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上海市八年级上册期末重点提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．如果 是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠8 B．x＜8 C．x≤8 D．x＞0且x≠8
2．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6cm，AB=8cm，则△EBC的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．20cm D．22cm
3．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 、 、 ，现有一长为 的吸管插入到盒的底部，则吸管露出盒外面的部分 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．下列语句正确的有（ ）个.
①“对顶角相等”的逆命题是真命题.
②“同角（或等角）的补角相等”是假命题.
③立方根等于它本身的数是非负数.
④用反证法证明：如果在 中， ，那么 、 中至少有一个角不大于45°时，应假设 ， .
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是 和 ，则周长是 或 .
A．4 B．3 C．2 D．1
5．在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．化简: =
8．方程x2+6x+9=0的解是 ．
9．已知 ， ．当 时， ．
10． 的倒数是 ．
11． 中， 边的垂直平分线 交 于点 ，交 的外角平分线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ， ．若 ， ，那么 的长是 ．
12．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为 ．
13．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算如下： ，如 ，那么812的运算结果为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2 ，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD=
15．在Rt△ABC中， ， ， ，则 = ．
16．如图，点O为等腰三角形ABC底边BC的中点， ， ，腰AC的垂直平分线EF分别交AB、AC于E、F点，若点P为线段EF上一动点，则△OPC周长的最小值为 ．
17．如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
18．如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．
三、解答题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）设，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
20．（6分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A、B均在格点上
（1）请在给定的网格中找一个格点C，使得三角形ABC为轴对称图形；
（2）符合条件（1）的格点C有几个？
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）求证：CF＝BE
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长
22．（6分）如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC．
（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？
23．（6分）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
24．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：
（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
25．（10分）解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
26．（12分）在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上，以 为边在 轴上方作等边 .
（1）如图1，在 的右上方作线段 ，点 在 轴正半轴上， ，以 为边在 右侧作等边 ，则 .
（2）如图2，点 是 轴正半轴上且在点 右侧的一动点， 为等边三角形， 与 交于点 .
求证： .
（3）如图3，点 是 轴正半轴上且在点 右侧的一动点， 为等边三角形， 的延长线交 轴于点 ，请直接写出线段 、 、 的数量关系 .
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上海市八年级上册期末重点提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
阅卷人 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
1．如果 是二次根式，那么x应满足的条件是（ ）
A．x≠8 B．x＜8 C．x≤8 D．x＞0且x≠8
【答案】C
【解析】【解答】解：根据二次根式的性质，被开方数大于等于0可得： ，解得： ，
故答案为：C.
【分析】由二次根式的被开方数必须大于等于0，列出不等式，据此解答即可.
2．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6cm，AB=8cm，则△EBC的周长是（ ）
A．14cm B．18cm C．20cm D．22cm
【答案】A
【解析】【解答】∵DE是中AC边的垂直平分线，
，
，
，
的周长，
故答案为：A．
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，则的周长。
3．如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为 、 、 ，现有一长为 的吸管插入到盒的底部，则吸管露出盒外面的部分 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16 12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线长= =5cm，高为12cm，
由勾股定理可得：杯里面管长= ＝13cm，则露在杯口外的长度最短为16 13＝3（cm），
∴
故答案为：B.
【分析】由题意得，当吸管垂直杯底时，此时露出盒外的长度最长为16 12＝4（cm）；当吸管刚好和杯底对角线以及高乘直角三角形时，露出最短，由勾股定理可得杯内长度，可得露出长度，即可得范围.
4．下列语句正确的有（ ）个.
①“对顶角相等”的逆命题是真命题.
②“同角（或等角）的补角相等”是假命题.
③立方根等于它本身的数是非负数.
④用反证法证明：如果在 中， ，那么 、 中至少有一个角不大于45°时，应假设 ， .
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是 和 ，则周长是 或 .
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【解析】【解答】解：①“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”，是假命题，故该小题错误；
②“同角（或等角）的补角相等”是真命题，故该小题错误；
③立方根等于它本身的数是0，±1，故该小题错误；
④用反证法证明：如果在 中， ，那么 、 中至少有一个角不大于45°时，应假设 ， ，故该小题正确；
⑤如果一个等腰三角形的两边长分别是 和 ，则周长是 ，故该小题错误.
故答案为：D.
