陕西省渭南市蒲城中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省渭南市蒲城中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关系中错误的是( )
A. {0} B. ∈ C. 0 ∈
D.
2.已知实数 ， 满足 2 > 2，则下列不等式正确的是( )
1 1
A. 4 > 4 B. 3 > 3 C. > D. <

2
3.下列函数中与 ( ) = 是同一个函数的是( )

√ 2 2 (√ ) 3
A. ( ) = B. ( ) = 0 C. ( ) = 0 D. ( ) =
0 √ 3

4.已知命题 ： > 0， 2 > ，命题 ： < 0， 3 + 1 > 0，则( )
A. 和 均为真命题 B. ￢ 和 均为真命题
C. 和￢ 均为真命题 D. ￢ 和￢ 均为真命题
5.如图所示是函数 = ( )的图象，则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( )的定义域为( 4,4]
B. 函数 ( )的值域为[0,5]
C. 此函数在定义域上不单调
D. 对于 ∈ [0, +∞)，都有唯一的自变量 与之对应
6.已知函数 ( ) = ( 2 )( + )为奇函数，则( )
A. ≠ 0 B. = 0， = 0 C. = 0， ∈ D. ∈ ， = 0
+2
7.已知 ， 为正实数，则“ < ”是“ < ”的( )
+2
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数 ( )的定义域为 ， ( ) ( ) = ( + ) + ( )，且 (1) = 1，则 (2024) =( )
A. 1 B. 1 C. 2024 D. 2024
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.定义集合 与 的运算： = { | ∈ ，且 ( ∪ )}， = { | ∈ ，且 ( ∩ )}.已知 = ( 1,4]，
= [0,7)，则( )
A. = ( ∞, 1] ∪ [7, +∞) B. = ( ∞, 0) ∪ (4, +∞)
C. ( ) = [4,7] D. ( ) = ( ∞, 4] ∪ [7, +∞)
| |
10.已知函数 ( ) = ，则下列结论正确的是( )
| | 1
A. ( )的定义域为{ | ≠ ±1且 ≠ 0} B. ( )为偶函数
C. ( )在( ∞, 1)上单调递增 D. ( )在( 1,1)内有最小值
1 1 1
11.已知 > 0， > 0，且 = 2 ，则( )

1+√ 3
A. + 的最小值为1 + √ 3 B. 的最小值为
2
1 3
C. > D. + 2 的最小值为 + √ 6
2 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知命题 ： < 0， 4 2 > 2，则命题 的否定为______．
+ 1, ≥ 1
13.已知函数 ( ) = { 2 ，在 上单调递增，则实数 的取值范围为______． + 2 2, < 1
14.已知二次函数 ( )满足 ( ) = 1有两个相等实根，且不等式 ( ) < 0的解集为( ∞, 0) ∪ (2, +∞).当 >
1 1
> 0时，在[ , ]上 ( )的取值范围为[ , ]，则 = ______， = ______．

四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知集合 = { |2 ≤ ≤ 2 + }， = { | 2 2 8 ≥ 0}．
(1)当 = 3时，求 ∪ ( )；
(2)若 > 0，且“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题15分)
已知函数 ( ) = 2 ( ) ．
(1)若关于 的不等式 ( ) > 0的解集为( 3,1)，求 ， 的值；
(2)当 = 1时，若关于 的不等式 ( ) ≤ 0在 上恒成立，求 的取值范围．
17.(本小题15分)
已知幂函数 ( ) = ( 4 80) 在(0, +∞)上单调递增，且其图象经过点( , 1)．
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(1)求 ( )的解析式；

(2)若 ( ) = ，用定义法证明：函数 ( )在( ∞, 1)上单调递增．
+1
18.(本小题17分)
为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本5万元，当年产量
1
(单位：万件)低于10万件时，流动成本 ( ) = 2 + 3 (万元)，当年产量 (单位：万件)不低于10时，
4
144
( ) = 8 + 50(万元).经调研，每件水果箱售价为7元，每年加工的水果箱能全部售完．

