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人教版八年级上册期末重点提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(-a-b)(a+b) B．(-a-b)(a-b)
C．(-a+b-c)(-a+b-c) D．(-a+b)(a-b)
4．如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果 ， ， 对面的数字为 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．不确定
6．若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．-2 B．±2 C．2 D．1
7．下列式子变形中，正确是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图， ，增加下列一个条件，仍不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，在和中，．连接AC，BD交于点M，连接OM．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC， ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．计算： ．
12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝ ．
13．如图所示，直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，当△CDE周长最小时，点D的坐标为 ．
14．在实数范围内分解因式： = ．
15．已知点A（x，2），B（﹣3，y），若A，B关于x轴对称，则x+y等于 ．
16．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）已知△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如图①，当∠BAC＝90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为： ；
（2）如图②，当0°＜∠BAC＜180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式；
（3）如图③，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），请直接写出点A的坐标．
18．（9分）已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°
（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；
（2）如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
19．（9分）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
， ，
解得 ， ，
∴另一个因式为 ，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（2）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
20．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．
21．（9分）如图（1），大正方形的面积可以表示为 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 ．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： ．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ；
（2）如图（3）， 中， ， ， ， 是斜边 边上的高．用上述“面积法”求 的长；
（3）如图（4），等腰 中， ，点O为底边 上任意一点， ， ， ，垂足分别为点M，N，H，连接 ，用上述“面积法”，求证： ．
22．（9分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2，3)，B(1，0)，C(1，2).
（1）在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的
（2）直接写出 三点的坐标：
( )， ( )， ( )；
（3）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，直接写出所有符合条件的点 D 坐标.
23．（9分）如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求的值．
24．（9分）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
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人教版八年级上册期末重点提分卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．点关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：点关于轴对称的点的坐标为．
故答案为：C．
【分析】根据关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相等．即可得解．
2．已知，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵，，，
∴∠A=∠D=42°，
∴∠C=180°-42°-58°=80°，
故答案为：C
【分析】先根据三角形全等的性质得到∠A=∠D=42°，进而根据三角形内角和定理即可求解。
3．下列各式中，能用平方差公式计算的是（ ）
A．(-a-b)(a+b) B．(-a-b)(a-b)
C．(-a+b-c)(-a+b-c) D．(-a+b)(a-b)
【答案】B
【解析】【解答】解：A.（－a－b)(a+b)=－(a+b)(a+b)，不符合平方差公式，故本选项错误；
B.(－a－b)(a－b)=－(a+b)(a－b)=－(a2－b2)=b2－a2，符合平方差公式，故本选项正确；
C.(－a+b－c)(－a+b－c)=(a－b+c)(a－b+c)=(a－b+c)2，不符合平方差公式，故本选项错误；
D.(－a+b)(a－b)=－(a－b)(a－b)，不符合平方差公式，故本选项错误.
故答案为：B.
【分析】两个多项式相乘如果满足：①两个多项式的项数一样，②两个多项式中有一些项完全相同，剩下的项只有符号不同，那么这样的两个多项式相乘即可使用平方差公式.
4．如图，正方体的每一面上都有一个正整数，已知相对的两个面上两数之和都相等，如果 ， ， 对面的数字为 ， ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵正方体的每一个面上都有一个正整数，相对的两个面上两数之和都相等，
∴a+13=b+9=c+3，
∴a-b=-4，b-c=-6，c-a=10，
a2+b2+c2-ab-bc-ca= = = =76，
故答案为：B．
【分析】本题须先求出a-b=-4，b-c=-6，c-a=10，再通过对要求的式子进行化简整理，代入相应的值即可求出结果．
5．如图，在△ABC中，AB=6，AC=4，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC分别交AB、AC于M、N，则△AMN的周长为（ ）
A．10 B．6 C．4 D．不确定
【答案】A
【解析】【解答】解： BE、CE分别是∠ABC和∠ACB的平分线
故答案为：A
【分析】根据角平分线的性质可知 由两直线平行，内错角可得 等量代换可得 等角对等边，因此 ，所以△AMN的周长为
6．若分式 的值为零，则x的值为（ ）
A．-2 B．±2 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
∴|x|-2=0， ,
解得：x=±2．
故答案为：B．
【分析】直接利用分式的值为零的条件：分子为0，分母不为0，分析得出答案．
7．下列式子变形中，正确是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】A． ，故不符合题意；
B． ，故不符合题意；
C． ，故符合题意；
D． ,故不符合题意；
故答案为：C.