【分析】①写出逆命题即可判断；②由补角的性质可判断；③由立方根性质可判断；④由反正法的定义即可判断；⑤由等腰三角形和三角形三边关系可判断.
5．在 中， 、 、 的对应边分别是a、b、c，下列条件中不能说明 是直角三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A． ，即 ，根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，故A不符合题意．
B．根据三角形内角和 与 ，得出 ，即 ，所以 是直角三角形，故B不符合题意．
C．设 ，则 ， ，根据三角形内角和 ，即 ，解得 ，即 、 、 ．所以 不是直角三角形，故C符合题意．
D．设 ，则 ， ，由 可知 ，根据勾股定理逆定理可知 是直角三角形，故D不符合题意．
故答案为：C．
【分析】利用三角形的内角和及勾股定理的逆定理逐项判定即可。
6．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【解析】【解答】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F，
∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F，
∴CE+EF的最小值C'F的长，
∴CC'⊥BD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠C'BG＝∠GBC，
在△C'BG和△CBG中，
，
∴△C'BG≌△CBG（ASA），
∴BC＝BC'，
∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，
∴∠ABC＝30°，BC'＝8，
在Rt△BCC'中，C'F＝ BC'＝8 4，
∴CE+EF的最小值为4，
故答案为：B.
【分析】作C点关于BD的对称点C，过C作CF⊥BC交BD于点E交BC于点F， CE+EF的最小值即是C'F的长，利用ASA证明△C'BG≌△CBG，得出BC＝BC'，然后根据等腰三角形的性质求出∠ABC＝30°，最后根据含30°角直角三角形的性质求C'F长，即可解答.
阅卷人 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
得分
7．化简: =
【答案】
【解析】【解答】∵ ，
∴ .
故答案为： .
【分析】根据二次根式的性质进行化简即可.
8．方程x2+6x+9=0的解是 ．
【答案】x1=x2=－3
【解析】【解答】x2+6x+9=0，
（x+3）2=0，
x+3=0，x1=x2=－3.
【分析】按照配方法的步骤，移项，配方，配一次项系数一半的平方.
9．已知 ， ．当 时， ．
【答案】
【解析】【解答】当 时，则有：
解得
故当 时， ．
故答案为： .
【分析】由 得到关于x的一元二次方程，求解方程即可得到x的值.
10． 的倒数是 ．
【答案】
【解析】【解答】∵ ．
∴ 的倒数是： ．
故答案为： ．
【分析】由倒数的定义可得 的倒数是 ，然后利用分母有理化的知识求解即可求得答案．
11． 中， 边的垂直平分线 交 于点 ，交 的外角平分线于点 ，过点 作 交 的延长线于点 ，连接 ， ．若 ， ，那么 的长是 ．
【答案】21
【解析】【解答】过点E作EG⊥AC交AC于点G，
∵AE平分∠FAC，
∴AG=AH=3，EG=EH，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴EC=EB，
在Rt△BEH和Rt△CEG中
∴Rt△BEH≌Rt△CEG(HL)，
∴CG=BH=AB+AH=18，
∴AC=AG+GC=18+3=21．
故答案为：21．
【分析】作EG⊥AC，利用HL证明Rt△BEH≌Rt△CEG，可得CG=BH，再根据角平分线定理可得AG=AH，由此可以算出AC．
12．如图，△ABC是等边三角形，D是BC延长线上一点，DE⊥AB于点E，EF⊥BC于点F．若CD=3AE，CF=6，则AC的长为 ．
【答案】10
【解析】【解答】解： AC与DE相交于G，如图，
∵ 为等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠ACB=60°，
∵DE⊥AE，
∴∠AGE=30°，
∴∠CGD=30°，
∵∠ACB=∠CGD+∠D，
∴∠D=30°，
∴CG=CD，
设AE=x，则CD=3x，CG=3x，
在 中，AG=2AE=2x，
∴AB=BC=AC=5x，
∴BE=4x，BF=5x﹣6，
在 中，BE=2BF，
即4x=2（5x﹣6），解得x=2，
∴AC=5x=10．
故答案为10．
【分析】利用“一锐角为30°的直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半”，通过等量代换可得.
