期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 (1)（含解析）
文档属性
| 名称 | 期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版 (1)（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 748.7KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-28 14:20:29 | ||
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文档简介
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期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 上城区期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
2．（2023秋 宁波期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023秋 江岸区期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
4．（2023秋 上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
5．（2023秋 澧县期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
6．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
7．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
8．（2023秋 上城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
9．（2022秋 丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
10．（2023秋 龙马潭区期末）若点A（3，﹣5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为 ．
11．（2023秋 上城区期末）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
12．（2023秋 盘山县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
13．（2023秋 上城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ．
14．（2019秋 汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 ．
15．（2024 海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 cm．
16．（2023秋 北流市期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是线段AC上异于A，C的动点，将线段BE绕着点B顺时针旋转90°得到BF，连接CF，则△CEF的最大面积为 ．
17．（2021秋 聊城期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为 ．
三．解答题（共9小题）
18．（2022秋 环江县期末）解方程：x2﹣4x+3＝0．
19．（2023秋 齐河县期末）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 ；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
20．（2024 海淀区）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．
21．（2023秋 江都区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
22．（2023秋 东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值；
（2）已知M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的任意两点，对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
23．（2023秋 荔城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长．
24．（2023秋 岳阳县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为 ；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元/个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式．
①当x为多少时？销售总利润达到10000元．
②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
25．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．
26．（2023秋 石景山区期末）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d（单位：m）．训练情况如下：
第一次训练 第二次训练 第三次训练
训练成绩 d1＝8.39m d2 d3
最高点 P1（3，2.9） P2（4，3.6） P3（3，3.4）
满足的函数关系式 （a＜0）
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩d2为 m；
（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 上城区期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
【解答】解：A、圆内接四边形对角和是180°是必然事件，符合题意；
B、九年级开展篮球赛，901班获得冠军是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
D、打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况是随机事件，不符合题意；
故选：A．
2．（2023秋 宁波期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
3．（2023秋 江岸区期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故选：B．
4．（2023秋 上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
【解答】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是0.30，
故选：C．
5．（2023秋 澧县期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
故选：B．
6．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝39°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣39°＝51°，
