重庆市巴蜀中学教育集团2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

重庆市巴蜀中学教育集团 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试
卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列直线中，倾斜角为钝角的直线是( )
A. 3 + 4 = 0 B. + 3 + 4 = 0 C. 3 = 0 D. + 4 = 0
2.若圆 21： +
2 = 9与圆 2：( 4)
2 + ( 3)2 = 外切，则 的值是( )
A. 16 B. 8 C. 4 D. 1
3.已知在等差数列{ }中， 2 + 5 = 4 + 11且 2 + 4 = 6 + 2，则数列{ }的通项公式为( )
A. = 3 + 2 B. = 3 1 C. = 3 +5 D. = 2 +3
4.已知点 在圆( 2)2 + 2 = 1上运动， 为坐标原点，则线段 的中点的轨迹方程为( )
1 1
A. ( 1)2 + 2 = B. ( 1)2 + 2 =
4 2
1
C. ( 1)2 + 2 = 1 D. ( 2)2 + 2 =
4
2 2
5.已知双曲线 2 2 = 1( > > 0)的两条渐近线之间的夹角小于 ，则双曲线的离心率的取值范围是( ) 3
2√ 3
A. (1, √ 2) B. (1, )
3
2√ 3
C. (2,+∞) D. (1, ) ∪ (2,+∞)
3
2 2
6.已知动点 在椭圆 ： + = 1上， (0,1)， ( 3,3)，则| | | |的最大值为( )
4 3
A. √ 13 B. √ 13 C. 3 D. 1
2 2
7.已知双曲线 ： 2 = 1( > 0)，过左焦点 的直线 与双曲线交于 ， 两点.若存在4条直线 满足| | = 4
8，则实数 的取值范围是( )
A. (1,16) B. (1,8) C. (1,4) D. (1,2)
8.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出.反之，
平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.在抛物线 2 = 4 中，一平行于 轴的光
线 1射向抛物线上的点 ，反射后反射光线经过抛物线的焦点 射向抛物线上的点 ，再反射后又沿平行 轴
方向的直线 2射出.则直线 1与 2之间的最小距离为( )
A. 4 B. 2 C. 8 D. 16
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列{ }的通项公式为 =
2 4 ，则下列说法正确的是( )
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A. 该数列有3个负数项
B. 该数列有无限多个正数项
C. 该数列的最小项大于函数 ( ) = 2 4 的最小值
D. 该数列中的所有项均为奇数或4的倍数
2 2
10.椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右焦点分别为 1、 2，过 1的直线 与椭圆相交于 、 两点，其中
是椭圆的上顶点，△ 1 2为面积是√ 3的正三角形，则下列说法正确的是( )
√ 3
A. △ 2的周长为8 B. 椭圆 的离心率为 2
14 3√ 3
C. 2的长为 D. △ 1 5 2的面积为 5
11.已知实数 、 满足方程 = √ 4 2，则下列说法正确的是( )
2√ 5
A. 的取值范围是[0, ]
+3 5
B. 3 + 的取值范围是[ 6,2√ 10]
C. ( 3)2 + 2的取值范围是[1,5]
D. | + 4√ 2|的取值范围是[2√ 2, 4√ 2 + 2]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若数列{ }的前 项和公式为 =
2 + 14，则{ }的通项公式为______．
13.当原点 到动直线 ： + 2 +1 = 0( ∈ )的距离最大时，实数 的值为______．
| |
14.已知抛物线 ： 2 = 的焦点为 ，准线与 轴的交点为 ， 为抛物线 上一动点，则 的取值范围是
| |
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知圆 关于 轴对称且经过点( √ 3, 3)和(2,2)．
(1)求圆 的标准方程；
(2)过点 ( √ 3, 1)的直线 与圆 交于 、 两点；若| | = 2，求直线 的方程．
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形，侧棱 ⊥底面 ， ⊥ ，底面 为平
行四边形， = = ， 、 分别在棱 、 上， //平面 ．
(1)若 是 的中点，求 与平面 所成角的余弦值；
(2)若 ⊥ ，求平面 与平面 的夹角的余弦值．
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17.(本小题15分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，过 2(1,0)且斜率为 ( ≠ 0)的直线 与椭圆 相
