期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版（含解析）
文档属性
| 名称 | 期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 706.1KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-28 14:20:56 | ||
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文档简介
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期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 双辽市期末）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（2023秋 静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个圆
C．两个菱形 D．两个等腰三角形
3．（2023秋 宁都县期末）已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
4．（2023秋 贵阳期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（ ）
A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16
5．（2022秋 锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
6．（2023秋 确山县期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
7．（2023秋 太康县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋 息县期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63
9．（2023春 槐荫区期末）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．（2023秋 城阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（ ）
A．小鱼与大鱼的周长之比是1：2
B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2
C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍
D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b）
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 河东区期末）已知一元二次方程ax2﹣2x+3＝0有两个实数根，则a的取值范围是 ．
12．（2024春 坪山区期末）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数n 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数m 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
合格的产品频率 0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
估计这批产品合格的产品的概率为 ．
13．（2022秋 深圳期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °．
14．（2024春 邓州市期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
15．（2023秋 龙泉驿区期末）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为 ．
16．（2024春 宿城区期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃．
17．（2024春 宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
18．（2023秋 辽阳期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为10cm，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏 cm．
三．解答题（共7小题）
19．（2023秋 冠县期末）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
20．（2023秋 门头沟区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
21．（2023秋 黄埔区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
22．（2023秋 冠县期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，△AOP的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若OA＝4，点B是反比例函数上的点，当S△OAB＝12时，直接写出点B的坐标．
23．（2023秋 乐山期末）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝3，AD＝2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）设EF＝x（0＜x＜2），矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．
24．（2024春 朝阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
25．（2021秋 金川区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 双辽市期末）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：A、由＝得ab＝6，故本选项错误；
B、由＝得2a＝3b，故本选项正确；
C、由＝得3a＝2b，故本选项错误；
D、由＝得3a＝2b，故本选项错误．
故选：B．
2．（2023秋 静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个圆
C．两个菱形 D．两个等腰三角形
【解答】解：A．任意两个平行四边形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个圆一定相似，本选项符合题意；
C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个三角形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
故选：B．
3．（2023秋 宁都县期末）已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长之比为2：3，
∴三角形的相似比是2：3，
∴它们的面积之比是4：9，
故选：B．
4．（2023秋 贵阳期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（ ）
A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16
【解答】解：乘坐三号线地铁的频率为16÷100＝0.16，
∴乘坐三号线地铁的概率大约是0.16．
故选：D．
5．（2022秋 锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
【解答】解：连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2），
