绝密★启用前 试卷类型：A
2024—2025 学年度第一学期期末教学质量监测
九年级数学试题 2025．01
本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分，满分 100 分，考试时间 90 分钟。
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的姓名、班级、学校，并
把条形码粘贴在指定位置。
2．请按照要求答题，必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区
域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，再写上新答案；不准使用涂改液。不按以上要求作
答，视为无效。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分 选择题
一、选择题（本大题共 8小题，每小题 3分，共 24分，每小题有四个选项，其中只有一个
是正确的）
1．如图所示是一个收藏于深圳市博物馆的钧瓷月白釉碗，它具有很高的历史价值和艺术价值。关于它
的三视图，下列说法正确的是
A．主视图与俯视图相同 B．主视图与左视图相同
C．左视图与俯视图相同 D．三种视图都相同
2．如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD相交于点 O， AOB 60 ，已知 AB 1，则该矩形的面积是
A 3． B．2 C． 3 D．3
2
（第 1题） （第 2题） （第 5题）
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3．若 x1， x2 是一元二次方程 x
2 2x 3 0的两根，则 x1 x2 2x1x2的值为
A．8 B．6 C．﹣4 D．4
4．电影《志愿军：雄兵出击》于 2024年国庆档上映，该电影讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，
一上映就获得全国人民的追捧。某地首周累计票房约 1.56亿元，第三周累计票房约 3.24亿元．若
每周累计票房的增长率相同，设增长率为 x，则根据题意可列方程为
A．1.56x2 3.24 B．1.56 1 x 3.24
C．1.56 1 x 2 3.24 D．1.56 1 x 2 3.24
5 2．如图，点 A在双曲线 y1 x 0
6
上，点 B在双曲线 y2 x 0 上， AB∥ x轴，点 C是 x轴x x
上一点，连接 AC，BC，则△ABC的面积是
A．4 B．6 C．8 D．16
6．黄金分割被很多人认为是“最美比例”，是因为它符合人们的视觉习惯和审美心理，能够创造出更
加和谐、平衡和美观的艺术作品和产品。在自然界中，黄金分割也很常见，如图是一个有着“最美
比例”的鹦鹉螺，点 B是线段 AC的黄金分割点（AB＞BC），若 AC 16 cm，那么 AB的长为
A．( 24 - 8 5 )cm B．( 48 -16 5 )cm C．(16 5 -16 )cm D．(8 5 - 8 )cm
（第 7题） （第 7题） （第 8题）
7．如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△ADE位似，相似比为 1：2。已知位似中心点 A的坐标为
（0，2），点 B的坐标为（1，4），则点 D的坐标为
A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，﹣2） C．（﹣4，﹣4） D．（﹣4，﹣2）
8．如图，正方形 ABCD的一条边 BC与等腰△CEF的一条边 CF在同一直线上，AF分别交 CD，CE
于点 G，H。已知 BC CF 2，CE EF 5 ，则 GH的长为
A 5 B 2 C 2 5． ． ． D 5．
5 5 9 9
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第二部分 非选择题
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
9 b 5 a b．已知 ，求 = ▲ 。
a 6 a
10．调查全班 50个人生日相同的概率，记录其中有无 2个人的生日相同，每选取 50个被调查人的生日
为一次试验，重复尽可能多次试验，并将数据记录表中：
试验总次数 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500
“有 2个人的生日相同”的次数 480 900 1320 1920 2350 2910 3400
“有 2个人的生日相同”的频率 0.96 0.90 0.88 0.96 0.94 0.97 0.97
根据上表中的数据，估计“50个人中有 2个人生日相同”的概率为 ▲ 。
11. 长尾夹是我们日常学习、办公经常用到的一种文具。某品牌的长尾夹如图 1所示，图 2是其在闭合
状态时的示意图，经测量知 AE＝AF＝1cm，EB＝FD＝2cm，EF＝0.8cm，则在图 2闭合状态下点 B，
D之间的距离是 ▲ cm。
图 1 图 2
（第 11题） （第 13题）
12. 一个农业合作社以 64000元的成本收获了某种农产品 80吨，市场零售价为 1200元/吨。若储藏起来，
每星期会损失 2 吨，且每星期需支付各种费用 1600元，但同时每星期每吨的价格将上涨 200元。
那么，储藏 ▲ 个星期出售这批农产品可获利 122000元。
13. 如图，等边△ABC中，点 D，E分别在边 CA，CB上，且 CD = AE，BD交 CE于 P，PF平分∠BPC
交 BC于点 F,若 AB 2 3，PF = 1,则 CE = ▲ 。
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三、解答题（本题共 7小题，共 61分）
14.（本题 7分）小颖在解方程 2x2 8x 3 0时出现了错误，解答过程如图所示：
解方程： 2x2 8x 3 0
解： 2x2 8x 3， ……①
x2 4x 3， ……②
x2 4x 4 3 4，……③
x 2 2 1， ……④
x 2 1， ……⑤
x1 3，x2 1 ……⑥
（1）小颖的解答过程从第 ▲ 步开始出．错．，其错误的原因是 ▲ ；