3
交于 两点，点 为 的中点，直线 的斜率为 ．
4
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若 轴上的点 (0, )满足 ⊥ ，求 的取值范围．
18.(本小题17分)
二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数 =
1 1 1
2 + 1的图象可以由 = 2的图象沿向量 = (0,1)平移得到；抛物线 = 2、即 2 = 4 的焦点坐标为
4 4 4
1
(0,1)，准线方程为 = 1；故二次函数 = 2 + 1的焦点坐标为(0,2)，准线方程为 = 0．
4
1
(1)求二次函数 = 2 +1的焦点 的坐标和准线方程；
4
1
(2)证明：二次函数 = 2 +1上任意一点到焦点 的距离和到准线的距离相等；
4
1
(3)已知点 (4,1)，过点 (4,2)的直线 与抛物线 = 2 + 1相交于 、 两点，过点 作 轴的垂线与直
4
线 相交于 点.证明：点 在定直线 4 = 0上．
19.(本小题17分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左顶点为 ( 1,0)，左、右焦点分别为 1、 2，过 2的直线 与双
曲线的右支交于 、 两点.当| 2 | = | 2|时， 2 ⊥ 2．
(1)求双曲线 的标准方程；
9
(2)若三角形 的面积为 √ 10，求直线1的方程；
2
(3)证明：存在实数 ，使得∠ 2 = ∠ 2恒成立．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
13, = 1
12.【答案】 = { 2 + 1, ≥ 2
13.【答案】 2
14.【答案】[1, √ 2]
15.【答案】解：(1)由圆 关于 轴对称知圆心 在 轴上，设圆心 (0, )；
因为圆经过点( √ 3, 3)和(2,2)，
所以 = √ (√ 3)2 + ( 3)2 = √ 22 + ( 2)2，
解得 = 2，所以 (0,2)，圆的半径为 = 2，
故圆 的标准方程为 2 + ( 2)2 = 4．
| |
(2)若| | = 2，则圆心 到直线 的距离为 = √ 22 ( )2 = √ 4 1 = √ 3；
2
若直线 的斜率不存在，则直线 的方程为 = √ 3，
圆心 到直线 的距离为 = √ 3，满足题意；
若直线 的斜率存在，则设直线 的方程为 1 = ( + √ 3)，即 + √ 3 + 1 = 0，
| 2+√ 3 +1| |√ 3 1| √ 3
则 = = = √ 3，解得 = ，
√ 2 2 3 +1 √ +1
√ 3
此时直线 的方程为 1 = ( +√ 3)，即 + √ 3 = 0；
3
综上所述：直线 的方程为 = √ 3或 + √ 3 = 0．
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16.【答案】解：(1)因为 ⊥ ， = ，底面 为平行四边形，
所以底面 是正方形，连接 交 于点 ，连接 ，
因为 //平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ，
所以 // ；又 是 中点，故 E 是 中点，
以 为原点， , , 分别为 ， ， 轴正方向建立空间直角坐标系 ，
不妨设 = 2，则 (2,0,0)， (2,2,0)， (0,0,2)， (0,1,1)，
由题意， 是 的中点，则 (1,1,1)，
故 = (1,0,0), = (2,2,0), = (0,1,1)，
设平面 的法向量为 = ( 1, 1 , 1)，
1 { ⊥
= 2 1 +2 1 = 0则 ，则{ ，
⊥ = 1 + 1 = 0
令 1 = 1，得 = (1, 1,1)，
记 与平面 所成角为 ，
| | 1 √ 3
则 = = = ，
| | | | √ 3×1 3
故 √ 6 = √ 1 sin2 = ，
3
√ 6
故 EF 与平面 所成角的余弦值为 ．
3
(2) = (0,1,1), = (2,2, 2)，故 = 0，
故 DE⊥ ；又 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ，
平面 ，故 ⊥平面 ，
故平面 的法向量 1 = = (2,2, 2)，
平面 的法向量 2 = (0,0,1)，
记平面 与平面 的夹角为 ，
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| 1 2 | 2 √ 3则 = = = ，
| 1 | | 2 | 2√ 3 1 3
故平面 与平面 的夹角的余弦值为√ 3．
3
1+ 2 +
17.【答案】解：(1)设 ( 0 , 0)， ( 2 , 2)， ( 1 , 1)，那么 0 = , =
1 2；
2 0 2
2 2 2 2
根据 、 两点在椭圆上可得： 1 1 2 22 + 2 = 1①， 2 + 2 = 1②，
( 1+ 2)( 1 2) ( 1+ 2)( 1 )① ②得： 2 +
2
2
= 0，