∴BD＝6，AE＝2，
∴DE＝BD＝3，AC＝2AE＝4，
∴点C的坐标为：（3，4）．
故选：C．
6．（2023秋 确山县期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0
得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1．
故选：C．
7．（2023秋 太康县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为＝．
故选：B．
8．（2023秋 息县期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63
【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：B．
9．（2023春 槐荫区期末）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC＝CB，
∴OD＝OE，
设A（﹣a，），则B（a，），
故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3．
解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积，
故选：C．
10．（2023秋 城阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（ ）
A．小鱼与大鱼的周长之比是1：2
B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2
C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍
D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b）
【解答】解：A．大鱼与小鱼的相似比是1：2，所以A选项不符合题意；
B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2，所以B选项不符合题意；
C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意；
D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则在大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b），所以D选项不符合题意．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 河东区期末）已知一元二次方程ax2﹣2x+3＝0有两个实数根，则a的取值范围是 a≤且a≠0 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a×3＝4﹣12a≥0，
解得：a≤，
∵方程ax2﹣2x+3＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的取值范围是a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
12．（2024春 坪山区期末）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数n 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数m 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
合格的产品频率 0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
估计这批产品合格的产品的概率为 0.96 ．
【解答】解：由图表可知合格的产品频率都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为0.96，
故答案为：0.96．
13．（2022秋 深圳期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ 35 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
14．（2024春 邓州市期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＞1 ．
【解答】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，即k＞1，
故答案为：k＞1．
15．（2023秋 龙泉驿区期末）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为 ．
【解答】解：如图，∵正方形ABCD的中心在原点O，且AD∥x轴，
∴四边形AEOF为正方形，
∵点P（3a，a），
∴点A的坐标为（3a，3a），
∵正方形AEOF的面积＝阴影部分的面积＝18，
∴3a 3a＝18，
解得a＝或a＝﹣（舍去），
∴P（3，），
∴k＝3×＝6．
∴这个反比例函数的解析式为：y＝，
故答案为：y＝．
16．（2024春 宿城区期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 50 ℃．
【解答】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：m＝800，
∴，
当y＝20时，，
解得：t＝x＝40，
∵56﹣40＝16＞8，
∴当x＝16时，．
故答案为：50．
17．（2024春 宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是 （﹣3，﹣1） ．
【解答】解：以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△ABO缩小，点B（﹣9，﹣3），
则点B的对应点B′的坐标为（﹣9×，﹣3×），即点B′的坐标为（﹣3，﹣1），
故答案为：（﹣3，﹣1）．
18．（2023秋 辽阳期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为10cm，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏 20 cm．
【解答】解：设带“小孔”的纸板距离光屏是x，
根据题意可得：，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则带“小孔”的纸板距离光屏是20cm，
故答案为：20．
三．解答题（共7小题）
19．（2023秋 冠县期末）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
【解答】解：（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2，
（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（，2x+1+x﹣3）（2x+1﹣x+3）＝0，
（3x﹣2）（x+4）＝0，
3x﹣2＝0或x+4＝0，
∴，x2＝﹣4；
（2）∵（x﹣2）（x﹣3）＝12，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣1．
20．（2023秋 门头沟区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
21．（2023秋 黄埔区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
22．（2023秋 冠县期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，△AOP的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若OA＝4，点B是反比例函数上的点，当S△OAB＝12时，直接写出点B的坐标．
【解答】解：（1）由于P为反比例函数y＝的图象上一点，
∴S△AOP＝|k|＝6，
又∵函数位于第二象限，
