广东省广州市广东省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

广东省实验中学 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知(1 + ) = 1 + 3 ，则复数 的虚部为( )
A. 1 B. C. 1 D.
2.一组数据23，11，31，14，16，17，19，27的百分之七十五分位数是( )
A. 14 B. 15 C. 23 D. 25
1
3.在四面体 中， = ， = ， = ， 为△ 的重心， 在 上，且 = ，则 =( )
2
2 1 1 8 1 1
A. + + B.
9 9 9 9 9 9
8 1 1 2 1 1
C. + + D.
9 9 9 9 9 9

4.已知随机事件 和 互斥，且 ( ∪ ) = 0.6， ( ) = 0.3，则 ( )等于( )
A. 0.8 B. 0.7 C. 0.5 D. 0.2
5.已知直线 过定点 (2,3,1)，且方向量为 = (0,1,1)，则点 (4,3,2)到 的距离为( )
3√ 2 √ 2 √ 10
A. B. C. D. √ 2
2 2 2
2 2
6.双曲线 与椭圆 + = 1有相同的焦点，一条渐近线的方程为 2 = 0，则双曲线 的标准方程为( )
9 4
2 2 2 2 2 2
A. 2 = 1 B. = 1 C. = 1 D. 2 = 1
4 9 36 9 36 4
2 2
7.已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的右焦点为 (3,0)，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，若 的中点坐
标为(1, 1)，则 的方程为( )
2 2 2 2 2 2 2 2
A. + = 1 B. + = 1 C. + = 1 D. + = 1
18 9 27 18 36 27 45 36
2 2
8.椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别是 1， 2，斜率为1的直线 过左焦点 1交 于 ， 两点，
√ 2 √ 2
且△ 2的内切圆的面积是 ，若椭圆 的离心率的取值范围为[ , ]，则线段 的长度的取值范围是( ) 6 3
A. [6√ 2, 12√ 2] B. [6,12] C. [4,8] D. [4√ 2, 8√ 2]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在棱长为1的正方体 1 1 1 1中， ， 分别是 ， 中点，则( )
A. 1//平面 1
B. 直线 1与平面 1 1 所成的角为45°
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C. 平面 1 ⊥平面 1
√ 2
D. 点 到平面 1 1 的距离为 4
2 2
10.已知点 是左、右焦点为 1， 2的椭圆 ： + = 1上的动点，则( ) 8 4
A. 若∠ 1 2 = 90°，则△ 1 2的面积为4√ 2
B. 使△ 1 2为直角三角形的点 有6个
C. | 1| 2| 2 |的最大值为6 2√ 2
1 √ 5 √ 5
D. 若 (1, )，则| 1| + | |的最大、最小值分别为4√ 2 + 和4√ 2 2 2 2
11.如图，曲线 是一条“双纽线”，其 上的点满足：到点 1( 2,0)与到点
2(2,0)的距离之积为4，则下列结论正确的是( )
A. 点 (2√ 2, 0)在曲线 上
B. 点 ( , 1)( > 0)在 上，则| 1| = 2√ 2
2 2
C. 点 在椭圆 + = 1上，若 1 ⊥ 2 ，则 ∈ 6 2
D. 过 2作 轴的垂线交 于 ， 两点，则| | < 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
sin(2 )
12.已知点 (2,1)在角 的终边上，则 = ______．
1+sin( 2 )
2
2 1
13.若 ( ) = ( + ) ln 为偶函数，则实数 = ______．
2 +1
2 2 2 2
14.如图，椭圆 2 + 2 = 1( > > 0)与双曲线 2 = 1( > 0, > 0)有公共焦点 ( , 0)， ( , 0)( > 2 1 2
0)，椭圆的离心率为 1，双曲线的离心率为 2，点 为两曲线的一个公共点，且∠ 1 2 = 60°，Ⅰ为△ 1 2
的内心， 1， ， 三点共线，且 = 0， 轴上点 ， 满足 = ， = ，则 1 2的最小值为
______； 2 + 2的最小值为______．
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四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在平面直角坐标系 中，已知圆 的圆心在直线 + 1 = 0上，且与直线2 + = 0相切于坐标原点．
(1)求圆 的标准方程；
(2)经过点 (0,2)的直线 被圆 截得的弦长为3√ 2，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
sin( + )
已知三角形 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 = ，且 = 2．
+

