贵州省安顺市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测考试数学试题
1．（2024高一上·安顺期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高一上·安顺期末）在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2024高一上·安顺期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高一上·安顺期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高一上·安顺期末）已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高一上·安顺期末）为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2024高一上·安顺期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
8．（2024高一上·安顺期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高一上·安顺期末）下列运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高一上·安顺期末）已知实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
11．（2024高一上·安顺期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．若幂函数的图象过点，则
C．与为同一函数
D．函数与函数的图象关于直线对称
12．（2024高一上·安顺期末）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个零点为 B．的图象关于直线对称
C．是周期函数 D．方程有3个解
13．（2024高一上·安顺期末）已知函数是偶函数，则 .
14．（2024高一上·安顺期末）已知函数图象恒过定点，在直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，角的终边也过点，则的值是 .
15．（2024高一上·安顺期末）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：若是定义在上且最小正周期为1的函数，当时，，则 .
16．（2024高一上·安顺期末）已知函数.若，则的零点为 ；若函数有两个零点，则的最小值为 .
17．（2024高一上·安顺期末）已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
18．（2024高一上·安顺期末）已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在实数，使得“”是“”成立的______，求实数的取值范围.从“①充分不必要条件”和“②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答.若两个都选，则按第一个作答进行给分.
19．（2024高一上·安顺期末）已知函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，且函数在区间上的值域为，求实数a，b的值.
20．（2024高一上·安顺期末）已知函数（且），且.
（1）求函数的定义域；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性；
（3）求关于的不等式的解集.
21．（2024高一上·安顺期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
年份 2008 2009 2010 2011 … 2020
数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80
（1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适 （不用说明理由）；
（2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍
22．（2024高一上·安顺期末）函数和具有如下性质：①定义域均为R；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数）.
（1）求函数和的解析式；
（2）对任意实数，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由得，所以，。
故答案为：D.
【分析】根据根式与对数的定义域以及交集的定义求解即可.
2．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：若与的终边相同则，“与的终边相同”是“”的充分条件；
若，则与的终边相同或者关于轴对称，“与的终边相同”不是“”的必要条件
所以“与的终边相同”是“”的充分不必要条件。
故答案为：A。
【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断。
3．【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：的最小正周期为。
故答案为：B。
【分析】由正切函数的周期公式即可得解。
4．【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、在上单调递增，
的定义域为，在定义域上不单调，故A错误；
B、在上递减，在上递增，故B错误；
C、的定义域为R，在R上递增，故C正确；
D、在R上单调递减，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A不满足在上单调；结合函数解析式直接判断出单调性，可判断BCD.
5．【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：该扇形的面积.
故答案为：B.
【分析】直接根据扇形面积公式求解即可.
6．【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，运输效率逐步提高，也就是函数增长速率逐渐加快，B满足。
故答案为：B。
【分析】运输效率逐步提高即函数增长逐渐加快。
7．【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：恒成立，即恒成立。
因为，当且仅当时取等号。
所以的最大值为9.
故答案为：D。
【分析】独立参数得，然后由基本不等式求的最小值即可得解。
8．【答案】A
【知识点】换底公式及其推论；基本不等式
【解析】【解答】解：易知均为正数，根据换底公式与基本不等式可得，，；
，，，
所以。
故答案为：A。
【分析】根据换底公式以及基本不等式作商比较大小即可。
9．【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用对数的基本运算即可得解.
10．【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A正确；
B、因为，所以，故B错误；
C、，
因为，所以，所以，故C正确；
D、易得为增函数，且，故，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】根据不等式的性质，结合作差法逐项判断即可。
11．【答案】B,D
【知识点】命题的否定；互为反函数的两个函数之间的关系；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：A、由特称命题的否定为全称命题命题可知，“，”的否定为
“，”，故A错误；
B、设幂函数，则，解得，所以，，故B正确；
C、的定义域为，的定义域为，不是 同一函数 ，故C错误；
D、与互为反函数，图象关于直线对称，故D正确。
故答案为：BD。
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断A；设出幂函数，再代点可得，可求判断B；由函数的三要素可判断C；根据反函数的性质可判断D。
12．【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，所以的图象关于直线对称，故B正确；
C、设，则，
所以是周期函数，故C正确；
D、作出与的图象，如图所示：
时，，且，，
在之间两函数图象有1个交点；
时，，且，又，
由图可知在之间两函数图象有2个交点；
时，，，两函数图象无交点；
综上，有3个解，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将代入可判断A；根据对称轴处函数取得最值可判断B；根据周期函数的定义判断C；作图分析与的图象交点个数可判断D.