13．对于任意不相等的两个实数 a、b，定义运算如下： ，如 ，那么812的运算结果为 ．
【答案】
【解析】【解答】8 12＝ = =
故答案为： ．
【分析】按照规定的运算顺序与计算方法化为二次根式的混合运算计算即可．
14．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝2 ，AD＝2，∠B＝∠D＝90°，则CD=
【答案】
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2 ，
则由勾股定理得到：AC2=AB2+BC2=（2 ）2+（2 ）2=16．
在Rt△ACD中，∠D=90°，AD=2，由勾股定理得到：CD2=AC2-AD2=16-22=12．
所以CD=2 ．
故答案为：2 ．
【分析】在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长度，然后在直角△ADC中，再次利用勾股定理求得CD 的长度即可．
15．在Rt△ABC中， ， ， ，则 = ．
【答案】5
【解析】【解答】∵AB=13，AC=12，∠C=90°，
∴BC= 5．
故答案为：5．
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则AB2=AC2+BC2，根据题目给出的AB，AC的长，则根据勾股定理可以求BC的长．
16．如图，点O为等腰三角形ABC底边BC的中点， ， ，腰AC的垂直平分线EF分别交AB、AC于E、F点，若点P为线段EF上一动点，则△OPC周长的最小值为 ．
【答案】27
【解析】【解答】连接AO，
∵△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，
∴AO⊥BC，
∴ ，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴点C关于直线EF的对称点为点A，
∴AO的长为CP+PO的最小值，
∴△OPC周长的最小值 ．
故答案为：27．
【分析】连接AO，由于△ABC是等腰三角形，点O是BC边的中点，故AO⊥BC，再根据勾股定理求出AO的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AO的长为CP+PO的最小值，由此即可得出结论．
17．如图所示，已知直线m∥n，且这两条平行线间的距离为5个单位长度，点P为直线n上一定点，以P为圆心、大于5个单位长度为半径画弧，交直线m于A、B两点.再分别以点A、B为圆心、大于AB长为半径画弧，两弧交于点Q，作直线PQ，交直线m于点O，点H为射线OB上一动点，作点O关于直线PH的对称点O'，当点O'到直线n的距离为4个单位时，线段PH的长度为 .
【答案】或
【解析】【解答】解：如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，PO=PO'=5，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=4，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（3- x），
解得，，
；
如图所示，过点O'作直线n的垂线，交m、n于点D、E，连接O'H，
由作图可知，，，点O'到直线n的距离为4个单位，即EO'=，
，
则，，
设OH=x，可知，DH=（x-3），
解得，，
；
故答案为：或.
【分析】分两种情况：①当点O'在直线n的上方；②当点O'在直线n的下方，据此画出图形并解答即可.
18．如图所示的正方体木块的棱长为3cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）剪掉一角，得到如图②所示的几何体，一只蚂蚁沿着图②中的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为 cm．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，将截面和上底面展开在同一平面内，连接AB交CD于E，根据两点之间线段最短可知AB的长即为所求；
由题意得△ACD是等边三角形，△BCD是等腰直角三角形，
∴ ， ，
∵BC=BD，AC=AD，AB=AB，
∴△ABC≌△ABD（SSS），
∴∠CBA=∠DBA，∠CAB=∠DAB，
∴AB⊥CD，
∴ ，
∴ ，
∴
故答案为： ．
【分析】要求蚂蚁爬行的最短距离，需将图2的集合体表面展开，进而根据两点间线段最短得出结果。
阅卷人 三、解答题（本大题共8小题，共58分）
得分
19．（6分）设，．
（1）求，的值；
（2）求的值．
【答案】（1）解：因为，，
所以，
．
（2）解：因为，，可得，
则．
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减运算法则，结合二次根式的加法运算和分母有理化的法则，准确计算，即可求解；
（2）根据题意，先计算的值，结合完全平方公式进行计算，即可求解.
（1）解：∵，，
∴，
．
（2）∵，，
∴，
∴．
20．（6分）如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，其中点A、B均在格点上
（1）请在给定的网格中找一个格点C，使得三角形ABC为轴对称图形；
（2）符合条件（1）的格点C有几个？
【答案】（1）解：如图1，点C即为所求作的点
∵，
∴
∴是等腰三角形
∴是轴对称图形
∴点C为所求作的点
（2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作弧交格点于点、、
以点B为圆心，为半径作弧与交格点于点、、、、
以为底的等腰三角形顶点不在格点上
∴符合条件（1）的格点C有8个
【解析】【分析】这道题主要考查了轴对称图形和等腰三角形的性质，以及在网格中运用圆规作图的方法来寻找符合条件的点；
（1）通过计算线段AB的长度，然后在网格中寻找点C，使得AC的长度等于AB的长度，从而得到等腰三角形，因为等腰三角形是轴对称图形，所以找到这样的点C即可；
（2）分别以点A和点B为圆心，AB长为半径作弧，找到与格点相交的点C；同时排除以AB为底的等腰三角形顶点不在格点上的情况，最后统计符合条件的格点C的个数.
