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人教版九年级上册期末全优突破卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．的半径为6，点P的内，则OP的长可以是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．13
3．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
4．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过(-1，0)和(0，-1)两点，则抛物线y=cx2+bx+a的图象大致为（ )
A． B．
C． D．
6．已知二次函数 中 与 的部分对应值如下表，下列说法正确的是（ ）
﹣1 0 1 3
﹣3 1 3 1
A．抛物线开口向上
B．其图象的对称轴为直线
C．当 时， 随 的增大而增大
D．方程 必有一个根大于4
7．如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的长度为（ ）
A．10 B．9 C．5 D．4
8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有16人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则可列方程为（ ）
A．x（x+1）=16 B．x（x-1）=16 C．（1+x）2=16 D．（1+2x）=16
9．抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，其中．下列四个结论：①；②；③关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，则，能确定其正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．如图，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝ .
12．二次函数的顶点坐标是 .
13．已知关于x的方程有两个实数根，那么m的取值范围是 .
14．一元二次方程的两根、，则 .
15．已知二次函数 ，当 时，对应的y的整数值有 个.
16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是 ．
三、综合题（本大题共8小题，共72分）
17．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
18．（9分）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；
（3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标．
19．（9分）已知二次函数
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠DBC；
（2）证明：点B、E、C在以点D为圆心的同一个圆上；
（3）若AB＝5，BC＝8，求△ABC内心与外心之间的距离．
21．（9分）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 ▲ 人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率
22．（9分）已知抛物线（为常数）的顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点在该抛物线上，当时，比较与的大小；
（3）为该抛物线上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标．
23．（9分）如图，点E为正方形边上的一点，平分正方形的外角，将线段绕点顺时针旋，点的对应点为点．
（1）当点落在边上且时，求的度数；
（2）当点落在射线上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接并与交于点，连接，探究，与之间的数量关系，并说明理由．
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点，，现将矩形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到矩形．直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图像经过点C、M、N．
（1）请直接写出点B与点的坐标；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）点P是抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求当面积最大时点P的坐标及面积的最大值．
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人教版九年级上册期末全优突破卷
数 学
（考试时间：120分钟 考试满分：120分）
阅卷人 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
得分
1．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．
A．不是中心对称图形，不符合题意；
B．不是中心对称图形，不符合题意；
C．是中心对称图形，符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】根据中心对称图形的定义逐项判断即可。
2．的半径为6，点P的内，则OP的长可以是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．13
【答案】A
【解析】【解答】∵的半径为6，点P在内，
∴，
故答案为：A．
【分析】根据点与圆的位置关系求解即可。
3．方程 的根是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解： 3x(x 1)=2(x 1) ，
移项得：3x(x 1)-2(x 1)=0 ，
因式分解得：(x-1)(3x 2)=0 ，
∴x-1=0，3x-2=0，
∴ x1=3，x2= ，
故答案为：C．
【分析】利用因式分解法解方程即可。
