四川省成都市立格实验学校2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

四川省成都市立格实验学校 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学
试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集 = {1,2,3,4,5}，集合 = {2,3,4}， = {3,4}，则 ( ∪ ) =( )
A. {2,3,4} B. {1,2,5} C. {3,4} D. {1,5}
2.命题“ ∈ ， ∈ ”的否定为( )
A. ∈ ， B. ∈ ， ∈ C. ∈ ， ∈ D. ∈ ，
3.下列函数中，与函数 = 相等的是( )
2
3 4
A. = √ 2 B. = ( √ )3 C. = ( √ )4 D. =

4.已知 ， ∈ ，那么“ > 0”是“ > 0且 > 0”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 充要条件
C. 必要而不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
5.下列函数既是奇函数又在区间(0, +∞)上递增的是( )
1 1
A. = B. = 2 C. = D. =

6.定义在区间[ 5,0] ∪ [2,6)上的函数 = ( )的图象如图所示.若只有唯一的
值对应，则 的取值范围为( )
A. [0,2) ∪ (5, +∞)
B. [ 5,0] ∪ [2,6)
C. [2,5]
D. (2,5)
7.不等式 2 + + 1 ≥ 0对一切实数 都成立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 0] ∪ [4, +∞) B. ( ∞, 0) ∪ (4, +∞)
C. [0,4] D. (0,4)
2 2 + + 2, ≤ 1 ( 1) ( 2)
8.定义在 上的函数 ( ) = { 满足对任意 ， ( ≠ )时，都有 < 0成
( 4) + 1, > 1 1 2 1 2 1 2
立，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 1] B. (4, +∞) C. [1,4) D. [1,3]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.集合 = { | 2 + = 0}只有一个元素，则实数 的取值可以是( )
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1 1
A. 0 B. C. 1 D.
2 2
10.下列说法正确的是( )
A. 若 > ， > ，则 + > + B. 若 > ， > ，则 >
C. 若 2 > 2，则 > D. 若 > ，则 2 ≥ 2
11.若 ， > 0，且 + = 1，则下列说法正确的是( )
1 1 1
A. 有最大值 B. + 有最小值4
4
1
C. 2 + 2有最小值 D. √ + √ 有最小值√ 2
2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
1
, < 0
12.已知函数 ( ) = { 2 ，则 ( 2) = ______．
√ , ≥ 0
13.满足{1,2} {1,2,3,4,5}的集合 有 个.
, ( ≤ )
14.定义一种运算 { , } = { ，设 ( ) = {4 + 2 2 , | |}( 为常数)，且 ∈ [ 3,3]，则
, ( > )
使函数 ( )最大值为4的 值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { |1 < < 4}， = { |3 < < 5}．
(1)求 ∩ ， ∪ ( )；
(2)设 = { | ≤ ≤ + 3}，若 ∪ ( ) = ，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知关于 的不等式 2 + ( + 1) + > 0．
(1)当 = 2时，解这个关于 的不等式；
(2)当 ∈ 时，解这个关于 的不等式．
17.(本小题15分)
2
已知函数 ( ) = , ∈ (0, +∞)．
+1
(1)判断函数 ( )的单调性，并利用定义证明；
(2)若 (2 1) > (1 )，求实数 的取值范围．
18.(本小题17分)
某呼吸机生产企业计划投资固定成本500万元引进先进设备，用于生产无创呼吸机，需要投入成本 ( )(单
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5 2 + 150 , 0 < < 20
位：万元)与年产量 (单位：百台)的函数关系式为 ( ) = { 6400 ，据以往出口市场价
301 + 1700, ≥ 20

格，每百台呼吸机的售价为300万元，且依据国外以往销售情况，预测该年度生产的无创呼吸机能全部售完．
(1)求年利润 ( )(单位：万元)关于年产量 (单位：百台)的函数解析式(利润=销售额 投入成本 固定成本)；
(2)当年产量为多少时，年利润最大？并求出最大利润．
19.(本小题17分)
对于二次函数 = 2 + + ( ≠ 0)，若存在 ∈ ，使得 20 0 + 0 + = 0成立，则称 0为二次函数
= 2 + + ( ≠ 0)的不动点．
(1)求二次函数 = 2 3的不动点；

