北京市朝阳区青苗国际学校常营校区2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市朝阳区青苗国际学校常营校区 2024-2025 学年高一上学期期中
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 4 < ≤ 1}， = { | 1 < < 3}，则 ∪ =( )
A. { | 4 < < 3} B. { | 1 < ≤ 1} C. {0,1,2} D. { | 1 < < 4}
2.下列关系中正确的个数是( )
1
① ∈ ；②√ 2 ；③0 ∈ ；④ ∈ ．
2
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3.“ > 0”是“函数 ( ) = + ( ≠ 0)单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设 = 2 ( + 2)， = ( 1)( + 3)，则两数最精确的关系是( )
A. > B. ≥ C. < D. ≤
5.若 ， ∈ ，则下列命题正确的是( )
A. 若 > ，则 2 > 2 B. 若 ≠ ，则 2 ≠ 2
C. 若 < | |，则 2 < 2 D. 若 > | |，则 2 > 2
6.一元二次不等式2 2 1 < 0的解集是( )
1 1
A. ( ∞, ) ∪ (1, +∞) B. ( 1, )
2 2
1 1
C. ( ∞, 1) ∪ ( , +∞) D. ( , 1)
2 2
7.下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A. = | |， = √ 2 B. = √ 2， = (√ )2
2 1
C. = , = + 1 D. = √ + 1 √ 1, = √ 2 1
1
8.函数 = | 3| | + 1|的( )
A. 最小值是0，最大值是4 B. 最小值是 4，最大值是0
C. 最小值是 4，最大值是4 D. 没有最大值也没有最小值
1
9.若实数 > 0， > 0，且 + 2 = 1，则 + ( )
+ 2
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7 1
A. 有最大值为 B. 有最小值为√ 2 +
3 2
C. 有最小值为2 D. 无最小值
10.已知函数 ( )是 上的增函数， (0, 1)， (3,1)是其图象上的两点，那么| ( + 1)| < 1的解集的补集是
( )
A. ( 1,2) B. (1,4)
C. ( ∞, 1) ∪ [4，+∞) D. ( ∞, 1] ∪ [2, +∞)
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
11.已知集合 = { |1 < < 2}， = { | < }，若 ，则 的取值范围是______．
12.用符号语言表示命题：对于所有的实数 ，满足 2 + 1 = 0：______；该命题的否定为______．
4
13.已知 > 1，则 = + 1的最小值为______．
1
14.若不等式 2 + 2 + < 0对一切 ∈ 恒成立，则 的取值范围是______．
15.已知 ( )是偶函数，当 < 0时 ( ) = ( + 1).则当 > 0时 ( ) =______．
2
16. ( ) = { + 1, > 0，若 ( ) = 10，则 = ______．
2 , ≤ 0
三、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
若 = {1,4, }， = {1, 2}且 ∩ = ，求 的值．
18.(本小题12分)
某广告公司要为客户设计一幅周长为 (单位： )的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积
最大？
19.(本小题12分)
2已知幂函数 = 2 3( ∈ )的图象关于 轴对称，且在(0, +∞)上是减函数．
(1)求 的值；


(2)求满足( + 1) 3 < (3 2 ) 3的 的取值范围．
20.(本小题12分)
1 1
已知函数 ( ) = + + ， ∈ ．
+1 1
(Ⅰ)判断函数 ( )的奇偶性，并说明理由；
(Ⅱ)当 < 2时，证明：函数 ( )在(0,1)上单调递减；
2
(Ⅲ)若对任意的 ∈ (0,1) ∪ (1, +∞)，不等式( 1)[ ( ) ] ≥ 0恒成立，求 的取值范围．

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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 ≥ 2
12.【答案】 ∈ ， 2 + 1 = 0 ∈ ， 2 + 1 ≠ 0
13.【答案】4
14.【答案】( ∞, 1)
15.【答案】 2
16.【答案】3或 5
17.【答案】解：∵ = {1,4, }， = {1, 2}，且 ∩ = ，
∴ ，
∴ 2 = 4或 2 = ，
解得 = 2，或 = 2，或 = 0，或 = 1，
当 = 2时， = {1,4, 2}， = {1,4}，成立；
当 = 2时， = {1,4,2}， = {1,4}，成立；
当 = 0时， = {1,4,0}， = {1,0}，成立；
当 = 1时， = {1,4,2}， = {1,1}，不成立．
∴ 的值为 2，0，2．
18.【答案】解：由题意，可设矩形广告牌的一边长为 ，

则另一边长为( ) ，且0 < < ．
2 2
设矩形广告牌的面积为 ，则
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2

= ( ) = 2 + = ( )2 + ．
2 2 4 16
根据二次函数的性质，可知
2

当 = 时，
4
= ，
16

此时另一边： = = ．
2 2 4 4

∴当矩形广告的四边都为 时，广告牌的面积最大．
4
19.【答案】解：(1) ∵函数在(0, +∞)上递减，
∴ 2 2 3 < 0即 1 < < 3，又 ∈
∴ = 1或2，又函数图象关于 轴对称，
∴ 2 2 3为偶数，故 = 1为所求．
1
(2)函数 = 3在( ∞, 0)，(0, +∞)上均为减函数
1 1
∴ ( + 1) < (3 2 ) 3 3
等价于 + 1 > 3 2 > 0或0 > + 1 > 3 2 或 + 1 < 0 < 3 2 ，
2 3
解得 < 1 或 < <
3 2
2 3
故 的取值范围为( ∞, 1) ∪ ( , )
3 2
1 1 1 1
20.【答案】(Ⅰ)解：∵ ( ) = + + = ( + + ) = ( )，
+1 1 +1 1
又∵ ( )的定义域为{ ∈ | ≠ 1且 ≠ 1}，
∴函数 ( )为奇函数；
(Ⅱ)证明：任取 1， 2 ∈ (0,1)，设 1 < 2，则
2 ( 1) ( 2) = ( 1
1
2) + +
2 1
( 1 1)( 2 1) ( 1+1)( 2+1)
1 1
= ( 1 2)[ ] ( 1 1)( 2 1) ( 1+1)( 2+1)
2( 1 2+1)
= ( 1 2)[ 2 2 ]． ( 1 1)( 2 1)
∵ 0 < 1 <
2
2 < 1，∴ 2( 1 2 + 1) > 2，0 < ( 1 1)(
2
2 1) < 1，
2( 1 ∴ 2
+1)
> 2 > ，
( 21 1)(
2
2 1)
2(
∴ 1
2+1)
2 < 0． ( 1 1)( 22 1)
又∵ 1 2 < 0，∴ ( 1) > ( 2).
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∴函数 ( )在(0,1)上单调递减；
2 2 2
(Ⅲ)解：∵ ( 1)[ ( ) ] = ( 1)[ + 2 ] 1
2( 2 1)+2 2 2( 2 1) 2( 2 1)+2
= = ．
( +1) ( +1)
2
∴不等式( 1)[ ( ) ] ≥ 0恒成立化为不等式 2( 2 1) + 2 ≥ 0对任意的 ∈ (0,1) ∪ (1, +∞)恒成立．

令函数 ( ) = 2 + 2，其中 = 2， > 0且 ≠ 1．
①当 < 0时，抛物线 = ( )开口向下，不合题意；
②当 = 0时， ( ) = 2 > 0恒成立，∴ = 0符合题意；
1
③当 > 0时，∵ ( ) = ( )2 + 2．
2 4

∴只需 + 2 ≥ 0，
4
即0 < ≤ 8．
综上， 的取值范围是0 ≤ ≤ 8．
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