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上海市九年级上册期末重点提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1．若 且周长之比1：3，则 与 的面积比是（ ）
A．1：3 B． C．1：9 D．3：1
2．已知∠A是锐角，且tanA＝ ，则sinA的值是（ ）
A． B．
C． D．根据此条件无法计算出sinA的值
3．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体.如图，小南在与塔底B同一高度的地面A处测得塔顶C的仰角为 .接下来，他沿一条坡比为1：2.4的斜坡 行进了156米后，在D处测得塔顶C的仰角为 ，点 在同一平面内，则小南测得的双子塔 的高度约为（ ）米.（参考数据： ， ， ）
A．193 B．196 C．201 D．206
4．若 ，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
5．下列函数的值永远大于0的是 （ ） .
A． B．
C． D．
6．如图，在矩形 中， ， 分别为 ， 的中点，线段 ， 与对角线 分别交于点 .设矩形 的面积为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
7．如果∠A是锐角，且sinA= ，那么∠A= ゜．
8．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2（即BC：AC＝1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为 米.
9．在 中， ， ， ，点 为直线 上一点， ，则 的值是 ．
10．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．
11．已知三条线段的长分别为2，x，4，若2是x和4的比例中项，则x= ．
12．在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，以原点 为位似中心，把 缩小为原来的 ，得到 ，则点 的对应点 的坐标为 ．
13．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是 ．
14．如图，在 中， ，D为AB上一点， ，E为AC上一点， ，连接BE、CD交于点O，则 的最大面积是 ．
15．已知： ，且y≠4，那么 = ．
16．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则 = ．
17．如图，中，，，点E为AC中点．点D在AC右侧，，且，射线BE交AD于点F，若为等腰三角形，则线段EF的长为 ．
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE＝ .
三、综合题（本大题共8小题，共58分）
19．（6分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．
（1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动 米.
20．（6分）如图，在中，，为边上的中线，于点.
（1）求证：.
（2）若，，求线段的长.
21．（6分）如图，小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点；
（2）求出与的周长比与面积比.
22．（6分）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦ABDP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AFOD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
23．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C.
（1）若BC=8，求FD的长；
（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE.
24．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx-3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2-bx-8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过 ， 两点，且与 轴交于点 .点 为 轴负半轴上一点，且 ，点 ， 分别在线段 和 上.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）若线段 被 垂直平分，求 的长.
（3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 ，使得 ，再在这个二次函数的图象上取一点 （不与点 ， ， 重合），使得 ，求点 的坐标.
26．（12分）如图
（1）如图1，在 中，D为AB上一点， ．求证： ；
（2）如图2，在□ 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点， ．若 ， ，求AD的长．
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是 内一点， ， ， ， ， ，求DF的长．
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上海市九年级上册期末重点提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 满分：100分）
阅卷人 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
1．若 且周长之比1：3，则 与 的面积比是（ ）
A．1：3 B． C．1：9 D．3：1
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ 且周长之比1：3，
∴ 与 的相似比=1：3，
∴ 与 的面积比=12：32=1：9，
故答案为：C.
【分析】根据相似三角形的周长之比等于相似比，面积之比等于相似比的平方即可得出答案.
2．已知∠A是锐角，且tanA＝ ，则sinA的值是（ ）
A． B．
C． D．根据此条件无法计算出sinA的值
【答案】A
【解析】【解答】解：如图： ，
设 ， ，
则 ，
，
故答案为：A.
【分析】根据题意构造直角三角形：把tanA＝ ，转化为两边之比，运用勾股定理求出第三边，进而根据正弦函数的定义即可求解.
3．高铁沙坪坝站双子塔为国内首例在高铁站上实施商业开发的综合体.如图，小南在与塔底B同一高度的地面A处测得塔顶C的仰角为 .接下来，他沿一条坡比为1：2.4的斜坡 行进了156米后，在D处测得塔顶C的仰角为 ，点 在同一平面内，则小南测得的双子塔 的高度约为（ ）米.（参考数据： ， ， ）
A．193 B．196 C．201 D．206
【答案】B
【解析】【解答】解：分别过点D作 于E， 于 F，连接AC，如图所示：
则 ，
∴四边形DEBF是矩形，
∴ ，
∵斜坡AD的坡比为1：2.4，
∴ ，
设 ，
在 中， ，即 ，
解得， (舍去)，
∴ (米)， (米)，
∴ (米)，
(米)，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ (米)，
在 ， ，
∴ ，
解得， (米)，
∴ (米)，
∴ (米)，
故答案为：B.
