可得到AD⊥BC，利用三角形的面积公式求出AD的长，根据EF是线段AC的垂直平分线，可知点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，再由△CDM的周长最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC，代入数值计算即可求解.
阅卷人 三、综合题（本大题共9小题，共72分）
得分
17．（8分）如图， ，点E在 上， 与 相交于点F，若 ， ， ， .
（1）求线段 的长；
（2）求 的度数.
【答案】（1）解： ∵△ABC≌△DEB，
∴BC=BE=4，AB=DE=7
∴AE=AB-BE=7-4=3.
（2）解： ∵△ABC≌△DEB，
∴∠D=∠A=35°，∠C=∠EBD=60°
∴∠AEF=∠D+∠EBD=35°+60°=95°
∴∠AFD=∠A+∠AEF=35°+95°=130°.
【解析】【分析】（1）利用全等三角形的性质可求BE，AB的长，再根据AE=AB-BE，代入计算可求出AE的长。
（2）利用全等三角形的性质可证得∠D=∠A=35°，∠C=∠EBD=60°，利用三角形的外角的性质可求出∠AEF的度数；然后∠AFD=∠A+∠AEF，代入计算可求出∠DFA的度数。
18．（8分）已知一个等腰三角形的周长是30厘米，
（1）若腰长是底边长的2.5倍，求各边的长.
（2）若其中一边长为6厘米，则其他两边长各是多少？
【答案】（1）解：设底边BC=acm，则AC＝AB＝2.5acm，
∵三角形的周长是30cm，
∴2.5a＋2.5a＋a＝30，
∴a＝5，2.5a＝12.5，
∴等腰三角形的三边长是5cm，12.5cm，12.5cm.
（2）解：①当等腰三角形的底边长为6cm时，腰长＝（30 6）÷2＝12（cm）；
则等腰三角形的三边长为6cm、12cm、12cm，能构成三角形；
②当等腰三角形的腰长为6cm时，底边长＝30 2×6＝18（cm）；
则等腰三角形的三边长为6cm，6cm、18cm，不能构成三角形.
故等腰三角形另外两边的长为12cm，12cm.
【解析】【分析】（1）设底边BC=acm，则AC＝AB＝2.5acm，根据三角形的周长是30cm列出方程，求出x值即可；
（2）分两种情况：①当等腰三角形的底边长为6cm时 ， ②当等腰三角形的腰长为6cm时，根据等腰三角形的性质及三角形三边关系分别求解即可.
19．（8分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，AF平分∠BAD，交BC于点F，交CD的延长线于点G.
（1）若∠G=29°，求∠ADC的度数；
（2）若点F是BC的中点，求证：AB=AD+CD.
【答案】（1）解：∵AB∥CD，∴ ∠BAG=∠G， ∠BAD=∠ADC.
∵AF平分∠BAD，∴∠BAD=2∠BAG=2∠G.
∴∠ADC=∠BAD=2∠G .
∵∠G=29°，∴∠ADC=58°.
（2）证明：∵AF平分∠BAD，∴∠BAG=∠DAG.
∵∠BAG=∠G， ∴∠DAG=∠G.
∴AD=GD.
∵点F是BC的中点，∴BF=CF.
在△ABF和△GCF中，
∵
∴△ABF≌△GCF.
∴AB=GC.
∴AB=GD+CD=AD+CD.
【解析】【分析】（1） 由平行线的性质可得∠BAG=∠G，∠BAD=∠ADC，由角平分线的定义可得∠BAD=
2∠BAG=2∠G，据此即得结论；
（2）根据角平分线的定义得∠BAG=∠DAG，根据平行线的性质得∠BAG=∠G，根据等量代换得 ∠DAG=∠G ，由等角对等边得AD=GD， 根据AAS证明△ABF≌△GCF，可得AB=GC，从而得出AB=GD+CD=AD+CD.
20．（8分）课间，小明拿着老师的等腰三角板玩，不小心掉在两墙之间，如图所示：
（1）求证：△ADC≌△CEB；
（2）已知DE=35cm，请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小（每块砖的厚度相同）
【答案】（1）证明：由题意得：AC＝BC，∠ACB＝90°，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC＝∠CEB＝90°，
∴∠ACD＋∠BCE＝90°，∠ACD＋∠DAC＝90°，
∴∠BCE＝∠DAC，
在△ADC和△CEB中 ，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
（2）解：由题意得：∵一块墙砖的厚度为a，
∴AD＝4a，BE＝3a，
由（1）得：△ADC≌△CEB，
∴DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，
∴DC＋CE＝BE＋AD＝7a＝35，
∴a＝5，
答：砌墙砖块的厚度a为5cm.
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得∠ADC＝∠CEB＝90°，利用余角的的性质可得∠BCE＝∠DAC，根据AAS可证△ADC≌△CEB；
（2）由题意得AD＝4a，BE＝3a，根据全等三角形的性质可得DC＝BE＝3a，AD＝CE＝4a，从而可得DE=DC＋CE＝7a＝35，据此求出a值即可.
