浙江省杭州市2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

浙江省杭州市 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 1,0,1}, = { | = √ + 1, ∈ }，则 ∩ =( )
A. { 1,1} B. {0,1} C. [1,+∞) D. [0,+∞)
2.“ < 2”是“| 1| < 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是( )
1 1 1 1
A. 若 < ，则 > B. 若 > ，则 <


C. 若 > ，则 2 > 2 D. 若 2 > 2，则 >
4.已知函数 ( 1)的定义域为(2,4)，则函数 ( ) + ( 2)的定义域为( )
A. (1,√ 2) B. (1,√ 3) C. (1,4) D. (1,9)
2 1
5.若2 = 5 = 20，则 + =( )

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
2
6.已知函数 ( )为定义在 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = + ，则当 < 0时 ( )的取值范围是( )

A. ( ∞, 2√ 2] B. ( ∞, 2√ 2] C. [2√ 2,+∞) D. [ 2√ 2,+∞)
7.若命题“ ∈ [3,6]，不等式 + 1 √ + 7 > 0恒成立”是真命题，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2) B. ( ∞,7) C. (2,7) D. (7,+∞)
8.存在三个实数 1， 2， 3，满足下列两个等式：① 1 2 3 = 2；② 1 + 2 + 3 = 0，其中 表示这三个
实数 1， 2， 3中的最大值，则( )
A. 的最大值是2 B. 的最小值是2
3
C. 的最大值是√ 2 D. 的最小值是2√6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
1
A. 45 58 = 89 94
B. log62 log82 = log84 log64
第 1 页，共 8 页
C. ( 2)2 + 2 5 + 50 = 2

D. 若3 = 10，log925 = ，则 25 =
10.已知函数 ( )满足 ( + ) = ( ) + ( ) 4，下列结论正确的是( )
A. (0) = 4 B. ( 2) + (2) = 8
C. ( ) 4为奇函数 D. ( ) 4为偶函数
11.已知 > 0， > 0，4 + = ，则下列结论正确的有( )
A. 的最小值为4 B. + 的最小值为9
1 1
C. + + 4( + )的最小值为10 D. 16 2 + 2的最小值为128

三、填空题：本题共 3 小题，共 20 分。
4 1 7
12.计算( ) 2 + ( )0 2 = ______．
9 6
13.若函数 ( ) = 2 + 3在区间( ∞, 2]上单调递减，则实数 的取值范围是______．
14.如图，边长为4的菱形 的两条对角线交于点 ，且∠ = 60°.动
点 从点 出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到 点，记 运动的路程为 ，
点 到点 距离的平方为 ( )，则函数 ( )在 ∈ (0,3)上单调递______(填
“增”或“减”)；若关于 的方程 ( ) = 恰有4个不等实根，则实数 的
取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
3
已知集合 = { | 2 1 < 0}，集合 = { |3 2 + 2}．
2
(1)若 = 1，求 ∪ ( )；
(2)若 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
16.(本小题12分)
1
已知函数 ( ) = 2( > 0)．
(1)若 ( ) + ( 1) = 3，求 + 1的值；
1
(2)若 ( ) = ( ) + ，求函数 = ( 2) 3 ( )的最小值．
( )
17.(本小题12分)
( ) ( )
已知定义在( ∞,0) ∪ (0,+∞)上的奇函数 ( )满足：对 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 ≠ 2，都有
2 1 1 2 < 0
1 2
第 2 页，共 8 页
成立，且 (1) = 2．
( )
(1)若函数 ( ) = ．