【分析】根据分式的运算法则对各选项依次进行判断即可解答．
8．如图， ，增加下列一个条件，仍不能判定 的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】∵
∴∠B=∠DEF，
又∵AB=DE，
∴添加∠A=∠D，利用ASA可得△ABC≌△DEF；
∴添加BE=CF，即BC=EF，利用SAS可得△ABC≌△DEF；
∴添加 后，是两边及其中一边的对角即SSA，无法证明三角形全等；
∴添加∠ACB=∠F，利用AAS可得△ABC≌△DEF；
故答案为：C．
【分析】利用ASA、SAS、AAS来判定三角形全等，即可得答案．
9．如图，在和中，．连接AC，BD交于点M，连接OM．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
在△AOC和△BOD中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故①符合题意；
∵，
∴，故②，
作于G，于H，如图所示，
则，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴平分，故④符合题意；
假设平分，则，
在与中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
而，
∴假设不符合题意，不能平分
故③不符合题意；
正确的序号有①②④．
故答案为：B．
【分析】根据全等三角形的判定方法和性质逐项判断即可。
10．王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚可以放进一个等腰直角三角板（AC=BC， ∠ACB=90°）点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，则两堵木墙之间的距离为（ ）
A．10cm B．14cm C．20cm D．6cm
【答案】C
【解析】【解答】解：∵ ， ， ， ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ，
∵在 和 中，
∴ ；
∴ ， ，
∴ ，
故答案为：C．
【分析】几何题可以用反推法，两堵墙之间的距离，即“CD+CE”的和，所以要分别求出CD和CE的长，可以通过证明这两条线段所在的三角形全等，再利用转化的思想即可求出
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
11．计算： ．
【答案】
【解析】【解答】解：，
故答案为：2a.
【分析】根据分式的乘法法则计算求解即可。
12．如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D为AB的延长线上一点，且∠CBD＝120°，则∠C＝ ．
【答案】80°
【解析】【解答】由三角形的外角性质得，∠C＝∠CBD﹣∠A＝120°﹣40°＝80°．
故答案为：80°
【分析】根据三角形的外角定理即可求解.
13．如图所示，直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，D、E分别是直线AB、y轴上的动点，当△CDE周长最小时，点D的坐标为 ．
【答案】（﹣ ， ）．
【解析】【解答】解：如图，作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，
∵直线y＝x+2与两坐标轴分别交于A、B两点，点C是OB的中点，
∴B（﹣2，0），C（﹣1，0），
∴BO＝2，OG＝1，BG＝3，
易得∠ABC＝45°，
∴△BCF是等腰直角三角形，
∴BF＝BC＝1，
由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，
当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，
此时△DEC周长最小，
设直线FG的解析式为：y＝kx+b，
∵F（﹣2，1），G（1，0），
∴ ，
∴ ，
直线FG的解析式为： ，
解 得 ，
∴点D的坐标为（﹣ ， ），
故答案为：（﹣ ， ）．
【分析】作点C关于AB的对称点F，关于AO的对称点G，连接DF，EG，由轴对称的性质，可得DF＝DC，EC＝EG，故当点F，D，E，G在同一直线上时，△CDE的周长＝CD+DE+CE＝DF+DE+EG＝FG，此时△DEC周长最小；
14．在实数范围内分解因式： = ．
【答案】
【解析】【解答】解：令x2 3x 2=0，
则a=1，b= 3，c= 2，
∴x= =
∴x2 3x 2= .
故答案为： .
【分析】首先令x2-3x-2=0，利用公式法即可求得此一元二次方程的解，继而可将此多项式分解．
15．已知点A（x，2），B（﹣3，y），若A，B关于x轴对称，则x+y等于 ．
【答案】﹣5．
【解析】【解答】∵A，B关于x轴对称，∴x＝﹣3，y＝﹣2，∴x+y＝﹣5．
故答案为：﹣5．
【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相等，纵坐标互为相反数，求出x、y的值，进而可求出 x+y .