13．【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：，由是偶函数可知对称轴，解得.
故答案为：1.
【分析】根据偶函数的对称轴为y轴即可得解.
14．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当时，所以，。
故答案为：。
【分析】易知，结合正弦值的定义即可得解.。
15．【答案】
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意可得
。
故答案为：。
【分析】根据黎曼函数的定义结合已知条件，将自变量根据最小正周期为1转换到上，再代入的关系式即可得解。
16．【答案】6；60
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1） 若 ，则，解得，的零点为；
（2）若有两个零点，作出的图象，
由图象可得，
且，，即。
所以，当且仅当，即时取等号.
故答案为：6；60.
【分析】（1）解即可得解；
（2）作出的图象，结合题意得到，然后根据基本不等式即可求出最小值.
17．【答案】（1）解： .
（2）解： .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的基本关系即可得解；
（2）根据，再切化弦即可得解.
（1）.
（2）.
18．【答案】（1）解： 时，，，.
（2）解：
选①“”是“”成立的充分不必要条件，则，
所以，解得，
经检验“”满足题意，所以a的范围是。
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集，
所以，解集为空集，
所以不存在实数a，使得“”是“”成立的必要不充分条件.
【知识点】并集及其运算；充分条件；必要条件
【解析】【分析】（1）将代入求出A，再求出集合B，然后求并集；
（2）根据已知条件得到集合间的关系，进而求出参数的取值范围.
（1）若时，，，
所以．
（2）选①“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以.
经检验“”满足．所以实数a的取值范围是．
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集．
所以，解集为空集，
所以不存在实数a，使得“”是“”成立的必要不充分条件.
19．【答案】（1）解： 因为的最小正周期为，，所以，解得，所以。
令，解得.
所以的递减区间为.
（2）解： ，，所以，
又，所以，由题意得，解得.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求出，再代入正弦函数的单调递减区间即可得解；
（2）由得，结合正弦函数的图象可得的值域，由值域为列式求解.
（1）因为的最小正周期为，，故，解得，故.
令，解得.
故函数的单调递减区间为
（2）根据可得，故，
又，故，由题意，解得.
20．【答案】（1）解：，，因为，解得，，
令，解得，即的定义域为.
（2）解： 任取，设，
则.
因为，所以，从而，
因此，于是，所以，
故在上单调递增.
（3）解： 由（2）可得在上递增，若，则，解得。
所以的解集为.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）代入可得，再列出不等式求解即可；
（2）根据单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；
（3）根据的单调性与定义域即可得解.
（1）由可得，因为，解得.
故.令，解得，即函数的定义域为.
（2）任取，设，
则.
因为，所以，从而，
因此，于是，所以，
故在上单调递增.
（3）由（2）可得在上单调递增，若，则，
解得.故不等式的解集为
21．【答案】（1）解： 由数据量随年份增长呈爆炸增长可知，选择更合适.
（2）解： 由题意得，，，得，，故。
设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则，
即，解得，此时为2031年，预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍.
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长即可得解；
（2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算即可得解.
（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适.
（2）依题意，，故，即，代入可得，故.
设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则，
即，解得，此时为2031年.
即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍.
22．【答案】（1）解： 由性质③知，则，
由性质②知，，所以，
，解得，.
（2）解： 是定值，理由如下：
由（1）可得.
（3）解：，，
而，，
令，易知在上递增，所以，
记，则，
因为当时，且，
所以由对勾函数性质可得在上递减，
所以，因此，所以的范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解即可；
（2）根据（1）中解析式代入求即可；
（3）独立参数得对恒成立，再令，结合函数的单调性求的最小值即可.