( 1+ 2)( 1 2) 2 0( 1 2) 0( 1 2)
2
所以 3
2
= = = = = ，解得
3
= ；
( 1+ 2)( 1 2) 2 0( 1 2) ( ) 20 1 2 4 2 4
2 2
又因为 2(1,0)，所以 = 1, = √ 3, = 2，因此 的标准方程为

+ = 1．
4 3
(2)根据题意：线段 的垂直平分线与 轴的交点为点 (0, )；
根据直线 的斜率为 ( ≠ 0)知 与 轴不垂直，那么直线 为 = ( 1)( ≠ 0)，
= ( 1)
联立直线 方程和椭圆 方程可得{ ，
3 2 + 4 2 = 12
化简得：(3 + 4 2) 2 8 2 + 4( 2 3) = 0，根的判别式 > 0恒成立，
2 2
8 4( 3)根据韦达定理： 1 + 2 = 2 , 1 2 = 2 ；
3+4 3+4
1+
2
所以 2 4 3 0 = = 2 , 0 = ( 3 1) =2 2
；
3+4 3+4
2
3 1 4
那么 的垂直平分线方程为 + 2 = ( 2)；
3+4 3+4
1
令 = 0, = 2 = 33+4 +4 ；

3 3 √ 3 √ 3
当 > 0时： +4 ≥ 2√ 4 = 4√ 3，当且仅当 = 时取等号，此时0 < ≤ ；
2 12
当 < 0时：3 3 √ 3 √ 3+4 ≤ 2√ 4 = 4√ 3，当且仅当 = 时取等号，此时 ≤ < 0．
2 12
√ 3 √ 3
综上： 的取值范围是[ , 0)∪ (0, ]．
12 12
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(1) 118.【答案】解： 二次函数 = 2
1
+ 1 = ( 2)2，
4 4
1
它的图象可以由抛物线 = 2沿向量 = (2,0)平移得到；
4
1
抛物线 = 2、即 2 = 4 的焦点坐标为(0,1)，准线方程为 = 1；
4
1
所以二次函数 = 2 + 1的焦点坐标为 (2,1)，准线方程为 = 1．
4
(2) 1证明：设 ( 0 , 0)为二次函数 = 2 +1上任意一点，则( 0 2)
2 = 4
4 0
，
故| | = √ ( 0 2)2 + ( 0 1)2 = √ 4
2 2
0 + 0 2 0 + 1 = √ 0 +2 0 +1 = | 0 +1|；
而 ( 0 , 0)到准线 = 1的距离 = | 0 ( 1)| = | 0 + 1|，
故二次函数上任意一点与焦点的距离和到准线的距离相等．
(3)证明：显然直线 的斜率存在，故设直线 ： 2 = ( 4)，
2 = ( 4)
1
联立{ 1 2 ，消去 并整理得：
2 ( + 1) + (4 1) = 0；
= + 1 4
4
= ( + 1)2 (4 1) = 2 2 +2 = ( 1)2 + 1 > 0恒成立，
设 ( 1, 1)， ( 2 , 2)，则 1 + 2 = 4( + 1)， 1 2 = 4(4 1)；
1 1 1 1
直线 ： 1 = ( 4), =
4 2
，故 1 = ( 4)；
1 1 4
2
1
1 21 1故 1 ( 1) =
1
2 ( 4) =
4 ( 4) = ( 4)
1 4
2 2 1 4
2 2 4 1 2
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1
= ( 1 + 2) 1 2 = 5，故 = 4，即：点 在定直线 4 = 0上． 4
2
19.【答案】解：(1)由题意得 = 1， + 1 = ，又 2 = 2 + 2，

解得 = 1， = √ 3， = 2，
2
故双曲线 的标准方程为 2

= 1．
3
(2)由(1)知 2(2,0)，设直线 的方程为 = + 2，
1
由直线 与双曲线的右支交于 、 两点知 2 < ；
3
2
2

= 1
联立{ 3 ，消去 整理得(3 2 1) 2 + 12 + 9 = 0，
= + 2
12 9
则 1 + 2 = 2 ， 1 = ， 3 1 2 3 2 1
2
故 144 36
6( 2+1)
| | = √ 1 + 2 | 1 | = √ 1+ 22 √ ( 21 + 2) 4 1 2 = √ 1 + 2 √ 2 2 = ， (3 2 1) 3 1 1 3 2
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3
点 到直线 距离 = ，
√ 2+1
2 9√ 21 6( +1) 3 +1 9 √ 2
故 △ = 2 = 2 = √ 10，即
+1 √ 10
2 1 3 1 3 2 2 =
，
√ 2+1 1 3 2
整理得(9 2 1)(5 2 3) = 0
1 3 1
，解得 2 = 或 2 = > (舍去)，
9 5 3
1 1
故 = ± ，故直线 的方程为 = ± + 2，即 = 3 6或 = 3 + 6．
3 3
(3)证明：由题意 ( 1,0)， 2(2,0)，
2
当 = 2时：2
2 = 1，解得 = ±3， 3

不妨取 (2,3)，则∠ 2 = 2，
3
tan∠ 2 = = 1，所以∠ 2 = 4，满足∠ 2 = 2∠ 2； 2 ( 1)
故如果存在实数 ，使得∠ 2 = ∠ 2恒成立，则 = 2；
当 ≠ 2时，证明∠ 2 = 2∠ 2恒成立：
设 ( , )( > 1, ≠ 2)，则3 2 20 0 0 0 0 0 = 3；

所以tan∠ =
0
2 , tan∠ = tan( ∠ ) = tan∠ =
0
0+1
2 2 2 2， 0
2 0
2 ∠
则 2∠ = 2
0+1 2 0( 0+1)
2 =
0
= = ，
1 tan2 ∠ 1 ( 0
2
2 ) 2( 0 2)( 0+1) 0 2 0+1
所以 2∠ 2 = tan∠ 2 ，
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又∠ 2 ∈ (0, ),∠ 2 ∈ (0, )，故2∠ 2 ∈ (0, )2 ，
所以∠ 2 = 2∠ 2；
综上所述：存在实数 = 2，使得∠ 2 = ∠ 2恒成立．
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