∴k＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设点B（a，﹣），
∵OA＝4，S△OAB＝12，
∴×4×|﹣|＝12，
∴a＝±2，
∵点B在第二象限，
∴点B（﹣2，6）．
23．（2023秋 乐山期末）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝3，AD＝2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）设EF＝x（0＜x＜2），矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．
【解答】解：（1）设AD与EH的交点为M，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∵EF＝DM＝x，AD＝2，
∴AM＝2﹣x，
∴，
∴EH＝（2﹣x），
∴y＝2（EF+EH）＝2x+6﹣3x＝6﹣x（0＜x＜2）；
（2）∵EFGH为正方形，
∴EF＝EH，
∴x＝（2﹣x），
∴x＝，
∴EF＝，
∴正方形EFGH的面积＝．
24．（2024春 朝阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB CE＝AC BD，
即5CE＝×8×6，
解得：CE＝，
即CE的长为．
25．（2021秋 金川区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【解答】解：（1）联立，解得，
∴A点坐标为（﹣2，4）．
将A（﹣2，4）代入y＝，得4＝．
∴k＝﹣8．
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）联立，解得或．
∴B（﹣8，1）．
在y＝x+5中，令y＝0，得x＝﹣10．
故直线AB与x轴的交点为C（﹣10，0）．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝ OC AM﹣ OC BN＝×10×4﹣×10×1＝15．
（3）关于x的不等式的解集为﹣8＜x＜﹣2或x＞0．
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期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 双辽市期末）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．（2023秋 静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个圆
C．两个菱形 D．两个等腰三角形
3．（2023秋 宁都县期末）已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
4．（2023秋 贵阳期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（ ）
A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16
5．（2022秋 锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
6．（2023秋 确山县期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
7．（2023秋 太康县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．（2023秋 息县期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63
9．（2023春 槐荫区期末）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
10．（2023秋 城阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（ ）
A．小鱼与大鱼的周长之比是1：2
B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2
C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍
D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b）
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 河东区期末）已知一元二次方程ax2﹣2x+3＝0有两个实数根，则a的取值范围是 ．
12．（2024春 坪山区期末）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数n 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数m 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
合格的产品频率 0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
估计这批产品合格的产品的概率为 ．
13．（2022秋 深圳期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ °．
14．（2024春 邓州市期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 ．
15．（2023秋 龙泉驿区期末）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为 ．
16．（2024春 宿城区期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 ℃．
17．（2024春 宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是 ．
18．（2023秋 辽阳期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为10cm，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏 cm．
三．解答题（共7小题）
19．（2023秋 冠县期末）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
20．（2023秋 门头沟区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
21．（2023秋 黄埔区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
22．（2023秋 冠县期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，△AOP的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若OA＝4，点B是反比例函数上的点，当S△OAB＝12时，直接写出点B的坐标．
23．（2023秋 乐山期末）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝3，AD＝2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）设EF＝x（0＜x＜2），矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．
24．（2024春 朝阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
25．（2021秋 金川区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
期末重难点真题检测卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 双辽市期末）已知2a＝3b（ab≠0），则下列比例式成立的是（ ）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
