2024-2025学年河北省沧衡名校联盟高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年河北省沧衡名校联盟高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：所有的正方形都是菱形，则命题的否定为( )
A. 所有的菱形都不是正方形 B. 存在一个正方形不是菱形
C. 所有的正方形都不是菱形 D. 存在一个正方形是菱形
3.已知满足的使得恒成立，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
4.函数的最大值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则( )
A. B.
C. D.
6.定义表示集合的元素个数，例如：，已知，，，，则( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象关于原点对称，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数为同一函数的是( )
A. 与
B. 与
C. 与
D. 与
10.已知定义在上的函数满足，，，且，，则( )
A. B.
C. D.
11.已知函数，则( )
A. 在上单调递减 B. 在上单调递减
C. 在上单调递增 D. 在上单调递增
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知：，：，则是的______条件在“充要”“充分不必要”“必要不充分”中选一个填入．
13.已知实数，，满足，则的最大值为______．
14.若存在实数，使得，则称函数与函数具有“联系”若函数与函数不具有“联系”，则实数的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知：，．
若是真命题，求实数的取值集合；
在的条件下，集合，若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知是定义在上的奇函数．
求的解析式．
证明：在上单调递增．
求不等式的解集．
17.本小题分
若关于的不等式的解集为或，求不等式的解集；
已知正数，满足，证明：．
18.本小题分
某校计划利用其一侧原有墙体，建造高为米，底面积为平方米，且背面靠墙的长方体形状的露天劳动基地，靠墙那面无需建造费用，因此甲工程队给出的报价如下：长方体前面新建墙体的报价为每平方米元，左、右两面新建墙体的报价为每平方米元，地面以及其他报价共计元设劳动基地的左、右两面墙的长度均为米，原有墙体足够长．
当左面墙的长度为多少米时，甲工程队的报价最低？
现有乙工程队也参与该劳动基地的建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功约定整体报价更低的工程队竞标成功，求的取值范围．
19.本小题分
若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高次权方和不等式是数学中一个重要的不等式．
若，，证明二维形式的权方和不等式：．
已知，，求的最小值．
某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由．
已知正数，满足，求的最大值．
解：由权方和不等式得，所以的最大值是．
参考答案
1.
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4.
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6.
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9.
10.
11.
12.充分不必要
13.
14.
15.解：若：，是真命题，
则，解得，
所以；
因为“”是“”的充分条件，所以，
因为，所以，
解得，
所以实数的取值范围为．
16.解：因为为定义在上的奇函数，
由奇函数性质可得，，
解得，，
又，故，
故，所以，解得，
故，经检验，满足要求；
证明：任取，且，所以且，
则，
所以，故在上单调递增；
因为为定义在上的奇函数，且在上单调递增，
所以在上单调递增，
因为，故，解得，
的解集为．
17.解：由题意可知，和是方程两根，
由韦达定理得，解得，．
不等式，即，
解得，
故所求解集为．
证明：因为，所以，
，
当且仅当时，等号成立，
所以，故，得证．
18.解：依题意，左、右两面墙的长度相等，设为米，则长方体前面新建墙体的长度为米，
设甲工程队的总报价为元，
则，
当且仅当时，即时，等号成立．
故当左面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低，且最低报价为元．
无论左面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，
则，恒成立，
即对任意的恒成立，
所以，可得，即．
，
当且仅当时，即时，取最小值，
则，即的取值范围是．
19.解：证明：由于，，
要证，
只需证即可，
而，
当且仅当时，等号成立．
故．
由于，，则
，
当且仅当时，等号成立．
所以的最小值为．
这种解法不正确．
原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立．
由，消去得，因为，所以本方程无实数解，
所以，的最大值不是．
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