陕西省宝鸡市金台区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

陕西省宝鸡市金台区 2024-2025 学年高二上学期期中考试数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线 + √ 3 1 = 0的倾斜角为( )
A. 30° B. 150° C. 60° D. 120°
2 2 2 2
2.椭圆 + = 1与椭圆 + = 1( < 16)的( )
25 16 25 16
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
3.经过两条直线2 3 + 10 = 0和3 + 4 2 = 0的交点，且垂直于直线2 1 = 0的直线方程为( )
A. 2 6 = 0 B. + 2 2 = 0 C. 2 3 = 0 D. 2 + 2 = 0
2 2 3
4.设椭圆 ： 2 + = 1( > √ 3)的左、右焦点为 1， 2.若点 (1, )在 上，则△ 1 2的周长为( ) 3 2
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
5.已知向量 = (0, 1,2)， = (2,0,1)，以 、 为邻边的平行四边形的面积为 ( )
√ 21
A. √ 21 B. C. 2 D. 1
2
6.已知三条直线 1： = + 1， 2： = 2 + 4， 3： + + 1 = 0不能围成三角形，则实数 的取值集
合为( )
A. {1, 2} B. {1, 2,3} C. { 1,2, 3} D. { 1,2}
7.二面角的棱上有 、 两点，直线 、 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 ，已知 = 2，
= 3， = 4， = √ 41，则该二面角的大小为( )
A. 30° B. 120° C. 60° D. 45°
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点 ( 3,4)的直线 的一
个法向量为(1, 3)，则直线 的点法式方程为：1 × ( + 3) + ( 3) × ( 4) = 0，化简得 3 + 15 = 0.类
比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点 (1,2,3)的平面的一个法向量为 = (1,2, 4)，则该平面的方程
为( )
A. 2 4 + 7 = 0 B. + 2 + 4 + 7 = 0
C. + 2 4 + 7 = 0 D. + 2 4 7 = 0
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线 = 3 2在 轴上的截距是2
B. 1： + 2 + 3 2 = 0与 2： + ( + 1) + 4 = 0平行，则实数 的值为1
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C. 若点 (5, 2)和点 ( , )关于直线 + 1 = 0对称，则 + = 3
D. 过点 (1,2)且在 轴， 轴上的截距相等的直线方程为 + 3 = 0
10.直线 ： + ( + 2) 2 2 = 0，圆 ： 2 + 2 4 = 0，下列结论正确的是( )
A. 直线 恒过定点(1,1)
B. 直线 与圆 必有两个交点
C. 直线 与圆 的相交弦长的最大值为2√ 2
D. 当 = 0时，圆 上存在2个点到直线 距离等于1
11.以下命题正确的是( )
A. 若 是平面 的一个法向量，直线 上有不同的两点 ， ，则 // 的充要条件是 = 0
2 1 2
B. 已知 ， ， 三点不共线，对于空间任意一点 ，若 = + + ，则 ， ， ， 四点共面
5 5 5
3
C. 已知 = ( 1,1,2)， = (0,2,3)，若 + 与2 垂直，则 =
4
D. 已知△ 的顶点坐标分别为 ( 1,1,2)， (4,1,4)， (3, 2,2)，则 边上的高 的长为√ 13
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.经过点(0,1)，且以 = (2,5)为一个方向向量的直线 的斜截式方程为______．
√ 3
13.焦点在 轴上的椭圆 2 + 2 = 1的离心率为 ，则 值为______．
2
14.已知直线 过 ( 2, 1)，且与以 ( 4,2)， (1,3)为端点的线段相交，则直线 的斜率的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知平行六面体 1 1 1 1中，底面 是边长为1的正方形. 1 = 2，∠ 1 = ∠ 1 = 120°．
(1)求线段 1的长；
(2)求异面直线 1与 1 所成角的余弦值．
16.(本小题15分)
已知关于 ， 的方程 ： 2 + 2 2 4 + = 0．
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(1)若方程 表示圆，求 的取值范围；
(2)若圆 与圆 2 + 2 8 12 + 36 = 0外切，求 的值；
4√ 5
(3)若圆 与直线 ： + 2 4 = 0相交于 ， 两点，且| | = ，求 的值．
5
17.(本小题15分)
如图，在正方体 1 1 1 1中， 为 1的中点．
(1)证明： 1//平面 1 ；
(2)求平面 1 与平面 夹角的余弦值．
18.(本小题17分)
2 2 2√ 5
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且焦距为8． 5
(1)求 的方程；

(2)设直线 的倾斜角为 ，且与 交于 ， 两点，点 为坐标原点，求△ 面积的最大值．
3
19.(本小题17分)

如图，三棱柱 1 1 1中， ⊥侧面 1 1 ，已知∠ 1 = ， = 1， = 1 = 2，点 是棱 1 3
的中点．
(1)求证： 1 ⊥平面 ；
2√ 11
(2)在棱 上是否存在一点 ，使得 与平面 1 1 所成角的正弦值为 ，若存在，求出 的值；若不11
存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】 = + 1
2
1
13.【答案】
4
3 4
14.【答案】( ∞, ] ∪ [ , +∞)
2 3
15.【答案】解：(1)设 = ， = ， 1 = ，
则| | = | | = 1, | | = 2， = 0， = = 2 × 1 × 120° = 1．
∵ 1 = + + ，
2 2 2 2
∴ 1 = ( + + )
2 = + + + 2 + 2 + 2 = 1 + 1 + 4 + 0 2 2 = 2，
∴ | 1 | = √ 2．
(2) 1 = ，
2 2
∴ | 1 | =
√ + 2 = √ 1 + 22 2 × ( 1) = √ 7．
2