（1）由性质③知，则，
由性质②知，，故.
则，
解得，；
（2）由（1）可得
；
（3）因为，所以，
而，，
令，易知在上单调递增，所以，
记，则，
因为当时，且，
故由对勾函数性质可得在上单调递减，
所以，因此，故的取值范围是.
1 / 1贵州省安顺市2023-2024学年高一上学期期末教学质量监测考试数学试题
1．（2024高一上·安顺期末）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由得，所以，。
故答案为：D.
【分析】根据根式与对数的定义域以及交集的定义求解即可.
2．（2024高一上·安顺期末）在直角坐标系中，角与角均以原点为顶点，以x轴的非负半轴为始边，则“与的终边相同”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：若与的终边相同则，“与的终边相同”是“”的充分条件；
若，则与的终边相同或者关于轴对称，“与的终边相同”不是“”的必要条件
所以“与的终边相同”是“”的充分不必要条件。
故答案为：A。
【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合正弦值的定义判断。
3．（2024高一上·安顺期末）函数的最小正周期为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】含三角函数的复合函数的周期
【解析】【解答】解：的最小正周期为。
故答案为：B。
【分析】由正切函数的周期公式即可得解。
4．（2024高一上·安顺期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A、在上单调递增，
的定义域为，在定义域上不单调，故A错误；
B、在上递减，在上递增，故B错误；
C、的定义域为R，在R上递增，故C正确；
D、在R上单调递减，故D错误.
故答案为：C.
【分析】A不满足在上单调；结合函数解析式直接判断出单调性，可判断BCD.
5．（2024高一上·安顺期末）已知某扇形的圆心角是，半径是3，则该扇形的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：该扇形的面积.
故答案为：B.
【分析】直接根据扇形面积公式求解即可.
6．（2024高一上·安顺期末）为了能在规定时间T内完成预期的运输最，某运输公司提出了四种运输方案，每种方案的运输量Q与时间t的关系如下图（四个选项）所示，其中运输效率（单位时间内的运输量）逐步提高的选项是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】解：由题意可知，运输效率逐步提高，也就是函数增长速率逐渐加快，B满足。
故答案为：B。
【分析】运输效率逐步提高即函数增长逐渐加快。
7．（2024高一上·安顺期末）若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．9
【答案】D
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式
【解析】【解答】解：恒成立，即恒成立。
因为，当且仅当时取等号。
所以的最大值为9.
故答案为：D。
【分析】独立参数得，然后由基本不等式求的最小值即可得解。
8．（2024高一上·安顺期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】换底公式及其推论；基本不等式
【解析】【解答】解：易知均为正数，根据换底公式与基本不等式可得，，；
，，，
所以。
故答案为：A。
【分析】根据换底公式以及基本不等式作商比较大小即可。
9．（2024高一上·安顺期末）下列运算正确的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C,D
【知识点】对数的性质与运算法则；换底公式及其推论
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C正确；
D、，故D正确.
故答案为：CD.
【分析】利用对数的基本运算即可得解.