【分析】分别过点D作 于E， 于 F，连接AC，易证四边形DEBF是矩形，利用矩形的性质可证得DE=BF，DF=BE；再利用坡度的定义可求出DE与AE的比值，设DE=5x，AE=12x，利用勾股定理建立关于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE，AE，BF及AB的长；然后证明DF=CF，在Rt△ABC中，利用解直角三角形求出DF的长，然后根据BC=BF+CF，可求出BC的长.
4．若 ，则下列比例式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A.由 可得 ，故A错误；
B.由 可得 ，故B正确；
C.由 可得 ，故C错误；
D.由 可得 ，整理得 ，故D错误，
故选：B．
【分析】根据则bc=ad，再对各选项逐一判断.
5．下列函数的值永远大于0的是 （ ） .
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A. ，函数图象与x轴有唯一交点，故不符合题意；
B. 的顶点坐标为（0，-1），开口向上，最小值为-1，故不符合题意；
C. ，顶点坐标为（2，-1），开口方向向下，有最大值为-1，故不符合题意；
D. ，开口向上， ，图象与x轴没有交点，所以它的函数值永远大于0，故符合题意，
故答案为：D.
【分析】根据抛物线的开口方向，结合判别式对AD作判断；根据顶点坐标对BC作判断即可.
6．如图，在矩形 中， ， 分别为 ， 的中点，线段 ， 与对角线 分别交于点 .设矩形 的面积为 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】① 四边形ABCD是矩形
点E是BC的中点
A不符合题意；
②
同理得：
B不符合题意
③
设 则
同理可得：
C不符合题意；
④由③可知：
D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据矩形的性质，相似三角形的性质和面积公式进行计算求解即可。
阅卷人 二、填空题（本大题共12小题，每小题2分，共24分）
得分
7．如果∠A是锐角，且sinA= ，那么∠A= ゜．
【答案】30
【解析】【解答】解：∵∠A是锐角，且sinA= ，
∴∠A=30°．
故答案为：30．
【分析】直接根据特殊角的三角函数值判断.熟记特殊角的三角函数值是关键.
8．如图，大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2（即BC：AC＝1：2），若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为 米.
【答案】
【解析】【解答】解：∵大坝横截面的迎水坡AB的坡比为1：2，AC＝12米，
∴
∴BC＝6（米），
∴AB＝＝（米）.
故答案为：.
【分析】根据坡比的概念建立方程求出BC的长，进而利用勾股定理即可算出AB的长.
9．在 中， ， ， ，点 为直线 上一点， ，则 的值是 ．
【答案】2或
【解析】【解答】解：在 中， ，
∴ ，
∴可设 ，则 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
点 为直线 上一点时， 点的位置分两种情况：
①当点 在线段 上时，过 作 于 ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
②当点 在线段 的延长线上时，
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．
综上所述， 的值是2或 ．
故答案为：2或 ．
【分析】根据，设 ，则 ，利用勾股定理求出k的值，即可得到AC和BC的长，再分两种情况；①当点 在线段 上时，过 作 于 ，②当点 在线段 的延长线上时，利用正切的定义求解即可。
10．如图，平面直角坐标系中，已知点A（8，0）和点B（0，6），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点P的坐标是 ．
【答案】（0，3）、（4，0）、（ ，0）
【解析】【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，
由点C是AB的中点，可得P为OB的中点，
此时P点坐标为（0，3）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，
由点C是AB的中点，可得P为OA的中点，
此时P点坐标为（4，0）；
当PC⊥AB时，如图，
∵∠CAP＝∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABO，
∴ ，
∵点A（8，0）和点B（0，6），
∴AB＝ ＝10，
∵点C是AB的中点，
∴AC＝5，
∴ ，
∴AP＝ ，
∴OP＝OA﹣AP＝8﹣ ＝ ，
此时P点坐标为（ ，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，3）、（4，0）、（ ，0）．
故答案为（0，3）、（4，0）、（ ，0）
