2.2.2二次函数的性质和图象

课件27张PPT。2.2.2 二次函数的图象和性质 二次函数是初等函数中的重要函数，在解决各类数学问题和实际问题中有着广泛的应用。在高中数学的学习中对二次函数的知识要做必要的提高和加深，二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系十分密切，揭示和认识它们的相互联系，以求相互为用，具有重要的意义。 学习二次函数，首先要掌握它的定义、图象和性质，要会在各种条件下，应用待定系数法确定二次函数的解析式，要灵活应用二次函数的图象和性质分析问题和解决问题。深刻领会数形结合、函数方程等重要数学思想方法，对拓宽学生解题思路、发展智力、培养能力，具有十分重要意义。 函数y=ax2+bx+c (a≠0) 叫做二次函数，它的定义域是R. 特别地，当b=c=0时，则二次函数变为y=ax2(a≠0). 它的图象是顶点为原点的抛物线，a>0时，开口向上；a<0时，开口向下. 这个函数为偶函数，y轴为图象的对称轴。 对于任意一个特殊的二次函数y=ax2，当x的绝对值无限地逐渐变小时，函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小，其图象就从x轴的上方（或下方）无限地逼近x轴。 在同一坐标系中，对于函数y=ax2，当a的绝对值逐渐变大时，它的图象为抛物线且开口逐渐变小. y=ax^2.gsp例1.研究函数 的图像与性质. 解：（1）配方得 所以函数y=f(x)的图像可以看作是由y= x2 经一系列变换得到的，具体地说：先将y= x2 的图像向左移动4个单位，再向下移动2个单位得到. y=c(x+4)^2-2.gsp（2）函数与x轴的交点是(－6，0)和( －2，0)，与y轴的交点是(0，6). （3）函数的对称轴是x=－4，事实上如果一个函数f(x)满足： f(a+x) = f(a－x)，那么函数f(x)关于x=a对称.（4） 函数f(x)在(－∞, －4]上是减函数，在[－4, + ∞)上是增函数.（5）函数f(x)在x=－4时，取得最小值－2，
记为ymin=－2. 它的图象顶点为(－4，－2)例2. 试述二次函数f(x)=－x2－4x+3的性质，并作出它的图象。（1）配方得f(x)=－(x+2)2+7. 由－(x+2)2≤0得，该函数对任意实数x都有f(x) ≤7，当且仅当x=－2时取等号，即f(－2)=7。这说明函数f(x)在x=－2时取得最大值7，记为ymax=7，所以函数图象的顶点时(－2，7).(2) 求函数图象与x轴的交点.
令－x2－4x+3=0，解得x1=－2+ ，
x2=－2－ ，说明函数的图象与x轴的交点坐标是(－2+ , 0)，(－2－ , 0).(3) 画函数f(x)=－x2－4x+3的图象.因为f(x)=－(x+2)2+7. 所以它的图象是由
y=－x2的图象向左平移2个单位后，再向上平移7个单位得到.y-(x+a)^2+b.gsp(4) 函数f(x)=－(x+2)2+7关于直线x=－2成轴对称图形，
在区间(－∞，－2]上是增函数，在区间[－2，+∞)上是减函数.二次函数的性质：
一般地，对于二次函数f(x)=ax2+bx+c，都可以通过配方化为其中（1）函数的图象是一条抛物线，抛物线的顶点坐标是(h，k)，抛物线的对称轴是直线x=h；（2）当a>0时，抛物线开口向上，在x=h处取最小值ymin=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是减函数，在[h, +∞)上是增函数.（3）当a<0时，抛物线开口向下，在x=h处取最大值ymax=k=f(h)；在区间(－∞, h]上是增函数，在[h, +∞)上是减函数.例3. 求函数y=3x2+2x+1的值域和它的图象的对称轴，并说出它在哪个区间上是增函数？在哪个区间上是减函数？解：因为函数y=3x2+2x+1=3(x+ )2+ ,
所以ymin=f( )= .函数的值域是[ ,+∞).函数的对称轴是x=－它在区间(－∞, － ]上是减函数，在区间[－ ,+∞)上是增函数。例4.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，试判断下列各式的正负号.
ab，ac，a+b+c，a－b+c，2a+b，2a－b.解：a<0，b>0，c<0，
所以ab<0，ac>0，
f(1)>0，所以a+b+c>0，f(－1)>0，所以a－b+c<0， <1，a<0，所以－b>2a，2a+b<0;2a－b<0.例5. 已知抛物线y=
的对称轴是x=2，
（1）求m的值，并判断抛物线开口方向；
（2）求函数的最值及单调区间。解：（1）因为抛物线的对称轴是x=2，
所以 ，解得m=2，m－1>0，
抛物线的开口向上.（2）原函数整理得y=x2－4x+3=(x－2)2－1.
所以当x=2时，ymin=－1.
单调增区间为[2, +∞)，
单调减区间为(－∞, 2].例6. 已知函数f(x)=x2－4x+1，不计算函数值，比较f(－1)、f(1)、f(4)、f(5)的大小。解： f(x)=x2－4x+1=(x－2)2－3，
对称轴是x=2，在区间[2, +∞)上是增函数.
f(－1)=f(2－3)=f(2+3)=f(5)，
f(1)=f(2－1)=f(2+1)=f(3)，
所以f(1)0时，f(x)=x2－2x+3，求f(x)的解析式。解：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0，
当时x<0时，－x>0，
所以f(－x)=(－x)2－2(－x)+3
=x2+2x+3
又f(－x)=－f(x)，所以x<0时，f(x)=－x2－2x－3.函数f(x)=奇函数、偶函数关系.gsp例8. 已知二次函数y=x2－mx+m－2，
（1）证明：无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；
（2）m为何值时，这两个交点之间的距离最小。解：（1）△=m2－4m+8=(m－2)2+4>0，
所以无论m为何值时，函数的图象与x轴总有两个交点；（2）设方程的两个解分别为x1，x2，
则x1+x2=m，x1x2=m－2，(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2
=m2－4m+8=(m－2)2+4.所以当m=2时，|x1－x2|最小，最小值是2.例9. 已知函数f(x)=ax2+bx(a，b为常数)，x∈[－1，1]，
（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值；
（2）若函数f(x)为奇函数，且f( )= ,求f(x)的值域。（1）若函数f(x)为偶函数，且f(1)=1，求a，b的值；解：因为函数f(x)=ax2+bx为偶函数，所以b=0，
又f(1)=1，所以a=1. f(x)=x2.（2）若函数f(x)为奇函数，且f( )= ,求f(x)的值域。解：函数f(x)为奇函数，则a=0，b=1，
所以f(x)=x， x∈[－1，1]，
所以值域是[－1，1].