故选：D．
7．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜45°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝30°，AB＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝75°，
∴∠C＝∠E＝60°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
故选：B．
8．（2023秋 上城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
【解答】解：设CD垂直平分OB于点F，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，
∴OF＝＝OB＝OC，
∴∠OCF＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，
∴∠E＝60°，
∵CE平分∠OCD，
∴∠EAD＝∠ECD＝15°，
∴∠EAB＝∠BAD+∠EAD＝45°，
∴∠BAE：∠E＝45°：60°＝3：4．
故选：B．
9．（2022秋 丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
⑤∵+bx1＝+bx2，
∴+bx1﹣﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
10．（2023秋 龙马潭区期末）若点A（3，﹣5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为 （﹣3，5） ．
【解答】解：∵点A（3，﹣5），点A与点B关于原点对称，
∴点B（﹣3，5）．
故答案为：（﹣3，5）．
11．（2023秋 上城区期末）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
【解答】解：∵有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，
∴卡片上的数是3的倍数的概率是：．
故答案为：．
12．（2023秋 盘山县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 m＞4 ．
【解答】解：由题意可知：Δ＜0，
∴16﹣4m＜0，
∴m＞4
故答案为：m＞4
13．（2023秋 上城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 （2，1） ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ﹣ ．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+4a+1＝a（x﹣2）2+1，
∴此函数的顶点坐标是（2，1），
若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，
∴x＝4时，y＝16a﹣16a+4a+1＝a﹣1，
∴a＝﹣，
故答案为：（2，1），﹣．
14．（2019秋 汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 2 ．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝2．
故答案为：2
15．（2024 海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 18 cm．
【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝6cm，
由题意可知，OB＝10cm，
∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm），
∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），
即这个水容器所能装水的最大深度是18cm．
16．（2023秋 北流市期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是线段AC上异于A，C的动点，将线段BE绕着点B顺时针旋转90°得到BF，连接CF，则△CEF的最大面积为 1 ．
【解答】解：∵将线段BE绕着点B顺时针旋转90°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
而四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴CF＝AE，
∵正方形的边长为2，
∴AC＝2，
设CE＝x，则AE＝2﹣x，
∴CF＝AE＝2﹣x，
∴△CEF的面积＝x（2﹣x）＝（﹣x2+2x﹣2）+1＝（x﹣）2+1，
∴当x＝时，△CEF的最大面积为1．
故答案为：1．
17．（2021秋 聊城期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为 40米 ．
【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
∴A（﹣40，0），B（40，0），E（0，200），
设内侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），
将（0，200）代入，得：200＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣，
∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+200，
将y＝150代入得：﹣x2+200＝150，
解得：x＝±20，
∴C（﹣20，150），D（20，150），
∴CD＝40m，
故答案为：40米．
三．解答题（共9小题）
18．（2022秋 环江县期末）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0或x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
19．（2023秋 齐河县期末）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 ；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【解答】解：（1）由题意得，小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为＝．
20．（2024 海淀区）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′＝45°，
而点B'在BC的延长线上．∠B＝45°，
∴∠AB′B＝45°，
∴∠BB′C′＝∠AB′C′+∠AB′B＝90°，
∴BB'⊥C'B'．
21．（2023秋 江都区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【解答】解：（1）b2﹣4ac
＝（k+3）2﹣4×1×（2k+2）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2，
∵不论k为何值，（k﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根．
（2）x＝，
x1＝＝﹣2，
x2＝＝﹣k﹣1，
∵方程的两个根都是负根，
∴﹣k﹣1＜0，
∴k＞﹣1．
22．（2023秋 东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值；