【分析】当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，3）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（4，0）；当PC⊥AB时，如图，由∠CAP＝∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABO，计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，即可得出OP的长，从而得出P点坐标。
11．已知三条线段的长分别为2，x，4，若2是x和4的比例中项，则x= ．
【答案】1
【解析】【解答】解：∵2是x和4的比例中项，
∴ ，
解得，x=1．
【分析】根据2是x和4的比例中项，列比例式即可。
12．在平面直角坐标系中， 的三个顶点坐标分别为 ， ， ，以原点 为位似中心，把 缩小为原来的 ，得到 ，则点 的对应点 的坐标为 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：∵△ABC的三个顶点坐标分别为A（-2，4），B（-3，1），C（-2，0），以原点O为位似中心，把△ABC缩小为原来的 ，得到△A'B'C′，
∴点A的对应点A'的坐标为：（-2× ，4× ）或[-2×（- ），4×（- ）]，即（1，-2）或（-1，2）．
故答案为：（1，-2）或（-1，2）．
【分析】利用三角形位似的性质与判定求解即可。
13．二次函数y＝ax2+bx+c（0≤x≤3）的图象如图所示，则y的取值范围是 ．
【答案】﹣1≤y≤3
【解析】【解答】解：由图象可知，
当0≤x≤3时，函数值y的取值范围﹣1≤y≤3．
故答案为：﹣1≤y≤3．
【分析】结合函数图形，利用二次函数的性质求解即可。
14．如图，在 中， ，D为AB上一点， ，E为AC上一点， ，连接BE、CD交于点O，则 的最大面积是 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图，过点 作 ，
则 ，
，
，
，
，
， ，
，
，
在以 为直径的圆上，设圆心为 ，
当 时， 的面积最大为： ，
此时 的面积最大为： ．
故答案为： ．
【分析】过点 作 ，可得，再利用三角形的面积比可得当 时， 的面积最大为： ，再代入计算即可。
15．已知： ，且y≠4，那么 = ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵ ，
∴ ，
由等比性质，得：
；
故答案为： .
【分析】由分式的性质和等比性质，即可得到答案.
16．点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP），则 = ．
【答案】
【解析】【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， ∴ = ．故答案为 ．
【分析】由于点P是线段AB的黄金分割点（AP＞BP）， 可得 ，据此解答即可.
17．如图，中，，，点E为AC中点．点D在AC右侧，，且，射线BE交AD于点F，若为等腰三角形，则线段EF的长为 ．
【答案】 或
【解析】【解答】解：延长AD，BC交于点G，
在△ACB和△ACG中
∴△ACB≌△ACG（ASA），
∴AG=AB=12，2BC=2CG=BG，
∵点E为AC的中点，DE⊥AC，
∴DE∥CG，DG=AD=AG=6，
∴DE是△ACG的中位线，
∴DE=CG，
∴BG=4DE，
∴△DEF∽△GBF，
∴，
∴DG=3DF=6，
∴DF=2，
△DEF是等腰三角形，
当EF=DF=2时，EF是Rt△AED斜边上的中线，
∴EF=AD=3，
∴EF≠DF；
当EF=ED时，过点E作EH⊥AD于点H，
∴DH=FH=DF=1，
∵△EHD∽△ADE，
∴
∴ED2=1×6
解之：；
当DF=DE=2时，
，
∵AF=AD-DF=6-2=4，AD=DG，
∴，
∴，
∵DE∥CB，
∴
∵CG=BC=2DE=4，
∴，
∴.
故答案为： 或
【分析】延长AD，BC交于点G，利用ASA可证得△ACB≌△ACG，利用全等三角形的性质可求出AG的长，同时可证得2BC=2CG=BG，利用三角形的中位线定理，可求出DG，AD的长，可证得BG=4DE；再证明△DEF∽△GBF，利用相似三角形的对应边成比例，可求出DF=2，利用等腰三角形的定义，分情况讨论：当EF=DF=2时，EF是Rt△AED斜边上的中线，可求出EF的长，可知EF≠DF；当EF=ED时，过点E作EH⊥AD于点H，可求出DH的长，利用相似三角形的对应边成比例可求出ED的长，可得到EF的长；利用勾股定理求出AE，EC的长，再求出AF，CG的长，利用勾股定理求出BE的长，利用BE=3EF，可求出EF的长.
18．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝1，CD是△ABC的中线，E是AC上一动点，将△AED沿ED折叠，点A落在点F处，EF线段CD交于点G，若△CEG是直角三角形，则CE＝ .
【答案】 或
【解析】【解答】解：在 中， ， ， ，
， ，
，
∴ ，
∴ .