10．（2024高一上·安顺期末）已知实数a，b满足，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、因为，所以，故A正确；
B、因为，所以，故B错误；
C、，
因为，所以，所以，故C正确；
D、易得为增函数，且，故，故D正确。
故答案为：ACD。
【分析】根据不等式的性质，结合作差法逐项判断即可。
11．（2024高一上·安顺期末）下列说法正确的是（ ）
A．命题“，”的否定为“，”
B．若幂函数的图象过点，则
C．与为同一函数
D．函数与函数的图象关于直线对称
【答案】B,D
【知识点】命题的否定；互为反函数的两个函数之间的关系；幂函数的概念与表示
【解析】【解答】解：A、由特称命题的否定为全称命题命题可知，“，”的否定为
“，”，故A错误；
B、设幂函数，则，解得，所以，，故B正确；
C、的定义域为，的定义域为，不是 同一函数 ，故C错误；
D、与互为反函数，图象关于直线对称，故D正确。
故答案为：BD。
【分析】根据特称命题的否定为全称命题判断A；设出幂函数，再代点可得，可求判断B；由函数的三要素可判断C；根据反函数的性质可判断D。
12．（2024高一上·安顺期末）设函数，则下列结论正确的是（ ）
A．的一个零点为 B．的图象关于直线对称
C．是周期函数 D．方程有3个解
【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系；函数y=Acos（ωx+φ）的图象与性质
【解析】【解答】解：A、，故A错误；
B、，所以的图象关于直线对称，故B正确；
C、设，则，
所以是周期函数，故C正确；
D、作出与的图象，如图所示：
时，，且，，
在之间两函数图象有1个交点；
时，，且，又，
由图可知在之间两函数图象有2个交点；
时，，，两函数图象无交点；
综上，有3个解，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】将代入可判断A；根据对称轴处函数取得最值可判断B；根据周期函数的定义判断C；作图分析与的图象交点个数可判断D.
13．（2024高一上·安顺期末）已知函数是偶函数，则 .
【答案】1
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：，由是偶函数可知对称轴，解得.
故答案为：1.
【分析】根据偶函数的对称轴为y轴即可得解.
14．（2024高一上·安顺期末）已知函数图象恒过定点，在直角坐标系中，角以原点为顶点，以轴的非负半轴为始边，角的终边也过点，则的值是 .
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当时，所以，。
故答案为：。
【分析】易知，结合正弦值的定义即可得解.。
15．（2024高一上·安顺期末）黎曼函数是一个特殊的函数，由德国数学家黎曼提出，在高等数学中有着广泛的应用，其定义为：若是定义在上且最小正周期为1的函数，当时，，则 .
【答案】
【知识点】函数的周期性
【解析】【解答】解：由题意可得
。
故答案为：。
【分析】根据黎曼函数的定义结合已知条件，将自变量根据最小正周期为1转换到上，再代入的关系式即可得解。
16．（2024高一上·安顺期末）已知函数.若，则的零点为 ；若函数有两个零点，则的最小值为 .
【答案】6；60
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：（1） 若 ，则，解得，的零点为；
（2）若有两个零点，作出的图象，
由图象可得，
且，，即。
所以，当且仅当，即时取等号.
故答案为：6；60.
【分析】（1）解即可得解；
（2）作出的图象，结合题意得到，然后根据基本不等式即可求出最小值.
17．（2024高一上·安顺期末）已知，求下列各式的值.
（1）；
（2）.
【答案】（1）解： .
（2）解： .
【知识点】同角三角函数间的基本关系；同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据诱导公式，结合同角三角函数的基本关系即可得解；
（2）根据，再切化弦即可得解.
（1）.
（2）.
18．（2024高一上·安顺期末）已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在实数，使得“”是“”成立的______，求实数的取值范围.从“①充分不必要条件”和“②必要不充分条件”中任选一个，填在上面空格处，补充完整该问题，并进行作答.若两个都选，则按第一个作答进行给分.
【答案】（1）解： 时，，，.
（2）解：
选①“”是“”成立的充分不必要条件，则，
所以，解得，
经检验“”满足题意，所以a的范围是。
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集，
所以，解集为空集，
所以不存在实数a，使得“”是“”成立的必要不充分条件.
【知识点】并集及其运算；充分条件；必要条件
【解析】【分析】（1）将代入求出A，再求出集合B，然后求并集；
（2）根据已知条件得到集合间的关系，进而求出参数的取值范围.
（1）若时，，，
所以．
（2）选①“”是“”成立的充分不必要条件，则A是B的真子集．
所以.
经检验“”满足．所以实数a的取值范围是．
选②因为“”是“”成立的必要不充分条件，则B是A的真子集．
所以，解集为空集，
所以不存在实数a，使得“”是“”成立的必要不充分条件.
19．（2024高一上·安顺期末）已知函数的最小正周期为.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若，且函数在区间上的值域为，求实数a，b的值.
【答案】（1）解： 因为的最小正周期为，，所以，解得，所以。
令，解得.