（2）已知M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的任意两点，对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，∵点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，
∴4a+2b+c＝c．
∴4a+2b＝0，即b＝﹣2a．
∴抛物线的对称轴是直线x＝t＝﹣＝﹣＝1．
故t＝1．
（2）如图，若点A（m，y1）与点B（m+1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
可得＝1，
解得m＝，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，
∴m≥．
故m的取值范围是m≥．
23．（2023秋 荔城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，
理由：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝4，
∴OA＝AB＝2，∠ADB＝90°，
∵∠C＝90°，∠CDB＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠CDB＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴＝＝，
∴的长为．
24．（2023秋 岳阳县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为 150（1+a）2＝216 ；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元/个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式．
①当x为多少时？销售总利润达到10000元．
②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
【解答】解：（1）150（1+a）2＝216；
故答案为：150（1+a）2＝216；
（2）①由题意可得：y＝（40﹣30+x）（600﹣10x），
令y＝10000，即 （40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
解得x1＝10，x2＝40．
∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元；
②∵y＝（40﹣30+x）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000，
∴当时，取得最大总利润，
此时y＝12250．
25．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ODA+∠ODB＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵∠B＝∠CDA，
∴∠ODB＝∠CDA，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连接OE，如图，
∵E为的中点，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠BOE＝2∠BDE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴OD＝DE＝2，
∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°，
∴CD＝OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．
26．（2023秋 石景山区期末）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d（单位：m）．训练情况如下：
第一次训练 第二次训练 第三次训练
训练成绩 d1＝8.39m d2 d3
最高点 P1（3，2.9） P2（4，3.6） P3（3，3.4）
满足的函数关系式 （a＜0）
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩d2为 10 m；
（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．
【解答】解：（1）由题意，抛物线过点（0，2），最高点P2（4，3.6），
又抛物线为（a＜0），
∴2＝a（0﹣4）2+3.6．
∴a＝﹣0.1．
∴第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
（2）由题意，由（1）第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
令y＝0，
∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
∴x＝10或x＝﹣2（x＝﹣2不合题意，舍去）．
∴小石第二次训练的成绩d2为 10 m．
故答案为：10．
（3）由题意，∵，
令y＝0，
∴d3＝x＝7.76 m．
又d1＝8.39 m，d2＝10 m，d3＝7.76 m，
∴d3＜d1＜d2．
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期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 上城区期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
2．（2023秋 宁波期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2023秋 江岸区期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
4．（2023秋 上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
5．（2023秋 澧县期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
6．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
7．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
8．（2023秋 上城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
9．（2022秋 丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共8小题）
10．（2023秋 龙马潭区期末）若点A（3，﹣5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为 ．
11．（2023秋 上城区期末）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
12．（2023秋 盘山县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 ．
13．（2023秋 上城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ．
14．（2019秋 汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 ．
15．（2024 海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 cm．