（2）请你写出此题正确的解题过程。
15．（本题 8 分）为了解某区八年级学生体质测试情况，该区从全区八年级学生中随机抽取了部分学生
进行了一次中考体育科目测试，把测试结果分为四个等级：A级（优秀）、B级（良好）、C级（及
格）、D级（不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图。请根据统计图中的信息解答下列
问题：
（1）本次抽样测试的学生人数是 ▲ 人；
（2）图 1中 A级所在区域圆心角是 ▲ 度，并把图 2条形统计图补充完整；
（3）该区八年级有学生 3500名，如果全部参加这次中考体育科目测试，请估计不及格的人数为
▲ 人；
（4）测试老师想从 4位同学（分别记为 E，F，G，H，其中 E为小明）中随机选择两位同学了解平
时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选中小明的概率。
体育测试各等级学生人数扇形图 体育测试各等级学生人数条形图
图 1 图 2
（第 15题）
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16 8 12．（本题 分）小明在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究函数 y 的图象与性质。类
x
比反比例函数的研究方法，过程如下：
（1）列表：下表是 x与 y的几组对应值，其中 m＝ ▲ ；
x … ﹣6 ﹣4 ﹣3 ﹣2 2 3 4 6 …
y … 2 3 m 6 6 4 3 2 …
描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点；
连线：用平滑的曲线顺次连接各点，下图画出了部分图象，请你把图象补充完整；
12
（2）下列关于函数 y 的说法，正确的有 ▲ 。
x
①函数图象分别位于一、三象限；②当 x 0时， y随 x的增大而减小；
③函数图象关于 y轴对称； ④函数值始终大于 0；
（3 12 12）已知直线 y x 4与 y 图象的交点坐标为 ▲ ，则不等式 x 4的解集为 ▲ 。
x x
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17．（本题 8 分）春节期间，九（1）班全体同学通过视频电话的方式互相拜年，如果该班共有 45名同
学，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，那么全班同学共通过多少次视频电话呢？我们可以用
下面的方式来解决问题。
用点 A1， A2 ， A3 ，…， A45分别表示第 1 名同学，第 2 名同学，第 3 名同学……第 45 名同学，
把通话次数 y与该班级人数 x之间的关系用以下图表表示：
x＝2 x＝3 x＝4 x＝5 x＝6
y＝1 y＝3 y＝6 y＝ y＝
（1）填写图中第四个图中 y的值为 ▲ ，第五个图中 y的值为 ▲ 。
通过探索发现，通话次数 y与该班级人数 x之间的关系式为 ▲ 。
（2）若九（1）班全体女生相互之间共通话 300次，该班共有多少名女生？
18．（本题 9分）如图，AD是△ABC的角平分线，过点 D作 DE // AC,交 AB于点 E，在 AC上取一点 F，
连接 DF，使得∠FDC=∠B。
（1）求证：四边形 AEDF是菱形。
（2）若 FC＝4，BE＝25，AD＝12，求 AE的长度和四边形 AEDF面积。
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19（. 本题 10分）【问题提出】两个数学小组为了研究数轴上的两个数与他们乘积所对应的点的位置关系，
做了以下尝试：
（1）如图，数轴上 A，B分别表示的数为 a，b，点 D表示 ab在数轴上对应的点，则 D应该在______
（填写序号）；
①点 A的左边； ②A、B两点之间； ③点 B的右边。
（2）点 D在数轴上具体位置能否通过作图确定呢？两个小组进行了深入的探究。
1 a
【问题探究】第一小组同学发现 1，a，b，ab这四个数成比例，即 ，那么已知 1，a，b的长度，
b ab
就可以通过“平行线分线段成比例定理”确定 ab长度，进而确定点 D在数轴上的位置。设 0表示的点
为 O，过 O任意画一条直线如图，请在下图中通过尺规作图来构造比例线段，在数轴上找到 ab所表示
的点 D，并保留作图痕迹。
图 1 备用图
【问题拓展】第二小组思考能否利用函数来解决这个问题，因此他们构建了如图所示的平面直角坐标系，
已知点 A（a，0），B（b，0），请你构造一个函数，在数轴上确定 ab所表示的点 D。（作图工具不限，
作出必要的图示或说明）
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图 2 备用图
20．（本题 11分）如图 1，已知正方形 ABCD，点 P是边 BC上的一个动点（不与点 B、C重合），点 E
在 DP上，满足 AE AB 2，延长 BE交 CD于点 F。
图 1 图 2 备用图
（1）求 BED的度数；
（2）连接 CE，
①如图 2，当CE BF 时，求 PB的长；
②当△CEF是以 CE为腰的等腰三角形时，直接写出此时△AED的面积。
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{#{QQABaQAUggiAABAAABhCAwXSCgKQkgCCCagOxBAAoAABSQFABAA=}#}深圳市南山区 2024-2025 学年第一学期九年级期末试题
数学参考答案
一、选择题(本题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分.每小题有四个选项,其中只有一个是正确的.)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C A C A D B A
二、填空题（本大题共 5小题，每小题 3分，共 15分）
11
9.____6____ 10. 0.97 11. 2.4
12. 15 13. 3
第 8题解析：
过点 E作 EN⊥CF分别交 AF，CF于点 M，N,
∵CE EF 5 ，
∴CN 1 CF 1， EN 5 2 12 2，
2
∵ BC CF 2，∴ BF BC CF 4，
