湖南省永州市永华高级中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省永州市永华高级中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试数学
试卷
一、单选题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设集合 = ， = { |0 < < 2}， = { | < 1}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. { | ≥ 1} B. { | ≤ 1} C. { |0 < ≤ 1} D. { |1 ≤ < 2}
2.已知 ：0 ≤ 2 1 ≤ 1， ：( )( 1) ≤ 0，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是( )
1 1
A. [0, ] B. (0, )
2 2
1 1
C. ( ∞, 0) ∪ [ ，+∞) D. ( ∞, 0) ∪ ( , +∞)
2 2
3.若 < < 0，则下列不等式成立的是( )
1 1
A. 2 < 2 B. | | < | | C. < 1 D. >

4.已知 1 < < 0， < 0，则 ， ， 2 的大小关系是( )
A. < < 2 B. 2 < < C. 2 < < D. < 2 <
1 1
5.已知不等式 2 1 ≥ 0的解集是[ , ]，则不等式 2 < 0的解集是( )
2 3
A. (2,3) B. ( ∞, 2) ∪ (3, +∞)
1 1 1 1
C. ( , ) D. ( ∞, ) ∪ ( , +∞)
3 2 3 2
+8
6.正数 ， 满足 + 2 = 2，则 的最小值为( )

A. 6 B. 8 C. 9 D. 10
7.若不等式 2 + + > 0的解集是( 4,1)，则不等式 ( 2 1) + ( + 3) + > 0的解为( )
4 4
A. ( , 1) B. ( ∞, 1) ∪ ( , +∞)
3 3
C. ( 1,4) D. ( ∞, 2) ∪ (1, +∞)
1
8.已知不等式( + )( + ) ≥ 9对任意正实数 ， 恒成立，则正实数 的最小值为( )

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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9.下列函数中，既是偶函数又在(0, +∞)单调递增的函数是( )
A. = 3 B. = | | + 1 C. = 2 + 1 D. = 2 | |
10.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) = ( )，且在[0, +∞)上是增函数，不等式 ( + 2) ≤ ( 1)对于
∈ [1,2]恒成立，则 的取值范围是( )
A. [ 1.5, 1] B. [ 1, 0.5] C. [ 0.5,0] D. [0,1]
1
11.已知 ∈ { 3, 2, , 2}，若幂函数 ( ) = 为奇函数，且在(0, +∞)上单调递减，则 的值为( )
3
1
A. 3 B. 2 C. D. 2
3
1 2, ≤ 1 1
12.设函数 ( ) = { 2 则 ( )的值为( ) + 2, > 1 (2)
27 8 15
A. 18 B. C. D.
16 9 16
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 4 分，共 24 分。

13.设 ∈ (0, )， ∈ [0, ]，则2 的取值范围是 ．
2 2 3
4 1
14.已知0 < < 4，则 + 的最小值为______．
4
+
15.关于 的不等式 > 0的解集为(1, +∞)，则关于 的不等式 > 0的解集为______．
2

16.设函数 ( ) = ，若 ( ( )) = 恒成立，则实数 的值为______．
2 +3
17.函数 ( ) = ( 2 1) 是幂函数，且在 (0, +∞)上为增函数，则实数 = ．
18.已知 ( ) = √ 2 5 6，则 ( )的单调递增区间为 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题12分)
已知集合 = { |2 ≤ ≤ 2 + }， = { | ≤ 1或 ≥ 4}．
(1)当 = 3时，求 ∩ ；
(2)若 > 0，且“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
20.(本小题12分)
设函数 ( ) = 2 1．
(1)若对于一切实数 ， ( ) < 0恒成立，求 的取值范围．
(2)若对于 ∈ [1,3]， ( ) < + 5恒成立，求 的取值范围．
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21.(本小题12分)
4
(1)已知 > 3，求 = + 的最小值，并求取到最小值时 的值；
3

(2)已知 > 0， > 0， + = 2，求 的最大值，并求取到最大值时 、 的值．
2 3
22.(本小题12分)
2
函数 ( )是 上的偶函数，且当 > 0时，函数的解析式为 ( ) = 1