①求证：函数 ( )是偶函数；
②求函数 ( )的单调区间；
(2)求不等式 ( ) > 2 的解集．
18.(本小题12分)
2 2 + 9, 0,
已知函数 ( ) = {
2
( + 1) + ( 1)2, > 0.
(1)若 ( )是 上的增函数，求实数 的取值范围；
(2)若 = 3，方程 ( ) = 有三个实数解 1， 2， 3( 1 < 2 < 3).
①写出实数 和 1 2 + 1 3的取值范围；
1 1 1
②求证： + > ．
3 2+ 3 2+2 3 4
19.(本小题12分)
已知二次函数 ( ) = 2 + + ( , , ∈ )满足： ( ) = 0有两个实数根 1， 2．
5
(1)若 = 1, = + , 1 ≠ 2，求实数 的取值范围； 4
(2)若 (0) = 1， (1) = 0，记 ( )在 ∈ [ 1,1]时的最小值为 ( )，求 ( )的表达式；
(3)若 ∈ ， = 2 ， = 4， 1与 2都是整数且 1 < 2，求 1， 2的值．
第 3 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
1
12.【答案】
2
1
13.【答案】[0, ]
4
14.【答案】减 (4,12)
3 1
15.【答案】解：(1)根据题意，集合 = { | 2 1 < 0} = ( , 2)，
2 2
若 = 1，则 = [1,3]，
故 A∪ ( ) = ( ∞,2) ∪ (3,+∞)；
(2)根据题意，若 ∈ 是 ∈ 的充分不必要条件，
则 ，
1
1
则有{3 2 ≤ 2，解可得0 ≤ ≤ ，
+ 2 ≥ 2 2
1
即 的取值范围为[0, ].
2
1 1 1
16.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 2， > 0；所以 ( ) + ( 1) = 2 + 2 = 3，
1 1
所以( + 2 2)2 = + 2 + 1 = 9，
所以 + 1 = 7；
1 1 1
(2)若 ( ) = ( ) + = + 2 2，
( )
1 1
则函数 = ( 2) 3 ( ) = ( + 1) 3( 2 + 2)，
第 4 页，共 8 页
1 1 1 1
设 = + 2 2， > 0，则 ≥ 2√ 2 2 = 2，当且仅当 = 1时取等号；
所以 + 1 = 2 2，所以 = 2
3 13
3 2 = ( )2 ，
2 4
3
因为函数在 ≥ 时单调递增，
2
所以 = 2时 取得最小值为 = 4 6 2 = 4．
17.【答案】解：定义在( ∞,0) ∪ (0,+∞)上的奇函数 ( )满足：
( ) ( )
对 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 ≠ 2，都有
2 1 1 2 < 0成立，且 (1) = 2，
1 2
所以 ( ) = ( )，
( )
证明：(1)若函数 ( ) = ，

( ) ( ) ( )
①则 ( ) = = = = ( )，

所以函数 ( )是偶函数；
( ) ( )
② 1， 2 ∈ (0,+∞)，且 1 ≠ 2，都有
2 1 1 2 < 0，
1 2
1 2 ( 1) 1 2 ( 2)所以 < 0，
1 2
( 1) ( 2)所以 < 0，即 ( )在(0,+∞)上单调递减，
1 2
根据偶函数对称性可得， ( )在( ∞, 0)上单调递增，
所以 ( )的单调递减区间为(0,+∞)，单调递增区间为( ∞, 0)；
(2)因为 (1) = 2， ( )是偶函数，
(1) ( )
所以 ( 1) = (1) = = 2，由 ( ) = ，
1
> 0 < 0
故 ( ) > 2 可转化为{ 或{ ，
( ) > 2 ( ) < 2
( )
当 > 0时，由 ( ) > 2 得 > 2，即 ( ) > (1)，