16．（2023秋 北流市期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是线段AC上异于A，C的动点，将线段BE绕着点B顺时针旋转90°得到BF，连接CF，则△CEF的最大面积为 ．
17．（2021秋 聊城期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为 ．
三．解答题（共9小题）
18．（2022秋 环江县期末）解方程：x2﹣4x+3＝0．
19．（2023秋 齐河县期末）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 ；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
20．（2024 海淀区）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．
21．（2023秋 江都区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
22．（2023秋 东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值；
（2）已知M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的任意两点，对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
23．（2023秋 荔城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长．
24．（2023秋 岳阳县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为 ；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元/个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式．
①当x为多少时？销售总利润达到10000元．
②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
25．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．
26．（2023秋 石景山区期末）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d（单位：m）．训练情况如下：
第一次训练 第二次训练 第三次训练
训练成绩 d1＝8.39m d2 d3
最高点 P1（3，2.9） P2（4，3.6） P3（3，3.4）
满足的函数关系式 （a＜0）
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩d2为 m；
（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册人教版
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
1．（2023秋 上城区期末）下列事件是必然事件的是（ ）
A．圆内接四边形对角和是180°
B．九年级开展篮球赛，901班获得冠军
C．抛掷一枚硬币，正面朝上
D．打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况
【解答】解：A、圆内接四边形对角和是180°是必然事件，符合题意；
B、九年级开展篮球赛，901班获得冠军是随机事件，不符合题意；
C、抛掷一枚硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
D、打开电视，正好播放神舟十七号载人飞船发射实况是随机事件，不符合题意；
故选：A．
2．（2023秋 宁波期末）已知⊙O的半径为5，点P在⊙O外，则OP的长可能是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：∵O的半径为5，点P在⊙O外，
∴OP＞5，
故选：D．
3．（2023秋 江岸区期末）将一元二次方程x2﹣2x﹣1＝0配方后所得的方程是（ ）
A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣1）2＝2 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣2）2＝2
【解答】解：x2﹣2x﹣1＝0，
x2﹣2x＝1，
x2﹣2x+1＝1+1，
（x﹣1）2＝2，
故选：B．
4．（2023秋 上城区期末）某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有两种卡片：“中奖”和“谢谢惠顾”（两种卡片形状大小相同、质地均匀）．下表是活动进行中的一组统计数据：
抽奖次数n 100 150 200 800 1000
抽到“中奖”卡片的次数m 38 56 69 258 299
中奖的频率 0.38 0.373 0.345 0.323 0.299
根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是（ ）
A．0.40 B．0.35 C．0.30 D．0.25
【解答】解：根据频率的稳定性，估计抽奖一次就中奖的概率约是0.30，
故选：C．
5．（2023秋 澧县期末）在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是（ ）
A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2
【解答】解：将抛物线y＝x2﹣4先向右平移2个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是y＝（x﹣2）2﹣4+2，即y＝（x﹣2）2﹣2．
故答案为：y＝（x﹣2）2﹣2．
故选：B．
6．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，连接BD，∠DCA＝39°，则∠ABC的度数是（ ）
A．39° B．45° C．49° D．51°
【解答】解：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DBC＝90°，
∵∠DBA＝∠DCA＝39°，
∴∠ABC＝∠DBC﹣∠DBA＝90°﹣39°＝51°，
故选：D．
7．（2023秋 上城区期末）如图，△ABC中，∠BAC＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转α（0°＜α＜45°）得到△ADE，DE交AC于点F．当α＝30°时，点D恰好落在BC上，则∠AFE＝（ ）
A．80° B．90° C．85° D．95°
【解答】解：∵将△ABC逆时针旋转α（0°＜α＜45°），得到△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，∠BAD＝∠CAE＝30°，AB＝AD，∠C＝∠E，
∴∠B＝75°，
∴∠C＝∠E＝60°，
∴∠AFE＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
故选：B．
8．（2023秋 上城区期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，点E在上，连接CE，AE．若CE平分∠OCD，则∠A：∠E＝（ ）
A．2：3 B．3：4 C．4：5 D．5：6
【解答】解：设CD垂直平分OB于点F，连接AD，
∵AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分OB，