4．如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝10，∠P＝30°，则AC的长度是（ ）
A．5 B．5 C．5 D．
【答案】A
【解析】【解答】解：过点D作OD⊥AC于点D，
∵AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，∴AB⊥AP，∴∠BAP=90°，∵∠P=30°，∴∠AOP=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OAD=30°，∵AB=10，∴OA=5，∴OD= AO=2.5，∴AD= = ，∴AC=2AD= ，
故答案为：A．
【分析】根据题意先求出∠AOC=120°，再求出OA=5，最后利用勾股定理计算求解即可。
5．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过(-1，0)和(0，-1)两点，则抛物线y=cx2+bx+a的图象大致为（ )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】∵抛物线y=ax2+bx+c经过(-1，0)和(0，-1)两点，则a-b+c=0，且c=-1；∴a=b+1，a＞0，-1＜b＜0；
A、由图像知a=1，则b=0，图像关于y轴对称，A图像不符合题意；
B、由图像知a＜1，即b+1＜1，∴b＜0，不矛盾，B图像符合题意；
C、由图像知a＞1，则b+1＞1，∴b＞0，与-1＜b＜0矛盾，C图像不符合题意；
D、由图像知a＜-1，与a＞0矛盾，D图像不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数的图象与性质，对每个选项一一判断即可。
6．已知二次函数 中 与 的部分对应值如下表，下列说法正确的是（ ）
﹣1 0 1 3
﹣3 1 3 1
A．抛物线开口向上
B．其图象的对称轴为直线
C．当 时， 随 的增大而增大
D．方程 必有一个根大于4
【答案】C
【解析】【解答】把 ， ， 代入 得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 ，
抛物线开口向下，对称轴为直线 ，当 时，y随x的增大而增大，函数的最大值为 ，
当 时， 随 的增大而增大，方程 没有一个根大于4．
故答案为：C．
【分析】利用待定系数法求出抛物线解析式为 ，再计算求解即可。
7．如图， 是 的直径，弦 于点E， ， ，则 的长度为（ ）
A．10 B．9 C．5 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：设OC=OB=x，OE=OB-BE= x-1
∵在 中，AB⊥CD，AB是直径，
∴ ，
∵在Rt OEC中，OC2=CE2+OE2，即x2=32+（x-1）2，
解得：x=5，
∴OE = x-1=4，
∴AE=OA+OE=5+4=9，
故答案为：B．
【分析】设OC=OB=x，OE=OB-BE= x-1，根据垂径定理可得，再利用勾股定理列出方程求解即可。
8．有一人患了流感，经过两轮传染后共有16人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人， 则可列方程为（ ）
A．x（x+1）=16 B．x（x-1）=16 C．（1+x）2=16 D．（1+2x）=16
【答案】C
【解析】【解答】解：设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意得1+x+x（1+x）=16，
即（1+x）2=16
故答案为：C．
【分析】设每轮传染中平均一个人传染了x个人，依题意即可列出方程。
9．抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，其中．下列四个结论：①；②；③关于的一元二次方程无实数解；④点，在抛物线上，若，则，能确定其正确的有（ ）个
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】【解答】解：∵抛物线（，，是常数，）的顶点坐标为，其中．根据同左异右，得，故①正确；
∵抛物线开口向下，顶点，，
∴抛物线与x轴有两个交点，，
∴，即，
∵∴，∴， 故②错误；
∴时，函数有最大值m，
∵，
∴直线与抛物线（，，是常数，）无交点，
∴关于的一元二次方程无实数解，故③正确；
∵点，在抛物线上，且抛物线的对称轴为，
∴到对称轴的距离为，到对称轴的距离为，
当时，，
根据二次函数的性质，抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，
∴，故④错误，
故答案为：B．
【分析】根据抛物线的性质，逐项判断即可．
10．如图，已知点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，延长CB至E，使得BE＝b，以CD，CE为边作矩形CEFD，连接并延长DB，交FE的延长线于点G，连接AG，《几何原本》中利用该图解释了代数式（2a+b）2+b2＝2[（a+b）2+a2]的几何意义，以AG为直径作圆，交AF于点H，若a＝9，b＝6，则HG的长为（ ）
A．5 B．18 C．3 D．17
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，分别连接OE、EH，
∴OE＝AG，
∴点E在以AG为直径的圆上，
∵DF∥AE，
∴弧AD＝弧EH，
∴AD＝EH，
∵点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，
∴AC＝a，CB＝a，
∴AD＝DB＝a，
∴HE＝AD＝a，
∵EF＝DC＝a，
∴HF＝＝＝a，
∵BE＝b，BE垂直于FG，
∴EG＝b，
∴FG＝EF+EG＝a+b，
∴HG＝＝ ，
又∵a＝9，b＝6，
∴HG＝＝.
故答案为：C．
【分析】如图，分别连接OE、EH，由直角三角形斜边上中线等于斜边一半可得OE＝AG，从而得出点E在以AG为直径的圆上，再根据垂径定理推论可得AD＝EH，又由点C是线段AB的中点，CD⊥AB且CD＝AB＝a，推出HE＝AD＝a，再利用勾股定理用字母a和b表示HG的长，最后代入数值进行计算，即可求解.
阅卷人 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
得分
11．如图，⊙O经过A，B，C三点，PA，PB分别与⊙O相切于A，B点，∠P＝46°，则∠C＝ .
