8.6.2直线与平面垂直的判定 课件（共34张PPT）-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

(共34张PPT)
第一课时 直线与平面垂直的判定
8.6.2直线与平面垂直
学习目标
三维目标 课程目标 学科核心素养
知识与技能 1.了解点到平面距离的概念； 2.理解并掌握直线与平面垂直的概念； 3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题； 4.理解并掌握直线与平面垂直的判定定理.
过程与方法 在探究直线与平面垂直的判定定理过程中，发展学生的提出猜想、验证猜想的能力；体会立体几何中研究问题的基本思路，学习“降维”的转化思想，培养学生数学抽象等素养. 情感态度与价值观 通过直线与平面判定定理的学习，进一步体会数学知识之间的联系性与转化性，培养学生一丝不苟、认真负责的数学学习精神以及勤于思考的科学素养，体会数学的科学价值与应用价值.
直线与平面垂直的判定定理
1）逻辑推理
直线与平面所成角
2）数学运算
直线与平面垂直的定义
3）直观想象
学习重难点
学习重点：
直线与平面垂直的概念
直线与平面垂直的判定定理
学习难点：
直线与平面垂直的判定定理发现过程
会用判定定理判断直线与平面垂直
创设情景
生活中有很多直线与平面垂直的实例
创设情景
在日常生活中，我们对直线
与平面垂直有很多感性认知.
旗杆与地面的位置关系
创设情景
在日常生活中，我们对直线
与平面垂直有很多感性认知。
旗杆与地面的位置关系
教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系
如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆 及它在地面的影子 .随着时间的变化，影子 的位置在不断变化，旗杆所在直线 与其影子 所在直线是否保持垂直？
创设情景
如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆 及它在地面的影子 .随着时间的变化，影子 的位置在不断变化，旗杆所在直线 与其影子 所在直线是否保持垂直？
创设情景
如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆 及它在地面的影子 .随着时间的变化，影子 的位置在不断变化，旗杆所在直线 与其影子 所在直线是否保持垂直？
创设情景
如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆 及它在地面的影子 .随着时间的变化，影子 的位置在不断变化，旗杆所在直线 与其影子 所在直线是否保持垂直？
创设情景
如图8.6-8，在阳光下观察直立于地面的旗杆 及它在地面的影子 .随着时间的变化，影子 的位置在不断变化，旗杆所在直线 与其影子 所在直线是否保持垂直？
创设情景
事实上，随着时间变化，尽管影子 位置在不断变化，但是旗杆 所在直线始终与影子 所在直线垂直.
创设情景
旗杆 所在直线与地面上任意一条直线都垂直
也就是说，旗杆 所在直线与地面上任意一条过 点的直线垂直.
对于地面上不过点 的任意一条直线
，总能在地面上找到过点 的一条直线与之平行，根据异面直线垂直的定义，可知旗杆 所在直线与直线
也垂直.
一般地，如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直，记作
直线 叫做 平面 的垂线
平面 叫做 直线 的垂线
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足
新知讲授（一）
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图8.6-9
任意一条直线=所有直线≠无数条直线
新知讲授（一）
平面 的垂线
直线 的垂面
垂足
探究一：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
探究互动
探究一：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.将这一结论推广到空间，过一点垂直于已知平面的直线有几条？为什么？
探究互动
过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
可以发现，过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
点到该平面的垂线段
点到平面的距离
空间中两条直线垂直就一定相交吗？
相交垂直
异面垂直
探究互动
根据定义可以进行直线与平面垂直的判断，但是无法验证一条直线与一个平面内的所有直线都垂直.那么，有没有什么可行的方法呢？
实验探究
探究二： 如图，准备一块三角形的纸片 ，做一个试验：
过 的顶点 翻折纸片，得到折痕 ，将翻折后的纸片
竖起放置在桌面上（ 与桌面接触）.
问题： （1）折痕 与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕 与桌面所在平面垂直？
探究互动
探究互动
探究互动
容易发现， 所在直线与桌面所在平面 垂直（如图8.6-11）的充分条件是折痕 是 边上的高.
这时，由于翻转之后垂直关系不变，所以直线 与平面 内的两条直线 都垂直.
一般地，我们有如下判定直线与平面垂直的定理
新知讲授（二）
定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线
垂直， 那么该直线与此平面垂直.
用符号可以表示为
直线与平面垂直
直线与直线垂直
转化
思考
两条相交直线可以确定一个平面，两条平行直线也可以确定一个平面，那么定理中的“两条相交直线”可以改为“两条平行直线”吗？你能从向量的角度解释原因吗？如果改为“无数条直线”呢？
例题讲解
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图8.6-12， ，
求证
分析：要想证明直线 ，根据直线与平面垂直的判定定理可知，只需要证明直线 垂直于平面 内的两条相交直线即可.
要证明线面垂直
直线垂直平面内的两条相交直线
线面垂直的判定定理
例题讲解
例1 求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
证明：如图8.6-13，在平面 内取两条相交直线
直线
又
是两条相交线
斜线：一条直线 与一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做
这个平面的斜线
新知讲授（三）
直线与斜面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
斜足：斜线和平面的交点 叫做斜足
射影：过斜线上斜足以外的一点 向平面 引垂线 ，过垂足 和斜 足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影.
例题讲解
例2 在正方体中，求直线和平面所成的角 中，求直线 和平面
分析：关键是要找出 在 上的射影
例题讲解
例2 在正方体中，求直线和平面所成的角 中，求直线 和平面
解：连接 ，与 相交于点 ，连接 .
设正方形的棱长为
平面
又
为斜线
在平面
上的投影
为
在平面
所成的角.
例题讲解
例2 在正方体中，求直线和平面所成的角 中，求直线 和平面
中
解：在
直线
和平面
所成的角为
归纳新知（一）
文字语言 一般地，如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直
符号语言
垂线 垂面 垂足 直线 叫做平面 的垂线
平面 叫做直线 的垂线
直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足
画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直
图示
归纳新知（二）
文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直， 那么该直线与此平面垂直.
符号语言
图形语言
归纳新知（三）
斜线 一条直线 与一个平面 相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的交点 叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点 向平面 引垂线 ，过垂足 和斜足 的直线 叫做斜线在这个平面上的射影
直线与平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是 ，直线与平面所成的角为 的取值范围为：
作业布置
1.巩固性作业：完成书本P152练习1,2,3，4
2.探究型作业：请同学们尝试画出目前为止，学习过的空间平行、
垂直之间的转化图表.（提示如下表）