2
1 1 = ( ) ( + + ) = + = 0 + 1 ( 1) 2
2 = 2．
2 √ 14
∴ cos < 1 , >=
1 1
1 = = ． | || 1 1| √ 7×√ 2 7
√ 14
∴异面直线 1与 1 所成角的余弦值为 ． 7
16.【答案】解：(1)关于 ， 的方程 ： 2 + 2 2 4 + = 0．
整理得：( 1)2 + ( 2)2 = 5 ，
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由于方程 表示圆，所以：5 > 0，
解得： < 5．
(2)圆 2 + 2 8 12 + 36 = 0的方程转化为：( 4)2 + ( 6)2 = 16，
∵圆 与圆 2 + 2 8 12 + 36 = 0外切，
∴ √ (6 2)2 + (4 1)2 = 4 + √ 5 ，
解得： = 4．
(4)圆 与直线 ： + 2 4 = 0相交于 ， 两点，
|1+4 4| √ 5
则：圆心(1,2)到直线 + 2 4 = 0的距离 = = ，
√ 5 5
4√ 5
且| | = ，
5
√ 5 2√ 5
所以利用垂径定理得：5 = ( )2 + ( )2，
5 5
解得： = 4．
17.【答案】解：如图建立空间直角坐标系 ，设正方体的棱长为2，
则 (0,0,0)， (0,2,0)， 1(2,0,2)， 1(2,2,2)， (0,2,1)．
(1)证明：因为 = (2,0,2)， = (2,0,2)， 1 1 = (0,2,1)，
设平面 1 的法向量为 = ( , , )，
1 = 2 + 2 = 0则{ ，令 = 2，则 = 2， = 1，所以 = ( 2, 1,2)，
= 2 + = 0
因为 1 = 2 × ( 2) + 0 × ( 1) + 2 × 2 = 0，所以 1 ⊥ ，
因为 1 平面 1 ，所以 1//平面 1 ；
(2)因为平面 的一个法向量为 = (0,0,1)，
设平面 1 与平面 的夹角为 ，
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2 2
则 = |cos < , > | = = ，
√ 4+1+1 3
2
所以平面 1 与平面 夹角的余弦值为 ． 3
2√ 5
= =
18.【答案】解：(1)依题意可知{ 5 ，解得 = 2√ 5， = 2， = 4 2 = 8
2 = 2 + 2
2 2
故 C 的方程为 + = 1．
20 4
(2)依题意可设直线 的方程为 = √ 3 + ，
= √ 3 +
联立{ 2 2 2 2 ，整理得16 + 10√ 3 + 5 20 = 0，
+ = 1
20 4
则△= 300 2 64(5 2 20) > 0，解得 8 < < 8．
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
5√ 3 5 2 20
则 1 + 2 = ， = ， 8 1 2 16
75 2 5 2 20 √ 5 2+320
| | = √ 1 + 3 √ ( 1 + 2)2 4 1 2 = 2√ = ， 64 4 4
| | | |
原点到直线 的距离 = = ，
√ 1+3 2
2 2
1 1 | | √ 5 2+320 √ 5( 32) +5120
则△ 的面积 = | | = × = ，
2 2 2 4 16
当且仅当 2 = 32，
即 = ±4√ 2时，△ 的面积有最大值，且最大值为2√ 5．

19.【答案】(1)证明：∵ = 1， 1 = 2，∠ 1 = ， 3
∴ 1 = √ 3，
∴ 2 + 2 21 = 1，得 1 ⊥ ，
又 ⊥侧面 1 1 ，∴ ⊥ 1，
又 ∩ = ，∴ 1 ⊥平面 ；
(2)以 为原点， ， 1， 分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标
系，
则 (0,0,0)， (0,0,2)， 1( 1,√ 3, 0)， 1( 1,√ 3, 2)，
1 √ 3
( , , 0)， (1,0,0)．
2 2
则 3 √ 3 1 = ( , , 0)， 2 2 1
1 = (0,0,2)．
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设平面 1 1的法向量为 = ( , , )，
3 √ 3
则{ 1
= + = 0
2 2 ，令 = 1，求得 = (1, √ 3, 0)．
1 1 = 2 = 0
假设在棱 上存在一点 ( , , )，使得 与平面 1 1 所成角的正弦值为
2√ 11，
11
不妨设 = ， ∈ [0,1]．
又 = ( 1, , )， = ( 1,0,2)，
1 =
∴ { = 0 ，∴ (1 , 0,2 )，
= 2
1 √ 3
∴ = ( , , 2 )，
2 2
又平面 1 1 的法向量为 = (1, √ 3, 0)，
则 与平面 1 1 所成角的正弦值为：
1 3
| | | |
> | = = 2 2
2√ 11
|cos < ， =| | | | 11 ， √ 1 2 3 2 ( ) + +4 ×2
2 4
1 5
化简得69 2 38 + 5 = 0，解得 = 或 = ．
3 23
∴ 2√ 11在棱 上存在点 ，使得 与平面 1 1 所成角的正弦值为 ． 11
1 5
此时 = 或 ．
3 23
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