(2)若二次函数 = 2 2 (3 + ) + 1有两个不相等的不动点 1、 2，且
1 2
1、 2 > 0，求 + 的最小值． 2 1
(3)若对任意实数 ，二次函数 = 2 + ( + 1) + ( 1)( ≠ 0)恒有不动点，求 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
4
13.【答案】7
14.【答案】 2或4
15.【答案】解：(1)由题意，可得 = { | ≤ 3或 ≥ 5}，
所以 ∩ = { |3 < < 4}，
∪ ( ) = { | < 4或 ≥ 5}；
(2)因为 = { | ≤ ≤ + 3}，若 ∪ ( ) = ，
{ ≤ 3所以 ，
+ 3 ≥ 5
解得2 ≤ ≤ 3，
所以 的取值范围是[2,3]．
16.【答案】解：(1) = 2时，不等式为 2 2 > 0，
不等式对应方程的解为 1和2，
所以不等式的解集为{ | < 1或 > 2}．
(2)不等式 2 + ( + 1) + > 0可化为( + )( + 1) > 0，
当 = 1，即 = 1时，不等式为( + 1)2 > 0，解得 ≠ 1；
当 > 1，即 < 1时，解得 < 1或 > ；
当 < 1，即 > 1时，解得 < 或 > 1．
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综上， ≤ 1时，解集为{ | < 1或 > }；
> 1时，解集为{ | < 或 > 1}．
17.【答案】解：(1) ( )在(0, +∞)上递减，理由如下：
任取 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 < 2，则
2 2 2 1 2 1( 2+1) 2 2( 1+1) 2( 1 2)
( 2) ( 1) = + = = ， 2+1 1+1 ( 2+1)( 1+1) ( 2+1)( 1+1)
因为 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 < 2，则有 1 2 < 0，( 2 + 1)( 1 + 1) > 0，
可得 ( 2) ( 1) < 0，即 ( 2) < ( 1)，
所以 ( )在(0,+∞)上单调递减；
(2)由(1)可知 ( )在(0, +∞)上递减，
2 1 > 0
所以由 (2 1) > (1 )，得{1 > 0 ，
2 1 < 1
1 2
解得 < < ，
2 3
1 2
所以实数 的取值范围为( , )．
2 3
18.【答案】解：(1)当0 < < 20， ∈ 时， ( ) = 300 (5 2 + 150 ) 500 = 5 2 + 150 500，
6400 6400
当 ≥ 20， ∈ 时， ( ) = 300 (301 + ) + 1700 500 = 1200 ( + )，

5 2 + 150 500,0 < < 20, ∈
所以 ( ) = { 6400 ；
1200 ( + ), ≥ 20, ∈

(2)当0 < < 20， ∈ 时， ( ) = 5 2 + 150 500 = 5 × ( 15)2 + 625，
故当 = 15时， ( )取得最大值 (15) = 5 × (15 15)2 + 625 = 625，
6400 6400
当 ≥ 20， ∈ 时，因为 + ≥ 2√ = 160，

6400
当且仅当“ = ”，即“ = 80“时等号成立，

6400
所以 ( ) = 1200 ( + ) ≤ 1200 160 = 1040，

即当 = 80时， ( )取得最大值 (80) = 1040，
综上所述：当年产量为80台时，年利润最大，且最大年利润为1040万元．
19.【答案】解：(1)由题意知： 2 3 = ， 2 2 3 = 0，( 3)( + 1) = 0，
解得 1 = 1， 2 = 3，所以不动点为 1和3．
(2)依题意，2 2 (3 + ) + 1 = 有两个不相等的正实数根，
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即方程2 2 (4 + ) + 1 = 0有两个不相等的正实数根，
所以，解得 > 1，
2
2 2
2 2 4+ 2 ( +4) 2
1 2 1+ 2 ( 1+ 2) 2 1 ( + ) ( ) ( 1+5)所以 + = = 2 = 1 2 2 = 2 2 = 4 2 = 2 =
2 1 1 2 1 2 1
1 1
2 2( 1)
2 2
2
( 1) +10( 1)+25 1 25
2 = + + 3，
2( 1) 2 2( 1)
因为 > 1，所以 1 > 0，
1 25 1 25 1 25
所以 + + 3 ≥ 2√ + 3 = 8，当且仅当 = ，即 = 6时等号成立，
2 2( 1) 2 2( 1) 2 2( 1)
1 2
所以 + 的最小值为8．
2 1
(3)由题知： 2 + ( + 1) + ( 1) = ( ≠ 0)，
所以 2 + + ( 1) = 0，由于函数 = 2 + ( + 1) + ( 1)( ≠ 0)恒有不动点，
所以 = 2 4 ( 1) ≥ 0，即 2 4 + 4 ≥ 0，
又因为 是任意实数，所以 ′ = ( 4 )2 16 ≤ 0，
即 ( 1) ≤ 0( ≠ 0)，解得0 < ≤ 1，
所以 的取值范围是(0,1]．
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