∴OF＝＝OB＝OC，
∴∠OCF＝30°，
∴∠COB＝60°，
∴∠AOC＝120°，∠BAD＝30°，
∴∠E＝60°，
∵CE平分∠OCD，
∴∠EAD＝∠ECD＝15°，
∴∠EAB＝∠BAD+∠EAD＝45°，
∴∠BAE：∠E＝45°：60°＝3：4．
故选：B．
9．（2022秋 丰都县期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：
①abc＜0；
②2a+b＝0；
③m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；
④a﹣b+c＞0；
⑤若+bx1＝+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝2．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：①抛物线开口方向向上，则a＞0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab＜0．
抛物线与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，
所以abc＜0．
故①错误；
②∵抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a，即2a+b＝0，
故②正确；
③∵抛物线对称轴为直线x＝1，
∴函数的最小值为：a+b+c，
∴m为任意实数时，a+b≤m（am+b）；即a+b+c＜am2+bm+c，
故③正确；
④∵抛物线与x轴的一个交点在（3，0）的左侧，而对称轴为直线x＝1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在（﹣1，0）的右侧，
∴当x＝﹣1时，y＞0，
∴a﹣b+c＞0，
故④正确；
⑤∵+bx1＝+bx2，
∴+bx1﹣﹣bx2＝0，
∴a（x1+x2）（x1﹣x2）+b（x1﹣x2）＝0，
∴（x1﹣x2）[a（x1+x2）+b]＝0，
而x1≠x2，
∴a（x1+x2）+b＝0，即x1+x2＝﹣，
∵b＝﹣2a，
∴x1+x2＝2，
故⑤正确．
综上所述，正确的有②③④⑤．
故选：D．
二．填空题（共8小题）
10．（2023秋 龙马潭区期末）若点A（3，﹣5）与点B关于原点对称，则点B的坐标为 （﹣3，5） ．
【解答】解：∵点A（3，﹣5），点A与点B关于原点对称，
∴点B（﹣3，5）．
故答案为：（﹣3，5）．
11．（2023秋 上城区期末）有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的概率是 ．
【解答】解：∵有10张卡片，每张卡片上分别写有不同的从1到10的一个自然数，从中任意抽出一张卡片，卡片上的数是3的倍数的有3，6，9，
∴卡片上的数是3的倍数的概率是：．
故答案为：．
12．（2023秋 盘山县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣4x+m＝0没有实数根，则m的取值范围是 m＞4 ．
【解答】解：由题意可知：Δ＜0，
∴16﹣4m＜0，
∴m＞4
故答案为：m＞4
13．（2023秋 上城区期末）已知二次函数y＝ax2﹣4ax+4a+1（a≠0），则此函数的顶点坐标是 （2，1） ；若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，则a＝ ﹣ ．
【解答】解：∵y＝ax2﹣4ax+4a+1＝a（x﹣2）2+1，
∴此函数的顶点坐标是（2，1），
若a＜0，当1≤x≤4时，函数有最小值a﹣1，
∴x＝4时，y＝16a﹣16a+4a+1＝a﹣1，
∴a＝﹣，
故答案为：（2，1），﹣．
14．（2019秋 汶上县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD的长为 2 ．
【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，
∵OH⊥CD，
∴HC＝HD，
∵AP＝2，BP＝6，
∴AB＝8，
∴OA＝4，
∴OP＝OA﹣AP＝2，
在Rt△OPH中，∵∠OPH＝30°，
∴∠POH＝60°，
∴OH＝OP＝1，
在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，
∴CH＝，
∴CD＝2CH＝2．
故答案为：2
15．（2024 海淀区）“青山绿水，畅享生活”，人们经常将圆柱形竹筒改造成生活用具，图1所示是一个竹筒水容器，图2为该竹筒水容器的截面．已知截面的半径为10cm，开口AB宽为12cm，这个水容器所能装水的最大深度是 18 cm．
【解答】解：连接AB，OB，过点O作OC⊥AB于点C，延长CO交⊙O于点D，
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB＝6cm，
由题意可知，OB＝10cm，
∴在Rt△OBC中，OC＝＝8（cm），
∴CD＝OC+OD＝8+10＝18（cm），
即这个水容器所能装水的最大深度是18cm．
16．（2023秋 北流市期末）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是线段AC上异于A，C的动点，将线段BE绕着点B顺时针旋转90°得到BF，连接CF，则△CEF的最大面积为 1 ．
【解答】解：∵将线段BE绕着点B顺时针旋转90°得到BF，
∴BE＝BF，∠EBF＝90°，
而四边形ABCD为正方形，
∴AB＝BC，∠ABC＝90°，
∴∠ABE＝∠CBF，
∴△AEB≌△CFB（SAS），
∴CF＝AE，
∵正方形的边长为2，
∴AC＝2，
设CE＝x，则AE＝2﹣x，
∴CF＝AE＝2﹣x，
∴△CEF的面积＝x（2﹣x）＝（﹣x2+2x﹣2）+1＝（x﹣）2+1，
∴当x＝时，△CEF的最大面积为1．
故答案为：1．
17．（2021秋 聊城期末）如图①，“东方之门”通过简单的几何曲线处理，将传统文化与现代建筑融为一体，最大程度地传承了苏州的历史文化．如图②，“门”的内侧曲线呈抛物线形，已知其底部宽度为80米，高度为200米．则离地面150米处的水平宽度（即CD的长）为 40米 ．
【解答】解：以底部所在的直线为x轴，以线段AB的垂直平分线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，如图：
∴A（﹣40，0），B（40，0），E（0，200），
设内侧抛物线的解析式为y＝a（x+40）（x﹣40），
将（0，200）代入，得：200＝a（0+40）（0﹣40），
解得：a＝﹣，
∴内侧抛物线的解析式为y＝﹣x2+200，
将y＝150代入得：﹣x2+200＝150，
解得：x＝±20，
∴C（﹣20，150），D（20，150），
∴CD＝40m，
故答案为：40米．
三．解答题（共9小题）
18．（2022秋 环江县期末）解方程：x2﹣4x+3＝0．
【解答】解：x2﹣4x+3＝0
（x﹣1）（x﹣3）＝0
x﹣1＝0或x﹣3＝0
x1＝1，x2＝3．
19．（2023秋 齐河县期末）2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目．小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A、B、C、D四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．
（1）小明购买门票在A区观赛的概率为 ；
（2）求小明和小张在同一区域观看比赛的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由）
【解答】解：（1）由题意得，小明购买门票在A区观赛的概率为．