【解答】解：A、由＝得ab＝6，故本选项错误；
B、由＝得2a＝3b，故本选项正确；
C、由＝得3a＝2b，故本选项错误；
D、由＝得3a＝2b，故本选项错误．
故选：B．
2．（2023秋 静安区期末）下列选项中的两个图形一定相似的是（ ）
A．两个平行四边形 B．两个圆
C．两个菱形 D．两个等腰三角形
【解答】解：A．任意两个平行四边形，形状不一定相同，不一定相似，本选项不合题意；
B．任意两个圆一定相似，本选项符合题意；
C．任意两个菱形，边的比相等、对应角不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
D．任意两个三角形，对应角对应相等、边的比不一定相等，不一定相似，本选项不合题意；
故选：B．
3．（2023秋 宁都县期末）已知△ABC∽△DEF，且周长之比为2：3，则面积比为（ ）
A．2：3 B．4：9 C．9：4 D．16：81
【解答】解：∵△ABC∽△DEF，它们的周长之比为2：3，
∴三角形的相似比是2：3，
∴它们的面积之比是4：9，
故选：B．
4．（2023秋 贵阳期末）2023年12月16日，贵阳市轨道交通三号线正式运营．某校共有1000个学生，随机调查了100个学生，其中有16个学生在三号线开通首日乘坐了地铁三号线．在该校随机问一个学生，他在三号线开通首日乘坐该地铁的概率大约是（ ）
A．0.016 B．0.1 C．0.116 D．0.16
【解答】解：乘坐三号线地铁的频率为16÷100＝0.16，
∴乘坐三号线地铁的概率大约是0.16．
故选：D．
5．（2022秋 锦江区期末）如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B的坐标是（6，2），点D的坐标是（0，2），点A在x轴上，则点C的坐标是（ ）
A．（3，2） B．（3，3） C．（3，4） D．（2，4）
【解答】解：连接AC，BD相交于点E，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AE＝CE，BE＝DE，AC⊥BD，
∵点A在x轴上，点B的坐标为（6，2），点D的坐标为（0，2），
∴BD＝6，AE＝2，
∴DE＝BD＝3，AC＝2AE＝4，
∴点C的坐标为：（3，4）．
故选：C．
6．（2023秋 确山县期末）若x＝2是关于x的一元二次方程x2+mx﹣2＝0的一个根，则m的值为（ ）
A．1 B．3 C．﹣1 D．﹣3
【解答】解：将x＝2代入方程x2+mx﹣2＝0
得：4+2m﹣2＝0，解得：m＝﹣1．
故选：C．
7．（2023秋 太康县期末）在如图所示的电路中，随机闭合开关S1、S2、S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：画树状图得：
∵共有6种等可能的结果，能让灯泡L1发光的有2种情况，
∴能让灯泡L1发光的概率为＝．
故选：B．
8．（2023秋 息县期末）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，某款燃油汽车2月份的售价为23万元，4月份售价为18.63万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是x，可列方程正确的是（ ）
A．18.63（1+x）2＝23 B．23（1﹣x）2＝18.63
C．18.63（1﹣x）2＝23 D．23（1﹣2x）＝18.63
【解答】解：根据题意得：23（1﹣x）2＝18.63．
故选：B．
9．（2023春 槐荫区期末）如图，点A是反比例函数在第二象限内图象上一点，点B是反比例函数在第一象限内图象上一点，直线AB与y轴交于点C，且AC＝BC，连接OA、OB，则△AOB的面积是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．3.5
【解答】解：分别过A、B两点作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，
∵AC＝CB，
∴OD＝OE，
设A（﹣a，），则B（a，），
故S△AOB＝S梯形ADEB﹣S△AOD﹣S△BOE＝（+）×2a﹣a×﹣a×＝3．
解法二：过A，B两点作y轴的垂线，由AC＝BC求两个三角形全等，再求面积，
故选：C．
10．（2023秋 城阳区期末）如图，在平面直角坐标系中，大鱼与小鱼是关于原点O的位似图形，则下列说法中错误的是（ ）
A．小鱼与大鱼的周长之比是1：2
B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2
C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的2倍
D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b）
【解答】解：A．大鱼与小鱼的相似比是1：2，所以A选项不符合题意；
B．小鱼与大鱼的对应点到位似中心的距离比是1：2，所以B选项不符合题意；
C．大鱼尾巴的面积是小鱼尾巴面积的4倍，所以C选项符合题意；
D．若小鱼上一点的坐标是（a，b），则在大鱼上的对应点的坐标是（﹣2a，﹣2b），所以D选项不符合题意．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 河东区期末）已知一元二次方程ax2﹣2x+3＝0有两个实数根，则a的取值范围是 a≤且a≠0 ．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程ax2﹣2x+3＝0有两个实数根，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×a×3＝4﹣12a≥0，
解得：a≤，
∵方程ax2﹣2x+3＝0是一元二次方程，
∴a≠0，
∴a的取值范围是a≤且a≠0．
故答案为：a≤且a≠0．
12．（2024春 坪山区期末）某科技公司开展技术研发，在相同条件下，对运用新技术生产的一批产品的合格率进行检测，如表是检测过程中的一组统计数据：
抽取的产品数n 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000
合格的产品数m 476 967 1431 1926 2395 2883 3367 3836
合格的产品频率 0.952 0.967 0.954 0.963 0.958 0.961 0.962 0.959
估计这批产品合格的产品的概率为 0.96 ．
【解答】解：由图表可知合格的产品频率都在0.95左右浮动，所以可估计这批产品合格的产品的概率为0.96，
故答案为：0.96．
13．（2022秋 深圳期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD交于点O，DE⊥AC于点E，若∠AOD＝110°，则∠CDE＝ 35 °．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC＝90°，AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD，
∴OC＝OD，
∴∠ODC＝∠OCD，
∵∠AOD＝110°，
∴∠DOE＝70°，∠ODC＝∠OCD＝（180°﹣70°）＝55°，
∵DE⊥AC，
∴∠ODE＝90°﹣∠DOE＝20°，
∴∠CDE＝∠ODC﹣∠ODE＝55°﹣20°＝35°；
故答案为：35．
14．（2024春 邓州市期末）已知反比例函数的图象在每一个象限内，y都随x的增大而减小，则k的取值范围是 k＞1 ．
【解答】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小，
∴k﹣1＞0，即k＞1，
故答案为：k＞1．
15．（2023秋 龙泉驿区期末）如图，正方形的中心在直角坐标系的原点，正方形的边与坐标轴平行，点P（3a，a）是正方形与反比例函数图象的一个交点．已知图中阴影部分的面积等于18，则这个反比例函数的表达式为 ．
【解答】解：如图，∵正方形ABCD的中心在原点O，且AD∥x轴，
∴四边形AEOF为正方形，
∵点P（3a，a），
∴点A的坐标为（3a，3a），
∵正方形AEOF的面积＝阴影部分的面积＝18，