AB BF
∴ 2，
CN EN
又∵ B CNE 90 ，
∴△ABF∽△CNE ，∴ AFB CEN
又∵ NMF HME，
∴ GHC EHM FNM 90 ，
∵ AB∥CD∥EN
∴△GCF∽△ABF , GCH CEN
CG CF CG 2
∴ ，即 ,
AB BF 2 4
∴CG 1，
∵ GHC CNE 90 ， GCH CEN
∴△GCH∽△CEN
GH GC GH 1
∴ ，即 ,
CN CE 1 5
5
∴GH ，故选 A。
5
三、解答题（本题共 7小题，共 61分）
14.（1） ② ， 等式右边没有除以 2；.....................................2分
3
（2） 2x2 8x 3， x2 4x x2， 4x 4
3
4
2 2 ，
x 2 2 5 ，..................................................................................3分2
x 2 10
2 ，
x1 2
10
, x 102 2 - ...............................................................7分2 2
第 1 页 共 7 页
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15.（1） 60 ；..........................................................................2分
（2） 36 ；如图所示：
.........................................4分
（3） 525 ；................................................................................6分
（4）根据题意画树形图如下：
共有 12种情况，选中小明的有 6种，
则 P 6 1（选中小明）＝ ＝ 。..........................................................8分
12 2
（用列表的方法也可以同样给分）
16. （1） 4 ；...........................................................................1分
函数图象如图：
..................................3分
（2） ③④ ；(答对一个给 1分，有一个答错都不给分）.....................................................5分
（3） （2，6） ， x 0或0 x 2。..............................................8分1
17.（1） 10 ； 15 ； y x(x 1)2 ；....................................4分
（2 x(x 1)）依题意，得： 300，.......................................................5分
2
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化简，得：x2﹣x﹣600＝0，
∴（x﹣25）（x+24）＝0，
∴x﹣25＝0或 x+24＝0，
∴x1＝25，x2＝﹣24（不合题意，舍去）．.......................................7分
答：该班共有 25名女生．..................................................................8分
18.（1）证明：∵∠FDC=∠B，
∴AB∥DF，
∵AC∥DE，
∴四边形 AEDF是平行四边形．...........................................................2分
∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠BAD＝∠DAC．
又∵AC∥DE，
∴∠ADE＝∠DAC．
∴∠ADE＝∠BAD．
∴EA＝ED．
∴四边形 AEDF是菱形．......................................................................4分
（2）解：∵四边形 AEDF是菱形，
OA=OD= 1∴ AD=6，
2
设菱形 AEDF的边长为 x，则 AB＝x+25，AC＝x+4，
∵DE∥AC，
∴△BED∽△BAC，
∴ BE DE
x 4
， ，.............................................................6分
AB AC x 25 x 4
解得 x 10或 x 10，
经检验， x 10是原方程的解，
∴AE＝10，即菱形 AEDF的边长为 10，............................................7分
（法一）连接 EF，交 AD于点 O，
在菱形 AEDF中，AD⊥EF，OE=OF，
∴OE AE2 OA2 8，
∴ EF 2OE 16，
S 1∴ 菱形AEDF ＝ EF AD 96．..............................................................9分2
（法二）过 A作 AM⊥DF，垂足为 M，过 F作 FO⊥AD，垂足为 O，
∵AF=DF，FO⊥AD
∴DO=AO = 1 AD =6
2
∴OF DF 2 DO2 8
∵∠DOF =∠DMA=90°，∠ADM =∠FDO，
∴△AMD∽△FOD
AD AM 48
∴ ∴AM=
DF FO 5
∴ S菱形AEDF DF AM
48
10 96 ..............................................................9分
5 。
（其他解法可参照给分）
19. （1）② .....................................................3分