【答案】67°
【解析】【解答】解：∵PA，PB分别与⊙O相切于A，B两点，
∴∠OAP＝90°，∠OBP＝90°，
∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣46°＝134°，
∴∠C＝ ∠AOB＝67°，
故答案为：67°.
【分析】根据切线的性质定理可得到∠OAP＝∠OBP＝90°，再根据四边形的内角和求出∠AOB，然后根据圆周角定理解答.
12．二次函数的顶点坐标是 .
【答案】（-3，-2）
【解析】【解答】解：二次函数为抛物线解析式的顶点式，
抛物线的顶点为（-3，-2）.
故答案为：（-3，-2）.
【分析】二次函数的顶点式为：y=a(x-h)2+k，顶点坐标为（h，k），据此解答.
13．已知关于x的方程有两个实数根，那么m的取值范围是 .
【答案】m≤且m≠0
【解析】【解答】解：mx2-3x+2=0有两个实数根，
当m=0时，方程化为-3x+2=0，解得：x=，不合题意；
故m≠0，则有b2-4ac=9-8m≥0，
解得：m≤，
则m的取值范围是m≤且m≠0.
故答案为：m≤且m≠0.
【分析】根据一元二次方程的根的判别式"①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根"并结合题意可得b2-4ac≥0，把a、b、c的值代入得关于m的不等式，由一元二次方程的定义“ax2+bx+c=0(a≠0)”可得关于m的不等式，解不等式组即可求解.
14．一元二次方程的两根、，则 .
【答案】1
【解析】【解答】解：∵、是一元二次方程()的两根，
∴+=2，=-1，
∴2-1=1.
故答案为：1.
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出+与的值，然后整体代入计算即可.
15．已知二次函数 ，当 时，对应的y的整数值有 个.
【答案】4
【解析】【解答】解：二次函数 ，
，抛物线开口向上，
当 ，y随x的增大而增大，
当x=3时，y= ，
， ， ，
当x=4时， y= ，
y的整数有-5，-6，-7，-8，
对应的y的整数值4个.
故答案为：4.
【分析】首先将抛物线的解析式配成顶点式，根据抛物线开口向上，对称轴直线是x=2，故当 ，y随x的增大而增大，当x=3时，y= ，，，当x=4时， y= ，的整数有-5，-6，-7，-8，可得出结果.
16．如图，在△ABC中，CA=CB，∠ACB=90°，AB=4，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆，半圆恰好经过三角形的直角顶点C，以点D为顶点，作90°的∠EDF，与半圆交于点E，F，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】π﹣2
【解析】【解答】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴DC= AB=2，四边形DMCN是正方形，DM= ．
则扇形FDE的面积是： =π．
∵CA=CB，∠ACB=90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA．
又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM=DN．
∵∠GDH=∠MDN=90°，∴∠GDM=∠HDN．在△DMG和△DNH中，∵ ，∴△DMG≌△DNH（AAS），∴S四边形DGCH=S四边形DMCN=2．
则阴影部分的面积是：π﹣2．
故答案为：π﹣2．
【分析】连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC，证明△DMG≌△DNH，则S四边形DGCH=S四边形DMCN，求得扇形FDE的面积，则阴影部分的面积即可求得．
阅卷人 三、综合题（本大题共8小题，共72分）
得分
17．（9分）如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；
（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【答案】（1）解：∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线
（3）解：如图，连接OC，
∵∠ABC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为 ．
【解析】【分析】（1）由圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ABC的度数；（2）由AB是⊙O的直径，根据半圆（或直径）所对的圆周角是直角，即可得∠ACB=90°，又由∠BAC=30°，易求得∠BAE=90°，则可得AE是⊙O的切线；（3）首先连接OC，易得△OBC是等边三角形，则可得∠AOC=120°，由弧长公式，即可求得劣弧AC的长．
18．（9分）如图，已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上存在一点，使得的值最小，求此时点的坐标；
（3）点是第一象限内抛物线上的一个动点（不与点、重合），过点作轴于点，交直线于点，连接，直线把的面积分成两部分，若，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：∵抛物线与x轴交于，，
∴
解得
∴抛物线的解析式为
（2）解：由（1）可知抛物线的对称轴为x＝2
要保证PA＋PC最小，则P为直线BC与对称轴的交点
而直线BC的解析式为y＝－x＋5
当x＝2时y＝－2＋5＝3
∴
（3）解：设，则
∴，
∵
∴，即，
∴
化简得，
解得，（舍去）
∴，
∴
【解析】【分析】(1)将点A、B坐标代入函数解析式，利用待定系数法求得解析式.