因为 ( )在(0,+∞)上是减函数，所以0 < < 1；
( )
当 < 0时，由 ( ) > 2 得 < 2，即 ( ) < ( 1)，

因为 ( )在( ∞, 0)上是增函数，所以 < 1，
即不等式 ( ) > 2 的解集为( ∞, 1) ∪ (0,1)．
2 2 + 9, ≤ 0
18.【答案】解：(1)因为 ( ) = { 2 ， ( + 1) + ( 1)2, > 0
又 ( )是 上的增函数，
第 5 页，共 8 页
+1
≤ 0
所以{ 2 ，解得 ≤ 2√ 2，
2 + 9 ≤ ( 1)2
所以实数 的取值范围为( ∞, 2√ 2]；
2 + 3, ≤ 0
(2)当 = 3时， ( ) = {
2
，
4 + 4, > 0
当 > 0时， ( ) = 2 4 + 4 = ( 2)2，
所以 ( )在(0,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
又 (2) = 0，
令 ( ) = 3，即 2 4 + 1 = 0，解得 = 2 ± √ 3；
当 ≤ 0时， ( ) = 2 + 3，
则 ( )在( ∞,0]上单调递增，
3
且 ( ) = 0， (0) = 3；
2
则 ( )的图象如下所示：
①因为方程 ( ) = 有三个实数解 1， 2， 3( 1 < 2 < 3)，
即 = ( )与 = 有三个交点，
由图可知0 < ≤ 3，
3
且 < 1 ≤ 0 < 2 √ 3 ≤ 2 < 2 < 3 ≤ 2 + √ 3， 2 + 3 = 4， 2
所以 1 2 + 1 3 = 1( 2 + 3) = 4 1 = ( 6,0]；
②证明：由①可知 2 + 3 = 4，
所以( 2 + 2) + (4 + 3) = 10，
1
所以 1 1 1 1 1+ = + = 2 +
3 2+ 3 2+2 3 2 2+4 4+ 3 2+2 4+ 3
1
1 2 1= ( + )[( 2 + 2) + (4 + )] 10 2+2 4+ 33
1
1 3 (4+ 3) +2
= [ + 2 + 2 ]，
10 2 2+2 4+ 3
第 6 页，共 8 页
+2 6 10
令 = 2 = 3 = 1+ ，
4+ 3 4+ 3 4+ 3
因为2 < 3 ≤ 2 + √ 3，
所以6 < 4 + 3 ≤ 6 + √ 3，
1 1 1
则 ≤ < ，
6+√ 3 4+ 3 6
4 √ 3 2
所以 ∈ [ , ),
6+√ 3 3
1 1
(4+
则2 3
) +2
+ 2 = + 2，
2+2 4+ 3
1
√ 2 √ 2
又对勾函数 = + 2在(0, )上单调递减，在( , +∞)上单调递增，
2 2
又2 √ 2< ，
3 2
1
所以 1 2 17 + > + 2 = ，
3 2 22
1
1 3 (4+ )所以 3 [ + 2 + 2
+2 1 3 17 7 1
] > × ( + ) = > ，
10 2 2+2 4+ 3 10 2 12 24 4
1 1 1
所以 + > ．
3 2+ 3 2+2 3 4
5
19.【答案】解：(1)由已知得 2 + + = = 0有两个不等实根，
4
5
∴ = 2 4( + ) > 0，
4
解得 < 1或 > 5．
∴实数 的取值范围是( ∞, 1) ∪ (5,+∞)．
(2)由 (0) = = 1，知 ( ) = 2 + + 1，
∵ (1) = + + 1 = 0，
∴ = 1，
∵ ≠ 0，
2
+1 ( 1)
∴ ( ) = 2 ( + 1) + 1 = ( )2 ，
2 4
当 > 0时， ( )的图象是开口向上的抛物线，
+1
当 ≥ 1时， 1 < ≤ 1， ( ) = (1) = 0，
2
+1
< 1时， > 0， ( ) = ( 1) = 2 + 2，
2
第 7 页，共 8 页
2 + 2, < 1
∴ ( ) = 0, 1 ≤ < 1 且 ≠ 0 ．
2( 1)
{ , ≥ 14
(3)由题意 ( ) = 2 2 + 4， ∈ ，
2
由 ( ) = 0，得 1 = 1 ± ， √
∵方程的解都是整数，则√ = 1或√ = 2，
√ = 1，即 = 1时， 1 = 1， 2 = 3，
√ = 2，即 = 4时， 1 = 0， 2 = 2，
综上， = 1时， 1 = 1， 2 = 3； = 4时， 1 = 0， 2 = 2．
第 8 页，共 8 页