21．（8分）如图，一次函数y＝kx+b的图象经过点A （﹣2，6），与x轴交于点B，与正比例函数y＝3x的图象交于点C，点C的横坐标为1．
（1）求AB的函数表达式；
（2）若点D在y轴负半轴，且满足S△COD＝ S△BOC，求点D的坐标．
【答案】（1）解：当x＝1时，y＝3x＝3，
∴C（1，3），
将A （﹣2，6），C（1，3）代入y＝kx+b，得
，
解得 ，
∴直线AB的解析式是y＝﹣x+4
（2）解：y＝﹣x+4中，令y＝0，则x＝4，
∴B（4，0），
设D（0，m）（m＜0），
S△BOC＝ ×OB×|yC|＝ ＝6，
S△COD＝ ×OD×|xC|＝ |m|×1＝﹣ m，
∵S△COD＝ S△BOC，
∴﹣ m＝ ，
解得m＝﹣4，
∴D（0，﹣4）．
【解析】【分析】（1）先求出点C的坐标，再利用待定系数法求直线AB的解析式即可；
（2）根据点D在y轴负半轴，且满足S△COD＝ S△BOC ，列出等量关系式，进行求解即可。
22．（8分）如图所示，△ABC是等腰三角形，AB=AC，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，且BD=CE，BE=CF.
（1）求证：△DEF是等腰三角形；
（2）猜想：当∠A满足什么条件时，△DEF是等边三角形？并说明理由.
【答案】（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△DBE和△ECF中，
，
∴△DBE≌△ECF，
∴DE=FE，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：当∠A=60°时，△DEF是等边三角形，
理由：∵△BDE≌△CEF，
∴∠FEC=∠BDE，
∴∠DEF=180°-∠BED-∠EFC=180°-∠DEB-∠EDB=∠B
要△DEF是等边三角形，只要∠DEF=60°.
所以，当∠A=60°时，∠B=∠DEF=60°，
则△DEF是等边三角形.
【解析】【分析】（1）首先根据条件证明△DBE≌△ECF，根据全等三角形的性质可得DE=FE，进而可得到△DEF是等腰三角形；（2）∠A=60°时，△DEF是等边三角形，首先根据△DBE≌△ECF，再证明∠DEF=60°，可以证出结论.
23．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A、
B、C三点在格点(小正方形的顶点)上.
（1）作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，写出点A1、B1、C1的坐标；
（2）求△ABC的面积.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求.
由图可知 A1(2，﹣4)，B1(1，﹣1)，C1(3，﹣2)；
（2）解：S△ABC＝2×3﹣ ×1×2﹣ ×1×2﹣ ×1×3＝ .
【解析】【分析】(1)分别作出点A、B、C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；(2)利用割补法求解可得.
24．（8分）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：
（1）当点E在线段AB上，CD是△ACB的角平分线时，如图①，求证：AE＋BC＝CF；（提示：延长CD，FE交于点M．）
（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，如图②；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE，BC，CF之间的数量关系，不需要证明；
【答案】（1）解：如图①，延长CD，FE交于点M．
∵AB＝BC，EF∥BC，
∴∠A＝∠BCA＝∠EFA，
∴AE＝EF，
∴MF∥BC，
∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，
又∵∠FCM＝∠BCM，
∴∠M＝∠FCM，
∴CF＝MF，
又∵BD＝DE，
∴△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，
即AE＋BC＝CF；
（2）AE＝CF＋BC
【解析】【解答】解：（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，
如图②，延长CD，EF交于点M．
由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），
∴ME＝BC，
由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，
∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；
当点E在线段BA的延长线上，
CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．
如图③，延长CD交EF于点M，
由上述证明过程易得△MED≌△CBD（AAS），BC＝EM，CF＝FM，
又∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠CAB＝∠FAE，
∵EF∥BC，
∴∠F＝∠FCB，
∴∠F＝∠FAE，
∴EF＝AE，
∴AE＝FE＝FM＋ME＝CF＋BC，即：AE＝CF＋BC．
【分析】（1）延长CD，FE交于点M，利用“AAS”证明△MED≌△CBD，得到ME=BC，并利用角平分线和平行的模型证明CF=MF，AE=EF，从而得证；
（2）延长CD，EF交于点M，类似于（1）的方法可证明当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的角平分线时，BC=AE+CF，当点E在线段BA的延长线上，CD是三角形ACB的外角平分线时，AE=CF+BC。
25．（8分）为了落实政府的“精准扶贫”政策，某县政府准备购买 、 两种类型的化肥，通过市场调研得知：购买2袋 种化肥和3袋 种化肥共需560元；购买3袋 种化肥比购买2袋 种化肥多用60元.
（1）每袋 种化肥和 种化肥各多少元？
（2）现某村组需要购买 ， 两种类型的化肥共30袋，设购买 种化肥 袋，购买 种化肥和 种化肥的总费用为 元，如果购买 种化肥的数量不超过15袋，求购买这批化肥的最少费用.
【答案】（1）解：设 种化肥x元一袋， 种化肥y元一袋，
依题意，得：
，
解得： .
答： 种化肥100元一袋， 种化肥120元一袋.
（2）解：由题意得，w=100a+120(30-a)=-20a+3600，
∵-20<0，∴w随a的增大而减小，
又∵0
∴当a=15时，w最小，
即 = -20×15+3600=3300(元)，
∴购买这批化肥的最少费用为3300元.
【解析】【分析】（1）设 种化肥x元一袋， 种化肥y元一袋，根据“购买2袋 种化肥和3袋 种化肥共需560元；购买3袋 种化肥比购买2袋 种化肥多用60元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）购买 种化肥 袋，则购买 种化肥（30-ａ）袋，根据购买 种化肥的费用+购买 种化肥的费用=总费用 元，即可得出w与a的一次函数解析式，再根据购买 种化肥的数量不超过15袋，即可得出函数值.
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