(2)本题考查的是利用将军饮马模型求线段和的最小值.由抛物线图象的对称性可得点A、B关于对称轴对称，故PA+PC=PB+PC，因而可得PA+PC的最小值为BC的长度，即点P在BC上.通过抛物线解析式求得点C坐标和对称轴，再利用点B、C坐标求得直线BC的解析式，进而得到点P坐标.
(3)由轴可得点E、D的横坐标相等，利用抛物线和直线BC的解析式设点D、E坐标，进而表示出DE、EF，再根据可得DE：EF=3：2，列出方程求得点D坐标.
19．（9分）已知二次函数
（1）求此二次函数图象的顶点坐标；
（2）求此二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）当时，直接写出x的取值范围．
【答案】（1）解：，
故此二次函数图象的顶点坐标为
（2）解：令，则，
解得，，
故此二次函数图象与x轴的交点坐标为与
（3）解：
【解析】【解答】（3）解：，
此二次函数图象的开口向上，
又此二次函数图象与x轴的交点坐标为与，
当时，x的取值范围为．
【分析】（1）利用配方法将二次函数的一般式化为顶点式可得答案；
（2）将y=0代入解析式求出x的值，可得答案；
（3）结合函数图象直接求解即可。
20．（9分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC与∠ABC的角平分线相交于点E，AE的延长线交△ABC的外接圆于点D，连接BD．
（1）求证：∠BAD＝∠DBC；
（2）证明：点B、E、C在以点D为圆心的同一个圆上；
（3）若AB＝5，BC＝8，求△ABC内心与外心之间的距离．
【答案】（1）证明：平分，
，
又，
；
（2）证明：，平分，
，
连接，
，
平分，
，
，，
，
，
，
点、、在以点为圆心的同一个圆上；
（3）解：如图：
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
在中，设，，
则，
即，
解得：，
即，
为直径，
，
在中，
，
，
，
为角平分线的交点，
为内心，
为内心与外心之间的距离，
内心与外心之间的距离为．
【解析】【分析】（1）根据同胡所对的圆周角相等，可得，再由AD平分，得出，从而证明结论；
（2）由，平分，得出，再根据，，得出，从而得出，即可得出结论；
（3）由题意证出，得出，再证出，得出，设，，根据勾股定理求出BD的长，而BD=BD，即可得出答案。
21．（9分）为落实“双减”，进一步深化白云区“数学提升工程”，提升学生数学核心素养，2021年12月3日开展“双减”背景下白云区初中数学提升工程成果展示现场会，其中活动型作业展示包括以下项目：①数独挑战；②数学谜语；③一笔画；④24点；⑤玩转魔方．为了解学生最喜爱的项目，随机抽取若干名学生进行调查，将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图：
（1）本次随机抽查的学生人数为 ▲ 人，补全图（Ⅰ）；
（2）参加活动的学生共有500名，可估计出其中最喜爱①数独挑战的学生人数为 人，图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为 度；
（3）计划在①，②，③，④四项活动中随机选取两项作为重点直播项日，请用列表或画树状图的方法，求恰好选中①，④这两项活动的概率
【答案】（1）解：60；补全图（Ⅰ）如下：
（2）125；90
（3）解：画树状图如图：
共有12个等可能的结果，恰好选中“①，④”这两项活动的结果有2个，
∴恰好选中“①，④”这两项活动的概率为=．
【解析】【解答】解：（1）本次随机抽查的学生人数为：18÷30%=60（人），
则喜爱⑤玩转魔方游戏的人数为：60-15-18-9-6=12（人），
故答案为：60；
（2）估计该校学生最喜爱“①数独挑战”的人数为：500×=125（人），
图（Ⅱ）中扇形①的圆心角度数为：360°×=90°，
故答案为：125，90；
【分析】（1）由②的人数除以所占百分比，求出抽查的学生人数，即可解决问题；
（2）由该校人数×最喜欢数独挑战的人数所占的比例，得出该校学生最喜欢数独挑战的人数，再用360度乘最喜欢数独挑战的人数所占的比例即可；
（3）画出树状图，再由概率公式求解即可。
22．（9分）已知抛物线（为常数）的顶点为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）点在该抛物线上，当时，比较与的大小；