若△CEG是直角三角形，有两种情况：
I.如图1中，当 时.
∴ ，
作 于 .则 ，
在 中， ， ，
.
II.如图2中，当 时，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，此时点 与点 重合，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
综上所述， 的长为 或 .
故答案为： 或 .
【分析】分两种情形：如图1中，当 时，如图2中，当 时，分别求解即可.
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共58分）
得分
19．（6分）学习了相似三角形相关知识后，小明和同学们想利用“标杆”测量大楼的高度．如图，小明站立在地面点F处，他的同学在点B处竖立“标杆”，使得小明的头顶点E、杆顶点A、楼顶点C在一条直线上（点F、B、D也在一条直线上）．已知小明的身高米，“标杆”米，又米，米．
（1）求大楼的高度为多少米（垂直地面）？
（2）小明站在原来的位置，同学们通过移动标杆，可以用同样的方法测得楼上点G的高度米，那么相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动 米.
【答案】（1）解：作于M，交于N，
可得，米，米，米．
∴米，米，
∵，
∴，
∴，即
∴米，
米，
答：大楼的高度为14米．
（2）0.5
【解析】【解答】（2）类似（1）可得，
∴，
∵米，米，米，米，
∴米，
∴，
∴米，
相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动（米），
答：相对于第一次测量，标杆应该向大楼方向移动0.5米．
【分析】（1）作于M，交于N，证出，得出米，代入求解即可；
（2）类似（1）可得，得出，利用相似三角形的性质求解即可。
20．（6分）如图，在中，，为边上的中线，于点.
（1）求证：.
（2）若，，求线段的长.
【答案】（1）证明：∵，为边上的中线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∵，
∴
（2）解：∵为边上的中线，，
∵，
∵，，
∴，
即，
∴.
【解析】【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得AD⊥BC，根据垂直的定义得∠BED=∠ADC=90°，根据等边对等角得∠B=∠C，从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得△BDE∽△CAD；
（2）根据等腰三角形的三线合一得BD=CD=5，进而根据相似三角形对应边成比例建立方程，求解可得BE的长.
21．（6分）如图，小方格都是边长为1的正方形，与是以点为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上.
（1）画出位似中心点；
（2）求出与的周长比与面积比.
【答案】（1）解：连接，并延长相交于一点，此点即为位似中心点，
（2）解：由图形得，，
与的周长比为，面积比为.
【解析】【分析】（1）连接B′B，A'A并延长相交于一点，此点即为位似中心点O；
（2）利用勾股定理算出AB及A'B'的长，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，相似三角形周长的比等于相似比即可得出答案.
22．（6分）如图，DP是⊙O的切线，D为切点，弦ABDP，连接BO并延长，与⊙O交于点C，与DP交于点E，连接AC并延长，与DP交于点F，连接OD．
（1）求证：AFOD；
（2）若OD＝5，AB＝8，求线段EF的长．
【答案】（1）证明：延长DO交AB于点H，
∵DP是⊙O的切线，
∴OD⊥DP，
∵ABDP，
∴HD⊥AB，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BAC＝90°，
∴AFOD
（2）解：∵OH⊥AB，AB＝8，
∴BH＝AH＝4，
∴OH＝＝＝3，
∵BHED，
∴△BOH∽△EOD，
∴＝，即＝，
解得：ED＝ ，
∵∠BAC＝90°，DH⊥AB，DH⊥DP，
∴四边形AFDH为矩形，
∴DF＝AH＝4，
∴EF＝ED﹣DF＝﹣4＝．
【解析】【分析】（1）先求出 OD⊥DP， 再求出 ∠BAC＝90°， 最后证明即可；
（2）先求出 BH＝AH＝4， 再利用勾股定理求出OH=3，再利用相似三角形的判定与性质求解即可。
23．（6分）如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，F为CA延长线上一点，∠F=∠C.
（1）若BC=8，求FD的长；
（2）若AB=AC，求证：△ADE∽△DFE.
【答案】（1）解：∵D、E分别是边AB、AC的中点，
∴ ，DE BC，
又BC=8，
∴DE=4，
∵DE BC，
∴∠AED=∠C，
∵∠F=∠C，
∴∠AED=∠F，
∴DF=DE=4.
（2）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥BC，
∴∠AED=∠C，∠ADE=∠B
∵∠AED=∠F，
∴∠ADE=∠F，
又∵∠AED=∠AED，
∴△ADE∽△DFE.