故答案为：．
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的结果有4种，
∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为＝．
20．（2024 海淀区）如图，在△ABC中，∠B＝45°，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，使点B'在BC的延长线上．求证：BB'⊥C'B'．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△AB'C'，
∴AB＝AB′，∠B＝∠AB′C′＝45°，
而点B'在BC的延长线上．∠B＝45°，
∴∠AB′B＝45°，
∴∠BB′C′＝∠AB′C′+∠AB′B＝90°，
∴BB'⊥C'B'．
21．（2023秋 江都区期末）已知关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2k+2＝0．
（1）求证：方程有两个实数根；
（2）若方程的两个根都是负根，求k的取值范围．
【解答】解：（1）b2﹣4ac
＝（k+3）2﹣4×1×（2k+2）
＝k2﹣2k+1
＝（k﹣1）2，
∵不论k为何值，（k﹣1）2≥0，
∴方程有两个实数根．
（2）x＝，
x1＝＝﹣2，
x2＝＝﹣k﹣1，
∵方程的两个根都是负根，
∴﹣k﹣1＜0，
∴k＞﹣1．
22．（2023秋 东城区期末）在平面直角坐标系xOy中，点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，设该抛物线的对称轴为直线x＝t．
（1）求t的值；
（2）已知M（x1，y1），N（x2，y2）是该抛物线上的任意两点，对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，求m的取值范围．
【解答】解：（1）由题意，∵点（2，c）在抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）上，
∴4a+2b+c＝c．
∴4a+2b＝0，即b＝﹣2a．
∴抛物线的对称轴是直线x＝t＝﹣＝﹣＝1．
故t＝1．
（2）如图，若点A（m，y1）与点B（m+1，y2）关于抛物线对称轴直线x＝1对称，
可得＝1，
解得m＝，
∵对于m＜x1＜m+1，m+1＜x2＜m+2，都有y1＜y2，
∴m≥．
故m的取值范围是m≥．
23．（2023秋 荔城区校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O外，∠ABC的平分线与⊙O交于点D，∠C＝90°．
（1）CD与⊙O有怎样的位置关系？请说明理由；
（2）若∠CDB＝60°，AB＝4，求的长．
【解答】解：（1）CD与⊙O相切，
理由：连接OD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠ABD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ODB＝∠CBD，
∴OD∥BC，
∵∠C＝90°，
∴∠ODC＝180°﹣∠C＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且CD⊥OD，
∴CD与⊙O相切．
（2）∵AB是⊙O的直径，且AB＝4，
∴OA＝AB＝2，∠ADB＝90°，
∵∠C＝90°，∠CDB＝60°，
∴∠ABD＝∠CBD＝90°﹣∠CDB＝30°，
∴∠AOD＝2∠ABD＝60°，
∴＝＝，
∴的长为．
24．（2023秋 岳阳县期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同．
（1）为求该品牌头盔销售量的月增长率，设增长率为a，依题意列方程为 150（1+a）2＝216 ；
（2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每涨价1元/个，则月销售量将减少10个，若该品牌头盔涨价x元/个，销售总利润为y，列出y与x的函数关系式．
①当x为多少时？销售总利润达到10000元．
②当x为多少时？销售总利润达到最大，求最大总利润．
【解答】解：（1）150（1+a）2＝216；
故答案为：150（1+a）2＝216；
（2）①由题意可得：y＝（40﹣30+x）（600﹣10x），
令y＝10000，即 （40﹣30+x）（600﹣10x）＝10000，
解得x1＝10，x2＝40．
∴当x为10或者40时，销售总利润达到10000元；
②∵y＝（40﹣30+x）（600﹣10x）＝﹣10x2+500x+6000，
∴当时，取得最大总利润，
此时y＝12250．
25．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，AB为⊙O的直径，点D为⊙O上一点，E为的中点，点C在BA的延长线上，且∠CDA＝∠B．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若DE＝2，∠BDE＝30°，求图中阴影部分的面积．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
即∠ODA+∠ODB＝90°，
∵OB＝OD，
∴∠B＝∠ODB，
∵∠B＝∠CDA，
∴∠ODB＝∠CDA，
∴∠ODA+∠CDA＝90°，
即∠ODC＝90°，
∴OD⊥CD，
∵OD为⊙O的半径，
∴CD为⊙O的切线；
（2）解：连接OE，如图，
∵E为的中点，
∴∠BOE＝∠DOE，
∵∠BOE＝2∠BDE＝60°，
∴∠DOE＝60°，
∵OD＝OE，
∴△ODE为等边三角形，
∴OD＝DE＝2，
∵∠COD＝180°﹣∠BOE﹣∠DOE＝60°，
∴CD＝OD＝2，
∴图中阴影部分的面积＝S△OCD﹣S扇形AOD＝×2×2﹣＝2﹣π．
26．（2023秋 石景山区期末）投掷实心球是北京市初中学业水平考试体育现场考试的选考项目之一．实心球被投掷后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．建立如图所示的平面直角坐标系，实心球从出手（点A处）到落地的过程中，其竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足二次函数关系．
小石进行了三次训练，每次实心球的出手点A的竖直高度为2m．记实心球运动路线的最高点为P，训练成绩（实心球落地点的水平距离）为d（单位：m）．训练情况如下：
第一次训练 第二次训练 第三次训练
训练成绩 d1＝8.39m d2 d3
最高点 P1（3，2.9） P2（4，3.6） P3（3，3.4）
满足的函数关系式 （a＜0）
根据以上信息，
（1）求第二次训练时满足的函数关系式；
（2）小石第二次训练的成绩d2为 10 m；
（3）直接写出训练成绩d1，d2，d3的大小关系．
【解答】解：（1）由题意，抛物线过点（0，2），最高点P2（4，3.6），
又抛物线为（a＜0），
∴2＝a（0﹣4）2+3.6．
∴a＝﹣0.1．
∴第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
（2）由题意，由（1）第二次训练时满足的函数关系式y＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6，
令y＝0，
∴0＝﹣0.1（x﹣4）2+3.6．
∴x＝10或x＝﹣2（x＝﹣2不合题意，舍去）．
∴小石第二次训练的成绩d2为 10 m．
故答案为：10．
（3）由题意，∵，
令y＝0，
∴d3＝x＝7.76 m．
又d1＝8.39 m，d2＝10 m，d3＝7.76 m，
∴d3＜d1＜d2．
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