∴3a 3a＝18，
解得a＝或a＝﹣（舍去），
∴P（3，），
∴k＝3×＝6．
∴这个反比例函数的解析式为：y＝，
故答案为：y＝．
16．（2024春 宿城区期末）饮水机中原有水的温度为20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热（此过程中，水温y℃与开机时间x分满足一次函数关系），当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开始下降（此过程中，水温y℃与开机时间x分成反比例函数关系），当水温降至20℃时，饮水机又自动开始加热，……如此循环下去（如图所示）．那么开机后56分钟时，水的温度是 50 ℃．
【解答】解：当0≤x≤8时，设水温y与开机时间x的函数关系为：y＝kx+b，
依据题意，得，
解得：，
故此函数解析式为：y＝10x+20；
在水温下降过程中，设水温y与开机时间x的函数关系式为：，
依据题意，得：，
解得：m＝800，
∴，
当y＝20时，，
解得：t＝x＝40，
∵56﹣40＝16＞8，
∴当x＝16时，．
故答案为：50．
17．（2024春 宁阳县期末）如图，在平面直角坐标系中，已知△AOB中，点B（﹣9，﹣3），以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△ABO缩小，则点B的对应点B′的坐标是 （﹣3，﹣1） ．
【解答】解：以原点O为位似中心，相似比为，在位似中心同侧把△ABO缩小，点B（﹣9，﹣3），
则点B的对应点B′的坐标为（﹣9×，﹣3×），即点B′的坐标为（﹣3，﹣1），
故答案为：（﹣3，﹣1）．
18．（2023秋 辽阳期末）同学们在物理课上做“小孔成像”实验．如图，蜡烛与带“小孔”的纸板之间的距离为10cm，当蜡烛火焰的高度AB是它在光屏上所成的像A'B高度的一半时，带“小孔”的纸板距离光屏 20 cm．
【解答】解：设带“小孔”的纸板距离光屏是x，
根据题意可得：，
解得：x＝20，
经检验x＝20是原方程的解，
则带“小孔”的纸板距离光屏是20cm，
故答案为：20．
三．解答题（共7小题）
19．（2023秋 冠县期末）解下列方程：
（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2；
（2）（x﹣2）（x﹣3）＝12．
【解答】解：（1）（2x+1）2＝（x﹣3）2，
（2x+1）2﹣（x﹣3）2＝0，
（，2x+1+x﹣3）（2x+1﹣x+3）＝0，
（3x﹣2）（x+4）＝0，
3x﹣2＝0或x+4＝0，
∴，x2＝﹣4；
（2）∵（x﹣2）（x﹣3）＝12，
∴x2﹣5x﹣6＝0，
∴（x﹣6）（x+1）＝0，
∴x﹣6＝0或x+1＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣1．
20．（2023秋 门头沟区期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且．
（1）求证：△ACD∽△ABC；
（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
【解答】（1）证明：∵＝，∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC；
（2）解：∵△ACD∽△ABC，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴∠ADC＝∠BDC，
∵∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD，
∴＝，
∴＝，
∴CD＝．
21．（2023秋 黄埔区期末）随着信息技术的迅猛发展，人们去商场购物的支付方式更加多样、便捷，现有“微信”、“支付宝”、“银行卡”和“现金”四种支付方式．
（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”的概率是 ；
（2）在一次购物中，小嘉和小琪都想从“微信”、“支付宝”和“银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率（用画树状图法或列表法求解）．
【解答】解：（1）若随机选一种方式进行支付，则恰巧是“现金”支付方式的概率为，
故答案为；
（2）树状图如图，由树状图可知，共有9种等可能结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，故P（两人恰好选择同一种支付方式）为．
22．（2023秋 冠县期末）如图，点P是反比例函数的图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，连接OP，△AOP的面积为6．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若OA＝4，点B是反比例函数上的点，当S△OAB＝12时，直接写出点B的坐标．
【解答】解：（1）由于P为反比例函数y＝的图象上一点，
∴S△AOP＝|k|＝6，
又∵函数位于第二象限，
∴k＝﹣12，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
（2）设点B（a，﹣），
∵OA＝4，S△OAB＝12，
∴×4×|﹣|＝12，
∴a＝±2，
∵点B在第二象限，
∴点B（﹣2，6）．
23．（2023秋 乐山期末）如图，在△ABC中，AD是BC上的高，且BC＝3，AD＝2，矩形EFGH的顶点F、G在边BC上，顶点E、H分别在边AB、AC上．
（1）设EF＝x（0＜x＜2），矩形EFGH的周长为y，求y关于x的函数解析式；（2）当EFGH为正方形时，求正方形EFGH的面积．
【解答】解：（1）设AD与EH的交点为M，
∵四边形EFGH是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∴，
∵EF＝DM＝x，AD＝2，
∴AM＝2﹣x，
∴，
∴EH＝（2﹣x），
∴y＝2（EF+EH）＝2x+6﹣3x＝6﹣x（0＜x＜2）；
（2）∵EFGH为正方形，
∴EF＝EH，
∴x＝（2﹣x），
∴x＝，
∴EF＝，
∴正方形EFGH的面积＝．
24．（2024春 朝阳区期末）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，AC平分∠DAB，连接BD交AC于点O，过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若OA＝4，OB＝3，求CE的长．
【解答】（1）证明：∵AB∥CD，AD∥BC，
∴∠BAC＝∠DCA，四边形ABCD是平行四边形，
∵AC平分∠DAB，
∴∠BAC＝∠DAC，
∴∠DCA＝∠DAC，
∴CD＝AD，
∴ ABCD是菱形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，OA＝4，OB＝3，
∴AC⊥BD，AC＝2OA＝8，BD＝2OB＝6，
∴∠AOB＝90°，
∴AB＝＝＝5，
∵CE⊥AB，
∴S菱形ABCD＝AB CE＝AC BD，
即5CE＝×8×6，
解得：CE＝，
即CE的长为．
25．（2021秋 金川区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y＝的图象经过点A．
（1）求反比例函数的表达式；
（2）设一次函数y＝x+5的图象与反比例函数y＝的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积；
（3）根据图象直接写出关于x的不等式的解集．
【解答】解：（1）联立，解得，
∴A点坐标为（﹣2，4）．
将A（﹣2，4）代入y＝，得4＝．
∴k＝﹣8．
∴反比例函数的表达式为y＝﹣；
（2）联立，解得或．
∴B（﹣8，1）．
在y＝x+5中，令y＝0，得x＝﹣10．
故直线AB与x轴的交点为C（﹣10，0）．
如图，过A、B两点分别作x轴的垂线，交x轴于M、N两点，
则S△AOB＝S△AOC﹣S△BOC＝ OC AM﹣ OC BN＝×10×4﹣×10×1＝15．
（3）关于x的不等式的解集为﹣8＜x＜﹣2或x＞0．
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