(1)若 = ，求 ；
6
(2)点 在边 上且 平分∠ ，若 = √ 3，求三角形 的周长．
17.(本小题15分)
2 2 √ 6
椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)过点 (√ 3, 1)且离心率为 ， 为椭圆的右焦点，过 的直线交椭圆 于 ， 3
两点，定点 ( 4,0)．
(Ⅰ)求椭圆 的方程；
(Ⅱ)若△ 面积为3√ 3，求直线 的方程．
18.(本小题17分)
在四棱锥 中，底面 为直角梯形， // ， ⊥ ，侧面 ⊥底面 ， = = =
1
= 2，且 ， 分别为 ， 的中点．
2
(1)证明： //平面 ；
(2)若直线 与平面 所成的角为60°，
①求平面 与平面 所成锐二面角的余弦值．
②平面 将四棱锥 分成上、下两部分，求平面 以下部分几何体的体积．
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19.(本小题17分)
2 2 1
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的实轴长为4，渐近线方程为 = ± ． 2
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)双曲线的左、右顶点分别为 1、 2，过点 (3,0)作与 轴不重合的直线 与 交于 、 两点，直线 1 与 2
交于点 ，直线 1 与 2 交于点 ．
( )设直线 1 的斜率为 1，直线 2 的斜率为 2，若 1 = 2，求 的值；
( )求△ 2 的面积的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
2
13.【答案】0
√ 3 √ 3
14.【答案】 1 +
2 2
+1
15.【答案】解：(1) ∵圆 的圆心在直线 + 1 = 0上，设 ( , + 1)，则 × ( 2) = 1，

解得 = 2，即 ( 2, 1)，∴圆的半径为√ 4 + 1 = √ 5，
∴圆 的标准方程为( + 2)2 + ( + 1)2 = 5；
(2)经过点 (0,2)的直线 被圆 截得的弦长为3√ 2，
当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 = 0，
此时直线 被圆 截得的弦长为2√ 5 4 = 2，不符合题意，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 = +2，即 +2 = 0，
| 2 +1+2| 3√ 2 17
∴ ( )2 + ( )2 = 5，解得 = 1或 = ，
√ 2 2 7 +1
∴直线 的方程为 +2 = 0或17 7 + 14 = 0．

16.【答案】解：(1)由正弦定理可知 = = ，

sin( + ) sin( )
∴ = = = = ，
+ + + +
∴ ( ) = ( + )( )，
∴ 2 = 2 2，即 2 + 2 2 = ，
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2
+ 2 2 1
由余弦定理知 = = ，
2 2
又∵ ∈ (0, )，

