2.1.3函数的单调性
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课件23张PPT。2.1.3函数的单调性 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题.下面我们通过一组图像,开始研究函数在这方面的一个主要性质——函数的单调性． 在函数y=f(x)的图象上任取两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，记
△x=x2－x1，△y=f(x2)－f(x1)=y2－y1，
△x表示自变量x的改变量，△y表示因变量y的改变量. 当△y=f(x2) －f(x1)<0时，就称y=f(x)在区间M上是减函数.1、增函数与减函数定义⒉ 单调性与单调区间 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数.注意：①函数的单调性是相对某个区间而言，
不能直接说某函数是增函数或减函数。②讨论函数的单调性和书写函数的
单调区间是两个不同的问题。③函数的单调区间是其定义域上的子集． 函数f(x)在给定区间上为增函数。如何描述函数f(x)的单调性呢? 函数f (x)在给定区间上为减函数。例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f(x)是增函数还是减函数.解：y＝f(x)的单调区间有[－5，－2），[－2，1）[1，3），[3，5].其中y＝f(x)在[－5，－2）， [1，3）上是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.作图是发现函数单调性的方法之一.单调递增区间：单调递减区间：证明：（设条件）（论证结果）（下结论）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f(x)在定义域 上是减函数吗？
减函数
取x1=－1，x2=1 f(－1)=－1 f(1)=1 －1＜1 f(－1)＜f(1)证明：f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)
＝3(x1－x2)由x1＜x2，得 x1－x2＜0设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则思考:判断函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上
是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上是增函数.下面给予证明：设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2∴ 函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上是增函数.x1x2y1y2x2x1y1y2小结：函数单调性简单性质总结②函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，
则f(x)＋g(x)在I上为增（减）函数。③函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数，
则f(x)－g(x)在I上为增函数。
④函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，且 f(x)>0,g(x)>0，则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。①函数y=f(x) 在区间I上为增（减）函数，则
函数y=af(x)+b (a>0)在区间I上为增（减）函数补充练习：1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)满足f(2+t)=f(2－t)，试比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.f(4)>f(1)>f(2)2、函数y=x2+bx+c在[0，+∞)上是单调函数的充分必要条件是（ ）.
(A) b≥0 (B) b≤0 (C ) b>0 (D) b<0A 当x≥0时, f(x)=－x2+2x+3，对称轴为x=1，抛物线开口向下，所以x∈[0，1]时，f(x)为增函数；x∈[1，+∞)时，f(x)为减函数； 当x<0时, f(x)=－x2－2x+3，对称轴为x=－1，抛物线开口向下，所以x∈[－∞，－1]时，f(x)为增函数；x∈[－1，0]时，f(x)为减函数；
△x=x2－x1，△y=f(x2)－f(x1)=y2－y1，
△x表示自变量x的改变量，△y表示因变量y的改变量. 当△y=f(x2) －f(x1)<0时，就称y=f(x)在区间M上是减函数.1、增函数与减函数定义⒉ 单调性与单调区间 在单调区间上，增函数的图象是上升的，减函数的图象是下降的. 若函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，则就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性, 这一区间叫做函数y=f(x)的单调区间.此时也说函数y=f(x)是这一区间上的单调函数.注意：①函数的单调性是相对某个区间而言，
不能直接说某函数是增函数或减函数。②讨论函数的单调性和书写函数的
单调区间是两个不同的问题。③函数的单调区间是其定义域上的子集． 函数f(x)在给定区间上为增函数。如何描述函数f(x)的单调性呢? 函数f (x)在给定区间上为减函数。例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f(x)的图象，根据图象说出y＝f(x)的单调区间，以及在每一单调区间上，y＝f(x)是增函数还是减函数.解：y＝f(x)的单调区间有[－5，－2），[－2，1）[1，3），[3，5].其中y＝f(x)在[－5，－2）， [1，3）上是减函数，在[－2，1）， [3，5）上是增函数.作图是发现函数单调性的方法之一.单调递增区间：单调递减区间：证明：（设条件）（论证结果）（下结论）证明：设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则f(x)在定义域 上是减函数吗？
减函数
取x1=－1，x2=1 f(－1)=－1 f(1)=1 －1＜1 f(－1)＜f(1)证明：f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)
＝3(x1－x2)由x1＜x2，得 x1－x2＜0设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则思考:判断函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上
是增函数还是减函数？并给予证明。解：函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上是增函数.下面给予证明：设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2∴ 函数f(x)＝x2＋1在(0，＋∞)上是增函数.x1x2y1y2x2x1y1y2小结：函数单调性简单性质总结②函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，
则f(x)＋g(x)在I上为增（减）函数。③函数f(x)和g(x)在区间I上分别为增函数和减函数，
则f(x)－g(x)在I上为增函数。
④函数f(x)和g(x)在区间I上为增（减）函数，且 f(x)>0,g(x)>0，则f(x)g(x)在I上为增（减）函数。①函数y=f(x) 在区间I上为增（减）函数，则
函数y=af(x)+b (a>0)在区间I上为增（减）函数补充练习：1、已知二次函数f(x)=ax2+bx+c (a>0)满足f(2+t)=f(2－t)，试比较f(1)、f(2)、f(4)的大小.f(4)>f(1)>f(2)2、函数y=x2+bx+c在[0，+∞)上是单调函数的充分必要条件是（ ）.
(A) b≥0 (B) b≤0 (C ) b>0 (D) b<0A 当x≥0时, f(x)=－x2+2x+3，对称轴为x=1，抛物线开口向下，所以x∈[0，1]时，f(x)为增函数；x∈[1，+∞)时，f(x)为减函数； 当x<0时, f(x)=－x2－2x+3，对称轴为x=－1，抛物线开口向下，所以x∈[－∞，－1]时，f(x)为增函数；x∈[－1，0]时，f(x)为减函数；