（3）为该抛物线上一点，当取得最小值时，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：∵ 抛物线的顶点为，
∴
解得，．
∴ 抛物线的解析式为．
（2）解：∵ 抛物线的开口向上，对称轴为直线．
∴ 当时，函数值随自变量的增大而增大．
∵，
∴．
∴．
（3）解：∵ 点在该抛物线上，
∴．
∴．
∴ 当时，取得最小值．此时．
∴ 点的坐标为．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求出二次函数解析式；
（2）根据 抛物线的开口向上，对称轴为直线． 得出 当时，函数值随自变量的增大而增大． 再根据t的范围，即可得出答案；
（3）根据 点在该抛物线上， 得出n的值， 当时，取得最小值．此时． 即可得出 点Q的坐标．
23．（9分）如图，点E为正方形边上的一点，平分正方形的外角，将线段绕点顺时针旋，点的对应点为点．
（1）当点落在边上且时，求的度数；
（2）当点落在射线上时，求证：；
（3）在（2）的条件下，连接并与交于点，连接，探究，与之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）解：如图所示，
∵线段绕点顺时针旋当点落在边上，
∴，
∵四边形边正方形，
∴，，
，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
故为等边三角形，
∴，
（2）证明：如图，在上取作，作垂直于点I，
∵线段绕点顺时针旋当点落在边上
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
设，，，
在和中，
，，
∴，
即，
整理得：，
∵，
∴解得，
∴，
∵平分， ，
∴，
∴，
∵，，
∴
在和中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故．
（3）解：理由如下：
如图，过点作于点， 于点，
由（2）可知，，
∴，
∴和为腰直角三角形，
即，，
∴，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，
在中，，
∴，
故．
【解析】【分析】（1）先根据旋转的性质得到，再根据正方形的性质得到，，从而进行线段的运算得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，从而根据等边三角形的判定与性质即可求解；
（2）在上取作，作垂直于点I，先根据旋转得到，进而结合题意根据角平分线的性质得到，设，，，根据勾股定理得到，从而即可得到，即，再根据角平分线的定义得到，从而得到，再根据三角形全等的判定与性质证明得到， 等量代换即可得到，即；
（3）过点作于点， 于点，由（2）可知，，则，再根据等腰直角三角形的判定与性质得到，，进而得到，再根据矩形的判定与性质得到，从而根据勾股定理等量代换即可求解。
24．（9分）如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点，，现将矩形OABC绕原点O顺时针旋转90°，得到矩形．直线与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线的图像经过点C、M、N．
（1）请直接写出点B与点的坐标；
（2）求出抛物线的解析式；
（3）点P是抛物线上的一个动点，且在直线的上方，求当面积最大时点P的坐标及面积的最大值．
【答案】（1）
（2）解：设直线BB'的解析式为y=kx+b，将点B（-1，3），B'（3，1），代入得， 解得∴直线BB'的解析式为令，解得，令，解得，∴直线BB'与x轴的交点M（5，0），与y轴的交点N（0，），∵C（-1，0），∴设抛物线的解析式为y=a（x-5）（x+1），∵抛物线过点N，∴=a×（-5）×1，∴a=-，∴抛物线的解析式为；
（3）解：如图，过点P作轴，交于点Q，设，则，
；
当时，取得最大值为，此时，
面积的最大值为：．
【解析】【解答】解：（1）∵矩形OABC的顶点A（0，3），C（-1，0），，∴B（-1，3），由旋转知，B'（3，1），
【分析】（1）根据旋转的性质直接求出点坐标即可；
（2）先求出直线BB'的解析式，再求出点M、N的坐标，再利用待定系数法求出二次函数解析式；
（3）过点P作轴，交于点Q，设，则，求出，再利用二次函数的性质求解即可。
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