所以的递减区间为.
（2）解： ，，所以，
又，所以，由题意得，解得.
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；正弦函数的性质；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【分析】（1）根据正弦函数的周期公式求出，再代入正弦函数的单调递减区间即可得解；
（2）由得，结合正弦函数的图象可得的值域，由值域为列式求解.
（1）因为的最小正周期为，，故，解得，故.
令，解得.
故函数的单调递减区间为
（2）根据可得，故，
又，故，由题意，解得.
20．（2024高一上·安顺期末）已知函数（且），且.
（1）求函数的定义域；
（2）判断并用定义法证明函数的单调性；
（3）求关于的不等式的解集.
【答案】（1）解：，，因为，解得，，
令，解得，即的定义域为.
（2）解： 任取，设，
则.
因为，所以，从而，
因此，于是，所以，
故在上单调递增.
（3）解： 由（2）可得在上递增，若，则，解得。
所以的解集为.
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的判断与证明
【解析】【分析】（1）代入可得，再列出不等式求解即可；
（2）根据单调性的定义，按照取值、作差、变形、定号、下结论的步骤证明即可；
（3）根据的单调性与定义域即可得解.
（1）由可得，因为，解得.
故.令，解得，即函数的定义域为.
（2）任取，设，
则.
因为，所以，从而，
因此，于是，所以，
故在上单调递增.
（3）由（2）可得在上单调递增，若，则，
解得.故不等式的解集为
21．（2024高一上·安顺期末）人类已经进入大数据时代.目前，数据量已经从TB（1TB=1024GB）级别跃升到PB（1PB=1024TB），EB（1EB=1024PB）乃至ZB（1ZB=1024EB）级别.国际数据公司（IDC）的研究结果表明，2008年起全球每年产生的数据量如下表所示：
年份 2008 2009 2010 2011 … 2020
数据量（ZB） 0.49 0.8 1.2 1.82 … 80
（1）设2008年为第一年，为较好地描述2008年起第年全球生产的数据量（单位：ZB）与的关系，根据上述信息，试从（，且），，（，且）三种函数模型中选择一个，应该选哪一个更合适 （不用说明理由）；
（2）根据（1）中所选的函数模型，若选取2009年和2020年的数据量来估计模型中的参数，预计到哪一年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍
【答案】（1）解： 由数据量随年份增长呈爆炸增长可知，选择更合适.
（2）解： 由题意得，，，得，，故。
设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则，
即，解得，此时为2031年，预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍.
【知识点】“指数爆炸”模型
【解析】【分析】（1）根据数据量随年份增长呈爆炸增长即可得解；
（2）将2009年和2020年的数据量代入可得，再设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，列式计算即可得解.
（1）由数据量随年份增长呈爆炸增长可得，选择更合适.
（2）依题意，，故，即，代入可得，故.
设在第年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍，则，
即，解得，此时为2031年.
即预计到2031年，全球生产的数据量将达到2020年的100倍.
22．（2024高一上·安顺期末）函数和具有如下性质：①定义域均为R；②为奇函数，为偶函数；③（常数是自然对数的底数）.
（1）求函数和的解析式；
（2）对任意实数，是否为定值，若是请求出该定值，若不是请说明理由；
（3）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解： 由性质③知，则，
由性质②知，，所以，
，解得，.
（2）解： 是定值，理由如下：
由（1）可得.
（3）解：，，
而，，
令，易知在上递增，所以，
记，则，
因为当时，且，
所以由对勾函数性质可得在上递减，
所以，因此，所以的范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）根据函数的奇偶性列方程组求解即可；
（2）根据（1）中解析式代入求即可；
（3）独立参数得对恒成立，再令，结合函数的单调性求的最小值即可.
（1）由性质③知，则，
由性质②知，，故.
则，
解得，；
（2）由（1）可得
；
（3）因为，所以，
而，，
令，易知在上单调递增，所以，
记，则，
因为当时，且，
故由对勾函数性质可得在上单调递减，
所以，因此，故的取值范围是.
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