(1)求 ( 1)的值；
(2)用定义证明 ( )在(0, +∞)上是减函数；
(3)求当 < 0时，函数的解析式．
23.(本小题12分)
已知不等式 2 3 + 2 < 0的解集为 = { |1 < < }．
(1)求 ， 的值；
9
(2)求函数 ( ) = (2 + ) ( ∈ )的最小值．
( )
24.(本小题12分)
若不等式(1 ) 2 4 + 6 > 0的解集是{ | 3 < < 1}．
(1)解不等式2 2 + (2 ) > 0
(2) 为何值时， 2 + + 3 ≥ 0的解集为 ．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】

13.【答案】( , )
6
9
14.【答案】
4
15.【答案】( ∞, 1) ∪ (2, +∞)
16.【答案】 3
17.【答案】2
18.【答案】[6, +∞)
19.【答案】解：(1)当 = 3时，集合 = { |2 ≤ ≤ 2 + } = { | 1 ≤ ≤ 5}，
= { | ≤ 1或 ≥ 4}，
∴ ∩ = { | 1 ≤ ≤ 1或4 ≤ ≤ 5}；
(2) ∵若 > 0，且“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
= { |2 ≤ ≤ 2 + }( > 0)， = { |1 < < 4}，
2 > 1
∴ ，则{2 + < 4
> 0
解得0 < < 1．
故 的取值范围是：(0,1)．
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20.【答案】解：(1)由题意， 2 1 < 0对任意实数 恒成立，
若 = 0，显然 1 < 0成立；
< 0
若 ≠ 0，则{ ，解得 4 < < 0．
△= 2 + 4 < 0
所以 的取值范围为{ | 4 < ≤ 0}．
(2)由题意， ( ) < + 5，即 ( 2 + 1) < 6
6
因为 2 + 1 > 0对一切实数 恒成立，所以 < 2 在 ∈ [1,3]上恒成立． +1
6
因为函数 = 2 + 1在 ∈ [1,3]上的最大值为7，所以只需 < 即可．
7
6
所以 的取值范围是{ | < }.
7
21.【答案】解：(1)已知 > 3，
则： 3 > 0，
4 4 4
故： = + = 3 + + 3 ≥ 2√ ( 3) + 3 = 7，
3 3 ( 3)
4
当且仅当： 3 = ，
3
解得： = 5，
即：当 = 5时， 的最小值为7;

(2)已知 > 0， > 0， + = 2，
2 3

则： + ≥ 2√ ，
2 3 6
解得： ≤ 6，

即： = = 1，
2 3
解得： = 2， = 3时， 的最大值为6．
22.【答案】解：(1) ( 1) = (1) = 2 1 = 1．
2 2 2( )
(2)证明：设 > > 0， ( ) ( ) = ( 1) ( 1) = ，

2( )
由 > > 0知， < 0，∴ ( ) < ( )，∴ ( )在(0, +∞)上是减函数．

2
(3)设 < 0，则 > 0，∴ ( ) = 1 = ( )，

2 2
∴ ( ) = 1，即当 < 0时，函数的解析式为 ( ) = 1．

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23.【答案】解：(1)由题意知：1， 为一元二次方程 2 3 + 2 = 0( > 0)的两个根，
3
1 + =

∴ { 2，解得 = 1， = 2；
1 × =

> 0
(2)由(1)知 = 1， = 2，
9
∴ = { |1 < < 2}， ( ) = 4 + (1 < < 2)，

9 9
而 > 0时，4 + ≥ 2√ 4 = 2 × 6 = 12，

9 3
当且仅当4 = ，即 = 时取等号，
2
3
而 = ∈ ，
2
∴ ( )的最小值为12．
24.【答案】解：(1)由题意知，1 < 0，且 3和1是方程(1 ) 2 4 + 6 = 0的两根，
1 < 0
4
∴ { = 21 ，解得 = 3．
6
= 3
1
∴不等式2 2 + (2 ) > 0即为2 2 3 > 0，
3
解得 < 1或 > ．
2
3
∴所求不等式的解集为{ | < 1或 > }；
2
(2) 2 + + 3 ≥ 0即为3 2 + + 3 ≥ 0，
若此不等式的解集为 ，则 2 4 × 3 × 3 ≤ 0，
∴ 6 ≤ ≤ 6，
∴ 的取值范围是[ 6,6]．
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