∴ = ，由 = ， = ，知 = = ，
3 3 6 3 6 2

故△ 为直角三角形， = ，

√ 3 2
∴ = ，
2
4√ 3
故 = ；
3
(2)点 在边 上且 平分∠ ，
1 1 1
所以 = + ，即 = sin∠ + sin∠ ，即2 2 2
1 1 1
60° = √ 3 30° + √ 3 30°，即 = + ，①
2 2 2
又由于 2 + 2 2 = ，即 2 + 2 4 = ，即( + )2 = 4 +3 .②
①代入②得到( + )2 3( + ) 4 = 0，
所以 + = 4或 + = 1(舍去)，
所以△ 的周长为 + + = 2 + 4 = 6．
3 1 √ 6
17.【答案】解：(1)由题意可得： 2 + 2 = 1， = ，又
2 = 2 + 2，
3
联立解得： 2 = 6， 2 = 2， = 2．
2 2
∴椭圆 的方程为： + = 1．
6 2
(2) (2,0)．
4 2 √ 6
①若 ⊥ 轴，把 = 2代入椭圆方程可得： + = 1，解得 = ± ．
6 2 3
1 2√ 6
则 △ = × 6 × = 2√ 6 ≠ 3√ 3，舍去． 2 3
②若 与 轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线 的方程为： = 2．
把 = + 2代入椭圆方程可得：( 2 +3) 2 +4 2 = 0．
4 2
∴ 1 + 2 = 2 ， 1 2 = ， +3 2+3
4 2 2
√ 6( 2+1)
∴ | 1 | = √ ( 2 22 1 + 2) 4 1 2 = √ ( 2 ) 4 × = ． +3 2+3 2+3
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2√1 6(
2+1)
则 △ = × 6 × | 1 2| = 3 ×2 2
= 3√ 3，解得 = ±1．
+3
∴直线 的方程为： = ±( 2)．
18.【答案】(1)证明：取 中点 ，连接 ， ，
1
因为 为 的中点，所以 // ， = ，
2
1
又因为 // ， = ，
2
所以 // ， = ，所以四边形 为平行四边形，
所以 // ，因为
平面 ， 平面 ，所以 //平面 ；
(2)解：平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
⊥ ，所以 ⊥平面 ，
取 中点 ，连接 ，则 // ，所以 ⊥平面 ，
1 3
所以∠ = 60°， = ( + ) = 3，所以 60° = ，所以 =
2 √ 3，
又 = = 2，所以 = = √ 4 3 = 1， = 2，
①如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系，
所以 (0,0,√ 3)， (1,4,0)， ( 1,2,0)，
所以 = (1,4, √ 3), = ( 2, 2,0)，
设平面 的一个法向量， 1 = ( , , )，
1 = 0则{ ，即{
+ 4 √ 3 = 0，取 = 1，则 = ( 1,1,√ 3)，
1 = 0 2 2 = 0
1
平面 的一个法向量可取 2 = (0,1,0)，
设平面 与平面 所成锐二面角为 ，
1 2 1 √ 5所以 = | | = = ，
| 1 || 2 | √ 5 5
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所以平面 与平面 所成锐二面角的余弦值√ 5．
5
②如图， // ，从而 垂直于 ，四边形 为矩形，正三角形 中， 垂直于 ，
1 1
又 垂直于 ，从而 垂直于平面 .所以四棱锥 体积为 × ×
3 矩形
= × 1 × 2 ×
3
2√ 3
√ 3 = ，
3
1 1 1
又四棱锥 的体积为 × × = × √ 3× × (2 + 4) × 2 = 2√ 3，所以五面体 为3 3 2
2√ 3 4√ 3
2√ 3 = ．
3 3
1 2
19.【答案】解：(1)由题意知：2 = 4， = ，解得 = 2， = 1，双曲线方程为

2 = 1．
2 4
(2)
因为直线 斜率不为0，设直线 方程为 = + 3，易知 1( 2,0)， 2(2,0)，
2
设 ( 21, 1)， ( 2, 2)，联立 = 1，得(
2 4) 2 +6 + 5 = 0，
4
2 4 ≠ 0
> 0
5
则 6 1 + 2
= ，且 = ( + )，
2
+2 2
4 6
1 2
5
{ 1 2 = 2 4
1
( ) = = 1
2 2 1 ( 2+3) 2 + = = 1 2 1
2 1+2 2 ( 1+3)+2 +5
2 1 2 2
5
(
6 1
+ 2)+ 1 1 5 1= 25 = = ．
( + )+5 5 1+25 6 1 2 2 2
5
( )由题可得： 2 ： = 2( 2)， 1 ： = 1( + 2)．
2( 2+ 1) 4 4 10 4 10 4 10
联立可得： = = ( , 1)，即 ( ,
1 )，同理 ( , 2 ).
2 1 3 3 3 3 3( +2) 3 3( +2)
1 2
10 1 2 10 1 2 10 5( )
所以| | = | | = | | = |
1 2
3 +2 +2 3 +5 +5 3 5 ( + )+5 ( + )+25 1 2 1 2 6 1 2 1 2
√ 2 ( 1+ 2) 4 1 2 2
= 4| | = √ 2+ 5，
( 1+ 2)+6 3
1 2
故 △ = | || | = √ 2 +5， 2 2 2 9
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因为 2 ≥ 0且 2 ≠ 4，
所以 2√ 5 2 2 △ ∈ [ , ) ∪ ( , +∞)． 2 9 3 3
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