(1)求年利润 ( )关于年产量 (单位：万件)的函数关系式；(注：年利润=年销售额 固定成本 流动成本)
(2)求年产量 (单位：万件)为多少时，年利润 ( )取得最大值，并求出 ( )的最大值．
19.(本小题17分)
设函数 ( )的定义域为Ⅰ，如果 ∈ ，都有2 ∈ ，满足 (2 ) = ( )，那么函数长 ( )的图象称
为关于点 ( , 0)的中心对称图形，点 ( , 0)就是其对称中心.如果 0 ∈ ，且 0 ≠ ，使得2 0 ∈ ，满
足 (2 0) = ( 0)，那么函数 ( )的图象称为关于点 ( , 0)的弱中心对称图形，点 ( , 0)就是其弱对
称中心．
(1)若函数 ( ) = ( + 1)3 + 的图象是关于点 ( 1,0)的中心对称图形，求实数 的值；
(2)判断函数 ( ) = | 1|的图象是否为关于原点的弱中心对称图形，并说明理由；
2 , ≥ 2,
(3)若函数 ( ) = { 的图象是弱中心对称图形，且弱对称中心为(1,0)，求实数 的取值范围．
+ 1, < 2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 < 0， 4 2 ≤ 2
13.【答案】[1,4]
1+√ 5
14.【答案】 1
2
15.【答案】解：(1)当 = 3时，所以 = { |2 ≤ ≤ 2 + } = { | 1 ≤ ≤ 5}，
又 = { | 2 2 8 ≥ 0} = { | ≤ 2，或 ≥ 4}，
所以 = { | 2 < < 4}，
所以 ∪ ( ) = { | 2 < ≤ 5}；
(2)因为 > 0，所以 ≠ ，
由“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件， = { | 2 < < 4}，
2 > 2,
所以 ，则{2 + < 4,
> 0,
解得0 < < 2，
所以实数 的取值范围是{ |0 < < 2}．
16.【答案】解：(1)若关于 的不等式 ( ) > 0的解集为( 3,1)，
则 3，1是方程 2 ( ) = 0的两根，
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所以 3 + 1 = ( )， 3 × 1 = ，
解得 = 1， = 3或 = 2， = 3；
(2)当 = 1时， ( ) = 2 ( 1) ，
若 ( ) < 0在 上恒成立，即 ( )的图象与 轴至多有一个交点，
则 = [ ( 1)2] 4 × ( 1) × ( ) ≤ 0，
即 2 6 + 1 ≤ 0，解得3 2√ 2 ≤ ≤ 3 + 2√ 2，
故 的取值范围是[3 2√ 2, 3 + 2√ 2]．
17.【答案】解：(1)根据题意，函数 ( ) = ( 4 80) 是幂函数，
则 4 80 = 1，解得 = ±3，
又由幂函数 ( )在(0, +∞)上单调递增，可得 = 3，
所以 ( ) = 3；
(2)证明：函数 ( ) = 3的图象经过点( , 1)，则有 ( ) = 3 = 1，解可得 = 1．
3 1 3( +1) 4 4
则 ( ) = = = 3 ．
+1 +1 +1
设 1 < 2 < 1，
4 4 4 4 4( +1) 4( +1) 4( )
则有 ( 1) ( 2) = 3 (3 ) = =
1 2 = 1 2 ，
1+1 2+1 2+1 1+1 ( 2+1)( 1+1) ( 2+1)( 1+1)
因为 1， 2 ∈ ( ∞, 1)，所以 1 + 1 < 0， 2 + 1 < 0，
所以( 1 + 1)( 2 + 1) > 0．
4( )
因为 1 < 2，所以 1 2 < 0，所以
1 2 < 0，
( 2+1)( 1+1)
则 ( 1) < ( 2)，
故函数 ( )在( ∞, 1)上单调递增．
1 1
18.【答案】解：(1)当0 < < 10时， ( ) = 7 ( 2 + 3 ) 5 = 2 + 4 5，
4 4
144 144
当 ≥ 10时， ( ) = 7 (8 + 50) 5 = 45 ( + )，

1
2 + 4 5,0 < < 10
所以利润函数为 ( ) = { 4 ；
144
45 ( + ), ≥ 10

1 1
(2)当0 < < 10时， ( ) = 2 + 4 5 = ( 8)2 + 11，
4 4
此时 = 8， ( ) = 11；
144 144
当 ≥ 10时， ( ) = 45 ( + ) ≤ 45 2√ = 21，

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144
当且仅当 = ，即 = 12时取得等号．

因为11 < 21，所以年产量为12万件时，年利润 ( )取得最大值21万元．
19.【答案】解：(1) ( )的定义域为Ⅰ，如果 ∈ ，都有2 ∈ ，满足 (2 ) = ( )，那么函数长
( )的图象称为关于点 ( , 0)的中心对称图形，点 ( , 0)就是其对称中心，
因为 ( ) = ( + 1)3 + 的图象是关于点 ( 1,0)的中心对称图形，
故 ( 1) = ( 1 + 1)3 1 = 0，解得 = 1．
当 = 1时， ( ) = ( + 1)3 + + 1，对于任意的 ，
都有 ( 2 ) = ( 2 + 1)3 + ( 2 ) + 1 = ( 1 )3 1 = [( + 1)3 + + 1] = ( )，
所以函数 ( ) = ( + 1)3 + + 1的图象是关于点 ( 1,0)的中心对称图形，
故 = 1．
(2)函数 ( ) = | 1|的图象不是关于原点的弱中心对称图形．
理由如下：假设 0 ∈ ，使得 0| 0 1| = 0| 0 1|，解得 0 = 0，与 0 ≠ 0矛盾，
所以函数 ( ) = | 1|的图象不是关于原点的弱中心对称图形；
(3)由题意可知，存在 0，且 0 ≠ 1，使得 (2 0) = ( 0)，
当 0 ≥ 2时，2 0 < 0，则2 0 + 1 = (
2
0 0)，
2
所以 = 0 0
+3 3
= + 1，
00 0
3 3 5
又知对勾函数 ( ) = + 1在[2, +∞)上单调递增，所以 ( ) = (2) = 2 + 1 = ， 2 2
5
所以 ≥ ；
2
当0 < 0 < 2时，0 < 2 0 < 2，则2 0 + 1 = ( 0 + 1)不成立；
当 0 ≤ 0时，2 0 ≥ 2，则(2 )
2
0 (2 0) = ( 0 + 1)，
+1 3
= 2 00 + = 2 0 + 1， 2 0 2 0
3 5
令 = 2 0，则 = + 1在[2, +∞)上单调递增，所以 = ， 2
5
所以 ≥ ．
2
5
综上可知，实数 的取值范围为[ , +∞)．
2
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