16．如图，在中，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是 ．
【答案】9.6
【解析】【解答】解：∵，是的平分线，
∴（等腰三角形三线合一），
设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，如图，
∵是的平分线，
∴点在AB上（根据轴对称性质和角平分线性质），
∴，
∴当且C、P、三点共线时，
有最小值，即，
∵，
，，，
∴，
解得，，
∴的最小值是9.6，
故答案为：9.6
【分析】由等腰三角形三线合一可得AD⊥BC，设点Q关于直线AD对称的对称点为，连接，根据轴对称性质和角平分线性质可得点在AB上，可得，当且C、P、三点共线时，有最小值即为CQ'的长，根据△ABC的面积可求出CQ'的长，即得结论.
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共72分）
得分
17．（9分）已知△ABC中，AB＝AC，D，A，E三点都在直线l上，且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC．
（1）如图①，当∠BAC＝90°时，线段DE，BD，CE的数量关系为： ；
（2）如图②，当0°＜∠BAC＜180°时，线段DE，BD，CE的数量关系是否变化，若不变，请证明；若变化，写出它们的关系式；
（3）如图③，∠ACB＝90°，点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），请直接写出点A的坐标．
【答案】（1）DE＝BD+CE
（2）解：DE＝BD+CE的数量关系不变，
理由如下：∵∠BAE是△ABD的一个外角，
∴∠BAE＝∠ADB+∠ABD，
∵∠BDA＝∠BAC，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE；
（3）（﹣4，3）
【解析】【解答】解：（1）∵∠BAC＝90°，
∴∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝90°，
∴∠ABD+∠BAD＝90°，∠CAE+∠BAD＝90°，
∴∠ABD＝∠CAE，
在△ABD和△CAE中，
，
∴△ABD≌△CAE（AAS），
∴AD＝CE，BD＝AE，
∴DE＝AD+AE＝BD+CE，
故答案为：DE＝BD+CE；
（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，
∵点C的坐标为（﹣2，0），点B的坐标为（1，2），
∴OC＝2，ON＝1，BN＝2，
∴CN＝3，
由（1）可知，△ACM≌△BCN，
∴AM＝CN＝3，CM＝BN＝2，
∴OM＝OC+CM＝4，
∴点A的坐标为（﹣4，3）．
【分析】（1）证明△ABD≌△CAE（AAS），根据全等三角形的性质得出AD＝CE，BD＝AE，结合图形证明结论即可；
（2）根据三角形的外角性质得出∠ABD＝∠CAE，证明△ABD≌△CAE（AAS），根据全等三角形的性质解答即可；
（3）过点A作AM⊥x轴于点M，过点B作BN⊥x轴于点N，根据（1）的结论得出△ACM≌△BCN，根据全等三角形的性质解答即可。
18．（9分）已知，如图AD为△ABC的中线，分别以AB和AC为一边在△ABC的外部作等腰三角形ABE和等腰三角形ACF，且AE＝AB，AF＝AC，连接EF，∠EAF+∠BAC＝180°
（1）如图1，若∠ABE＝63°，∠BAC＝45°，求∠FAC的度数；
（2）如图1请探究线段EF和线段AD有何数量关系？并证明你的结论；
（3）如图2，设EF交AB于点G，交AC于点R，延长FC，EB交于点M，若点G为线段EF的中点，且∠BAE＝70°，请探究∠ACB和∠CAF的数量关系，并证明你的结论．
【答案】（1）解：∵AE＝AB，
∴∠AEB＝∠ABE＝63°，
∴∠EAB＝54°，
∵∠BAC＝45°，∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，
∴54°+2×45°+∠FAC＝180°，
∴∠FAC＝36°；
（2）解：EF＝2AD；理由如下：
延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，如图1所示：
∵AD为△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△BDH和△CDA中， ，
∴△BDH≌△CDA（SAS），
∴HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，
∴AC∥BH，
∴∠ABH+∠BAC＝180°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAF＝∠ABH，
在△ABH和△EAF中， ，
∴△ABH≌△EAF（SAS），
∴EF＝AH＝2AD；
（3）解： ；理由如下：
由（2）得，AD＝ EF，又点G为EF中点，
∴EG＝AD，
由（2）△ABH≌△EAF，
∴∠AEG＝∠BAD，
在△EAG和△ABD中， ，
∴△EAG≌△ABD（SAS），
∴∠EAG＝∠ABC＝70°，
∵∠EAF+∠BAC＝180°，
∴∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，