（1）解：如图1，点C即为所求作的点，
∵，，
∴，
∴是等腰三角形，
∴是轴对称图形，
故点C为所求作的点；
（2）解：如图2，以点A为圆心，为半径作弧交格点于点、、，以点B为圆心，为半径作弧与交格点于点、、、、，以为底的等腰三角形顶点不在格点上，
∴符合条件（1）的格点C有8个，
21．（6分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，点F在AC上，且DF＝BD．
（1）求证：CF＝BE
（2）若AC＝8，AB＝10，且△ABC的面积等于24，求DE的长
【答案】（1）证明：∵AD平分∠CAB且DE⊥AB，DC⊥AC
∴DE＝DC
在Rt△DCF和Rt△DEB中
∵ DE＝DC，DF＝BD
∴Rt△DCF≌Rt△DEB，
∴CF＝BE；
（2）解：由（1）得：CD=DE，
∵S△ACB=S△ACD+S△ADB，
∴S△ABC= AC CD+ AB DE，
又∵AC=8，AB=10，且△ABC的面积等于24，
∴ ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）先求出 DE＝DC ，再证明 Rt△DCF≌Rt△DEB， 最后求解即可；
（2）利用三角形的面积公式计算求解即可。
22．（6分）如图，在3×3的网格中，小正方形的边长为1，连接三个格点得到△ABC．
（1）求△ABC的周长．
（2）BC边上的高是多少？
【答案】（1）解：由勾股定理得， ，
，
，
所以△ABC的周长为 ；
（2）解：设BC边上的高是h，
S△ABC＝ ＝4.
∴ ，
∴h＝ ．
∴BC边上的高是 ．
【解析】【分析】（1）结合网格，利用勾股定理求出AB、AC和BC的长，再根据三角形的周长公式计算即可；
（2）利用割补法求出 S△ABC ，再利用等面积法求BC边上的高即可。
23．（6分）已知△ABC的三边a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
（1）求证：△ABC是直角三角形．
（2）利用第（1）题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
【答案】（1）证明：∵a＝m2﹣1（m＞1），b＝2m ，c＝m2+1．
∴m2+1＞2m＞m2﹣1
∴(m2+1) 2＝m4+2m2+1
(m2﹣1)+( 2m) 2 ＝m4+2m2+1
即a2+b2＝c2，
∴△ABC是直角三角形
（2）解：当m＝2时，直角三角形的边长为3，4，5；
当m＝3时，直角三角形的边长为5，12，13．（答案不唯一）
【解析】【分析】（1）根据a，b，c可知c＞b＞a，因此可求出c2及a2+b2，分别进行化简，可证得 a2+b2＝c2，利用勾股定理的逆定理可证得结论.
（2）再利用它们的边长均为正整数，可得到符合题意的m的值即此三角形的三边长.
24．（6分）如图，已知∠A＝∠D＝90°，E、F在线段BC上，DE与AF交于点O，且AB＝CD，BE＝CF．
求证：
（1）Rt△ABF≌Rt△DCE；
（2）OE＝OF．
【答案】（1）证明：∵BE＝CF，
∴BE＋EF＝CF＋EF，即BF＝CE，
∵∠A＝∠D＝90°，
∴△ABF与△DCE都为直角三角形，
在Rt△ABF和Rt△DCE中
∵，
∴Rt△ABF≌Rt△DCE（HL）
（2）证明：∵Rt△ABF≌Rt△DCE（已证），
∴∠AFB＝∠DEC，
∴OE＝OF．
【解析】【分析】（1）利用“HL”证明Rt△ABF≌Rt△DCE即可；
（2）根据全等三角形的性质可得∠AFB＝∠DEC，再利用等角对等边的性质可得OE=OF。
25．（10分）解答
（1）如图1，在△ABC中，AD为BC边上的中线，延长AD至E，使DE＝AD，连结BE.求证：△ACD≌△EBD.