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（2）
作图思路 1：在直线上截取 OM=OA，连接 MC，作∠NBO=∠MCO,交直线于 N,在 x轴上截取 OD=ON,
则 D即是所求作的点；
作图思路 2：在直线上截取 OM=OC，连接 MA，作∠NBO=∠OMA,交直线于 N,在 x轴上截取 OD=ON,
则 D即是所求作的点；
评分标准:本题 4分，可以不写作图思路或做作，但是一定要有作图痕迹，如果思路正确，作一个角等
于已知角没用尺规，可以得 2分。
（3）
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作图思路 1：在 y轴上截取 OM=OA=a，过 C,M分别作 x轴，y轴的垂线，交于点 N,则 N的坐标为
（1，a）,作直线 ON，则直线 ON的函数关系式为 y=ax,过 B作 x轴垂线交直线于点 P,过 P作 PQ垂直 y
轴于 Q,在 x轴上截取 OD=OQ，则 D就是所求作的点。
评分标准：共 3分，找出 N点得 1分，找出 D点得 1分，有垂直标识或说明再得 1分。
作图思路 2：在 y轴上截取 OM=OB=b，过 C,M分别作 x轴，y轴的垂线，交于点 N,则 N的坐标为
（1，b）,作直线 ON，则直线 ON的函数关系式为 y=bx,过 B作 x轴垂线交直线于点 P,过 P作 PQ垂直 y
轴于 Q,在 x轴上截取 OD=OQ，则 D就是所求作的点。
评分标准：共 3分，找出 N点得 1分，找出 D点得 1分，有垂直标识或说明再得 1分。
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作图思路 3：在 y轴上截取 OE=OB=b，OF=OA=a,过 B,F分别作 x轴，y轴的垂线，交于点 M,则 M
的坐标为（b，a）,过 A,E分别作 x轴，y轴的垂线，交于点 n,则 N的坐标为（a，b）,作出过 M,N的反比
例函数草图，过 C作 x轴垂线交反比例函数图象于 P，过 P作 PQ交 y轴于点 Q，在 x轴上截取 OD=OQ，
则 D就是所求作的点。
评分标准：共 3分，作出反比例草图得 1分，找出 D点得 1分，有垂直标识或说明再得 1分。
（本题主要考查构建函数解决实际问题的思路，反比例函数草图只要过 M,N且光滑即可得分）
20.（1）∵四边形 ABCD是正方形，AE＝AB，
∴AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴AE＝AD，
∴∠AEB＝∠ABE，∠AED＝∠ADE，..................................................1分
∵∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD＝360°，
∴2∠AEB+2∠AED+90°＝360°，
∴∠AEB+∠AED＝135°，
∴∠BED＝∠AEB+∠AED＝135°．.....................................................3分
（2）①如图 1，作 AG⊥BE于点 G，则 GB＝GE，
∵CD⊥BF，
∴∠BEC＝∠AGB＝∠ABC＝90°，
∴∠CBE＝∠BAG＝90°﹣∠ABG，
∵BC＝AB，
∴△BEC≌△AGB（AAS），
1
∴EC＝GB＝ BE，...................................................................................4分
2
作 PH⊥BE于点 H，则∠PHB＝∠PHE＝90°，
∵∠HEP＝180°﹣∠BED＝180°﹣135°＝45°，
∴∠HPE＝∠HEP＝45°，
∴HE＝HP，................................................................................................5分
∵PH∥CE，
∴△HPB∽△EBC
PH EC 1 EH
∴
PB BE 2 BH
PC EH 1
∴ ..........................................................................................6分
PB BH 2
又∵BC=2
∴BP = 2 BC = 4 ........................................................................................7分
3 3
②如图 2，△CEF是等腰三角形，且 FE＝CE，则∠EFC＝∠ECF，
∵∠BCF＝90°，
∴∠EBC+∠EFC＝90°，∠ECB+∠ECF＝90°，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴BE＝CE＝FE，
作 EL⊥AD于点 L，则∠ELD＝∠BAD＝90°，
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∴EL∥AB∥CD，
AL BE
∴ 1，
DL FE
∴AL＝DL，
∴AE＝DE＝AD，
∴△AED是等边三角形，
∴EL= 3
∴S 1△AED= 2 3 3 ...........................................................................9分2
如图 3，△CEF是等腰三角形，且 CF＝CE，则∠CEF＝∠CFE，
∵CD∥AB，
∴∠CFE＝∠ABE＝∠AEB，
∴∠CEF＝∠AEB，
∴∠CEB+∠AEB＝∠CEB+∠CEF＝180°，
∴点 E在正方形 ABCD的对角线 AC上，
∵AB＝AD＝CB＝CD，∠ABC＝∠ADC＝∠BCD＝90°，
∴∠BAE＝∠DAE＝∠BCA＝∠DCA＝45°，
作 EM⊥AD于点 M，则 EM = 2
∴S 1△AED= 2 2 22
综上，△AED的面积为 3 或 2 ..........................................................11分
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