即：70°+2∠BAC+∠CAF＝180°，
∴∠BAC+ ∠CAF＝55°，
∴∠BAC＝55°﹣ ∠CAF，
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，
∴55°﹣ ∠CAF＝110°﹣∠ACB，
∴∠ACB﹣ ∠CAF＝55°．
【解析】【分析】（1）有等腰三角形的性质得出∠AEB＝∠ABE＝63°，由三角形内角和定理得出∠EAB＝54°，推出∠EAB+2∠BAC+∠FAC＝180°，即可得出结果；
（2）延长AD至H，使DH＝AD，连接BH，由中线的性质得出BD＝CD，由SAS证出△BDH≌△CDA，得出HB＝AC＝AF，∠BHD＝∠CAD，得出AC∥BH，由平行线的性质得出∠ABH+∠BAC＝180°，证得∠EAF＝∠ABH，由SAS证得△ABH≌△EAF，即可得出结论；
（3）由（2）得出，AD＝ EF，又点G为EF中点，得出EG＝AD，由（2）△ABH≌△EAF得出∠AEG＝∠BAD，由SAS证得△EAG≌△ABD，得出∠EAG＝∠ABC＝70°，由已知得出∠EAB+2∠BAC+∠CAF＝180°，推出∠BAC＝55°﹣ ∠CAF，由三角形内角和定理得出
∠BAC＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝110°﹣∠ACB，即可得出结果。
19．（9分）仔细阅读下面的例题：
例题：已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式及m的值．
解：设另一个因式为 ，得 ，
则 ，
， ，
解得 ， ，
∴另一个因式为 ，m的值为6．
依照以上方法解答下列问题：
（1）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（2）若二次三项式 可分解为 ，则 ；
（3）已知二次三项式 有一个因式是 ，求另一个因式以及k的值．
【答案】（1）-4
（2）-1
（3）解：设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），
则2x2+9x﹣k＝2x2+（2n﹣1）x﹣n，
∴2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，
解得n＝5，k＝5，
∴另一个因式为x+5，k的值为5．
【解析】【解答】解：（1）∵ ＝x2+（a﹣1）x﹣a＝ ，
∴a﹣1＝﹣5，
解得：a＝﹣4；
故答案是：﹣4
（2）∵（2x+3）（x﹣2）＝2x2﹣x﹣6＝2x2+bx﹣6，
∴b＝﹣1．
故答案是：﹣1．
【分析】（1）将展开，根据所给的二次三项式即可求出a的值；
（2） 展开，可得出一次项的系数，捷克人求出b的值；
（3）设另一个因式为（x+n），得2x2+9x﹣k＝（2x﹣1）（x+n），可知2n﹣1＝9，﹣k＝﹣n，继而求出n、k的值及另一个因式。
20．（9分）如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E、F．
（1）试说明△CEF是等腰三角形；
（2）若点E恰好在线段AB的垂直平分线上，猜想：线段AC与线段AB的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若AC＝2.5，求△ABE的面积．
【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
∴∠B+∠BCD＝90°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE＝∠BAE，
∴∠ACD+∠CAE＝∠B+∠BAE，
即∠CFE＝∠CEF，
∴CF＝CE，
即△CEF是等腰三角形；
（2）解： AB＝2AC，
理由是：∵E在线段AB的垂直平分线上，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE，
∵∠CAE＝∠BAE，∠ACB＝90°，
∴3∠B＝90°，
∴∠B＝30°，
∴AB＝2AC；
（3）解：∵AC＝2.5，
∴AB＝2AC＝5，
由（2）得，∠CAB=60°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠CEA=30°，设CE为x，则AE为2x，
AC= ，
x= ，
过E作EM⊥AB于M，
∴EM＝CE＝ ，
∴△ABE的面积S＝ ＝ 5× ＝ ．
【解析】【分析】（1）求出∠B=∠ACD，根据三角形的外角性质求出∠CFE=∠CEF，根据等腰三角形的判定得出即可；
（2）求出∠B=∠CAE=∠BAE，根据三角形内角和定理求出∠B=30°，再求出答案即可；
（3）求出高EM的长，求出AB的长，再根据三角形的面积公式求出即可。
21．（9分）如图（1），大正方形的面积可以表示为 ，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即 ．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式： ．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”
（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式： ；