（2）如图2，在△ABC中，AC＝5，BC＝13，D为BC的中点，DC⊥AC.求△ABC面积.
（3）如图3，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是BC延长线上一点，BC＝CD，F是AB上一点，连结FD交AC于点E，若AF＝EF＝2，BD＝6，求ED的长.
【答案】（1）证明：如图1中，
在△ACD和△EBD中，
，
∴△ACD≌△EBD（SAS）；
（2）解：如图2中，延长CD到T，使得DT=CD，连接BT.
由（1）可知△ADC≌△BDT，
∴AC=BT=5，∠ACD=∠T=90°，
∴CT=，
∴CD=DT=6，
∴S△ACB=S△ADC+S△CDB= AC DC+ BT CD=×5×6+×5×6=30；
（3）解：如图3中，延长AC到R，使得CR=CA，连接DR.
由（1）可知，△ACB≌△RCD，
∴AB=DR，∠A=∠R，
∵FE=FA，
∴∠A=∠AEF，
∵∠AEF=∠DER，
∴∠DER=∠R，
∴DE=DR=AB，
设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2，
在Rt△DBF中，BF2+BD2=DF2，
∴（x-2）2+62=（x+2）2，
∴x=，
∴DE=.
【解析】【分析】（1） 根据SAS证明△ACD≌△EBD ；
（2） 延长CD到T，使得DT=CD，连接BT； 根据SAS证明△ACD≌△EBD ， 可得AC=BT=5，∠ACD
=∠T=90°，利用勾股定理求出CT=12， 由线段的中点得CD=DT=6， 由S△ACB=S△ADC+S△CDB，利用三角形的面积公式即可求解；
（2）延长AC到R，使CR=CA，连接DR；由全等三角形及等腰三角形的性质可求出DE=DR=AB，设DE=DR=AB=x，则BF=x-2，DF=x+2， 在Rt△DBF中，由BF2+BD2=DF2建立关于x方程，解之即可.
26．（12分）在平面直角坐标系中，点 在 轴正半轴上，以 为边在 轴上方作等边 .
（1）如图1，在 的右上方作线段 ，点 在 轴正半轴上， ，以 为边在 右侧作等边 ，则 .
（2）如图2，点 是 轴正半轴上且在点 右侧的一动点， 为等边三角形， 与 交于点 .
求证： .
（3）如图3，点 是 轴正半轴上且在点 右侧的一动点， 为等边三角形， 的延长线交 轴于点 ，请直接写出线段 、 、 的数量关系 .
【答案】（1）20°
（2）与（1）同理可证，△OAM≌△CAP，
∴∠OMA=∠CPA，AM=AP，
如下图，在OM上截取EM=PF，
在△FAP和△EAM中，
∵ ，
∴△FAP≌△EAM（SAS），
∴∠EAM=∠FAP，EA=FA，
∵∠EAF=∠EAM-∠FAM，∠MAP=∠FAP-∠FAM，
∴∠EAF=∠MAP=60°，
∴△AEF为等边三角形，EF=AF，
∴ ，即 ；
（3） .
【解析】【解答】解：（1）∵△AOC和△DAE是等边三角形，
∴AC=AO，AE=AD，∠OAC=∠EAD=60°，
∵ ，
，
在△CAE和△OAD中
∵
∴△CAE≌△OAD（SAS），
∴∠AEC=∠ADO，
∵∠ADO=90°-∠DAO=20°，
∴∠AEC=20°，
∴故答案为：20°；
（3）与（1）同理可证△CAM≌△COP，∠MCP=60°，
∴AM=OP=OA+AP，∠AMC=∠OPC，
∵OP=OA+AP，
∴AM=OA+AP，
∵∠CEM=∠AEP，∠AMC=∠OPC，
∴∠PAM=∠MCP=60°，
∴∠OAN=60°，∠ONA=30°，
∴ ，
∴ ，
故答案为： .
【分析】（1）由等边三角形的性质可得，由边角边易证△CAE≌△OAD，由直角三角形的两锐角互余可得结果；（2） 在OM上截取EM=PF， 由边角边易证 △FAP≌△EAM ，由全等三角形的性质和角的和差易得 △AEF为等边三角形 ，可得结果；
（3）与（1）同理可证△CAM≌△COP，由三角形的内角和以及对顶角性质可得∠OAN=60°，∠ONA=30°，由30°的直角边等于斜边的一半可得结果.
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