【解析】【分析】（1）易得DE是△ABC的中位线，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，可得DE=4，DE∥BC，根据二直线平行，同位角相等得∠AED=∠C，结合已知得∠AED=∠F，最后根据等角对等边可得FD的长；
（2）由据等边对等角得∠B=∠C，由平行线的性质得 ∠AED=∠C，∠ADE=∠B 由（1）知 ∠AED=∠F， 故∠ADE=∠F， 从而根据有两组角对应相等的两个三角形相似得出结论.
24．（6分）已知抛物线y＝ax2+bx-3的对称轴是直线x＝1．
（1）求证：2a+b＝0；
（2）若关于x的方程ax2-bx-8＝0的一个根为4，求方程的另一个根．
【答案】（1）证明：∵抛物线y＝ax2+bx-3的对称轴是直线x＝1，
∴- ＝1，
∴b＝-2a，
∴2a+b＝0；
（2）解：把b＝-2a代入方程ax2-bx-8＝0得：ax2+2ax-8＝0，
把x＝4代入方程ax2+2ax-8＝0得：16a+8a-8＝0，
a＝ ，则b＝ ．
即方程为 x2+ x-8＝0，
解得：x＝-6，x＝4，
即方程的另一个根为-6．
【解析】【分析】（1）利用抛物线的对称轴直线公式x=- ，结合题意列出方程，整理即可得出答案；
（2） 把b＝-2a 及x=4同时代入方程可得关于字母a的方程，求解可得a的值，进而即可得出b的值，将a、b的值代入方程后再利用因式分解法求解即可得出方程的另一个根.
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象经过 ， 两点，且与 轴交于点 .点 为 轴负半轴上一点，且 ，点 ， 分别在线段 和 上.
（1）求这个二次函数的表达式.
（2）若线段 被 垂直平分，求 的长.
（3）在第一象限的这个二次函数的图象上取一点 ，使得 ，再在这个二次函数的图象上取一点 （不与点 ， ， 重合），使得 ，求点 的坐标.
【答案】（1）二次函数 的图象经过 ， 两点，抛物线解析式可写成 ，即 ，
∴
∴
∴二次函数解析式为： .
（2）连结 .
∵ .
∴ ， .
∴ .
∵线段 被 垂直平分.
∴ ，CQ=CP，
∵CD=CD，
∴△CDG≌△CDP，
∴ .
∵
∴ .
∴ .
∴ ，
∴ .
过点 作 于 ， .
设 ， ，则 ，∴ .
AH+DH=AD，
∴ ，
解得， .
∴ .
∴ .
（3）∵
∴ ，
∴ .
过点 作 于 ，过 作 于 .
∵
∴ .
∵ ， .
∴ .
∴ .
∴ .
设 ， .∴ .
∴ ，代入 得，
，
解得， （舍去）， .
∴ .
【解析】【分析】（1）把抛物线解析式写成交点式，根据常数项等于4列方程即可；
（2）连结 .过点 作 于 ，根据垂直平分线性质，得到DQ∥BC，△QHD为等腰直角三角形，再根据 ，设 ， ，则 ，根据 列方程即可；
（3）过点 作 于 ，过 作 于 .先求出G点坐标，再求出 ，设 ， .表示E点坐标代入解析式即可.
26．（12分）如图
（1）如图1，在 中，D为AB上一点， ．求证： ；
（2）如图2，在□ 中，E为BC上一点，F为CD延长线上一点， ．若 ， ，求AD的长．
（3）如图3，在菱形ABCD中，E是AB上一点，F是 内一点， ， ， ， ， ，求DF的长．
【答案】（1）证明：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC， ，
又∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（3）解：延长EF交DC延长线于G，
∵AC∥EF，
∴AC∥EG，
又∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥DG， ，
∴四边形AEGC是平行四边形，
∴ ， ，AC∥EG， ，
∵ ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ， ，
∴ ，
令 ，
又∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
又∵ ，
即 ，
∴ ．
【解析】【分析】（1）证明 ，得出 ，则可得出结论；
（2）证明 ，得出比例线段 ，则 ，求出BC，则可求出AD；
（3）延长EF交DC延长线于G，证得四边形AEGC是平行四边形，得出 ， ，AC∥EG， ，证明 ，得出比例线段 ，即可得出DF的值。
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