（2）如图（3）， 中， ， ， ， 是斜边 边上的高．用上述“面积法”求 的长；
（3）如图（4），等腰 中， ，点O为底边 上任意一点， ， ， ，垂足分别为点M，N，H，连接 ，用上述“面积法”，求证： ．
【答案】（1）
（2）解：如图（3） 中， ， ， ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
（3）解：如图（4），
∵ ， ， ，垂足分别为点 ， ， ，
∴ ，
∴ ，
∵AB=AC，
∴CH=OM+ON
即 ．
【解析】【解答】解：（1）如图（2），大长方形的面积为一个小正方形的面积与三个小长方形面积之和，即 ，同时大长方形的面积也可以为 ，
故答案为： ；
【分析】（1）大正方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为（x+3）（x+2），列出等量关系即可；
（2）由勾股定理求出AB，然后根据，代入数值解之即可；
（3）由和三角形面积公式即可得证。
22．（9分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，△ABC 的三个顶点的坐标分别是 A(2，3)，B(1，0)，C(1，2).
（1）在图中画出△ABC 关于 y 轴对称的
（2）直接写出 三点的坐标：
( )， ( )， ( )；
（3）如果要使以 B、C、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，直接写出所有符合条件的点 D 坐标.
【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求；
（2）(-2，3)；(-1，0)；(-1，2)
（3）解：当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），
当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 0，-1），
△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，-1）．
【解析】【解答】（2）由（1）中直角坐标系可得
(-2，3)， (-1，0)， (-1，2)；
【分析】（1）根据轴对称的性质及网格特点分别确定点A、B、C关于 y 轴对称的对应点 ，然后顺次连接即得；
（2）根据（1）点的位置写出坐标即可；
（3）要使以 B、C、D 为顶点的三角形与△ABC 全等，可知两个三角形有公共边，运用对称性即可求解.
23．（9分）如图，在中，，，延长至点D，使，连结，作的平分线与的平分线交于点E，连结，．
（1）求证：；
（2）求的度数；
（3）求的值．
【答案】（1）证明：如图，取的中点H，连接，
∵，，
，，
，点H是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
（2）解：如图，过点E作于，于点G，
，
，
平分，，，
，
∵，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
（3）解：，，
，
，，
，
，
【解析】【分析】（1）先得到是等边三角形，即可得到，，进而得到，利用等腰三角形的性质解题即可；
（2）过点E作于，于点G，根据“”证明，可以得到，进而得到，即可解题；
（3）由30°角的直角三角形的性质可得，然后根据等腰直角三角形的边长关系得到，求比值即可．
（1）证明：如图，取的中点H，连接，
∵，，
，，
，点H是的中点，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
；
（2）解：如图，过点E作于，于点G，
又，
，
平分，，，
，
∵，平分，
垂直平分，
，
，
，
，
又，
，
；
（3）解：，，
，
，，
，
，
．
24．（9分）已知：线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB．
（1）如图1，求证：∠A＋∠D＝∠B＋∠C；
（2）如图2，∠ADC和∠ABC的平分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，∠A＝28°，∠C＝32°，求∠E的度数；
（3）如图3，∠ADC和∠ABC的三等分线DE和BE相交于点E，并且与AB、CD分别相交于点M、N，，，试探究∠A、∠C、∠E三者之间存在的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）证明：∵
∴，
同理，，
又∵，
∴；
（2）解：如图，
由（1）得，；
同理，，，
∴
∵DE、BE分别平分和，
∴，，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：如图：
由（2）得，，；
∵，，
∴，，
∴，；
∴，；
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）根据三角形的内角和定理，结合对顶角相等即可求解；
（2）由（1）得，；同理，，，由角平分线的定义得出，再代入计算即可；
（3）由由（2）得，，，得出，代入求解即可。
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