期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版（含解析）
文档属性
| 名称 | 期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 2.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-28 14:21:45 | ||
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文档简介
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期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023秋 南京期末）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．（2023秋 船山区期末）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
4．（2021秋 义乌市期末）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．20，15 B．20，17.5 C．20，20 D．15，15
5．（2023秋 华安县校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2﹣3＝0 B．（x+4）2＝15
C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝﹣3
6．（2023秋 滁州期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．米
7．（2023秋 大兴区期末）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
8．（2023秋 富锦市校级期末）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
9．（2023秋 大兴区期末）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2023秋 潍城区期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.8千米，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 青龙县期末）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 ．
12．（2023秋 新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.7，S乙2＝0.2，S丙2＝1.2，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
13．（2023秋 建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
14．（2023秋 彰武县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 ．
15．（2022秋 双牌县期末）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是 ．
16．（2023秋 道县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为 米．
17．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ °．
18．（2023秋 富锦市校级期末）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝12，则△PDE的周长为 ．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 玄武区期末）解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x+1）2．
20．（2024春 汉中期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
21．（2023秋 赣榆区期末）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若（x1+x2）2+x1 x2+10＝0，求m的值．
22．（2023秋 安庆期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
23．（2023秋 盘州市期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式2x2+4x+5的最值．
解：2x2+4x+5
＝（2x2+4x）+5（分离常数项）
＝2（x2+2x）+5（提二次项系数）
（配方）
∵2（x+1）2≥0
∴2（x+1）2+3≥3
∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+5取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值；
（2）关于x的方程mx2﹣3（m+2）x+2m+7＝0（m≠0）．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
24．（2023秋 上城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
25．（2023秋 东坡区期末）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
26．（2023秋 苏州期末）大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达71.1%．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力≥5.0，视力正常；B．视力＝4.9，轻度视力不良；C.4.6≤视力≤4.8，中度视力不良；D．视力≤4.5，重度视力不良．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.7，4.8，4.7，4.7，4.8，4.7，4.7；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
八年级 4.82 a 4.9
九年级 4.82 4.8 4.7
（1）填空：a＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数．
27．（2023秋 南开区期末）在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率是（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：一元二次方程kx2＝3x+1化为一般式为kx2﹣3x﹣1＝0，
∵方程有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣且k≠0，
∴任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率＝＝．
故选：D．
2．（2023秋 南京期末）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，x前4个数据也是相差2，
若x＝9或x＝﹣1时，两组数据方差相等，
数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，
则x的值不可能是10．
故选：A．
3．（2023秋 船山区期末）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
【解答】解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，
∴3﹣a≠0，
解得a≠3．
故选：B．
4．（2021秋 义乌市期末）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．20，15 B．20，17.5 C．20，20 D．15，15
【解答】解：20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元．
故选：B．
5．（2023秋 华安县校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2﹣3＝0 B．（x+4）2＝15
C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝﹣3
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2﹣3＝0，
故选：A．
6．（2023秋 滁州期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．米
【解答】解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：A．
7．（2023秋 大兴区期末）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2，
故选：C．
8．（2023秋 富锦市校级期末）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
【解答】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得：
．
故选：D．
9．（2023秋 大兴区期末）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：①当点B，O，P三点在同一条直线上时，BP为⊙O的直径，
∴∠PAB＝90°，故正确，符合题意；
②∵OP垂直于AB，OA＝OB，
∴∠OAP＝∠OBP；故正确，符合题意；
③如图，当点P在优弧APB上时，
∠APB＝∠AOB，
当点P在劣弧AB上时，
∠AP′B＝180°﹣∠APB＝180°﹣AOB，
∵∠APB与∠AP′B不一定相等，
∴∠APB的大小会变化，故③错误，不符合题意，
故选：A．
10．（2023秋 潍城区期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.8千米，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵CA，CB是切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴∠AOB+∠ACB＝180°，
∵∠ACB+α＝180°，
∴∠AOB＝α＝60°，
∴的长＝＝．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 青龙县期末）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 4 ．
【解答】解：数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，
将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．
故答案为：4．
12．（2023秋 新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.7，S乙2＝0.2，S丙2＝1.2，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
【解答】解：∵S甲2＝0.7，S乙2＝0.2，S丙2＝1.2，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．
13．（2023秋 建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
【解答】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个，
∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是＝，
故答案为：．
14．（2023秋 彰武县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 ﹣11 ．
【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣3x+2＝0得a2﹣3a+2＝0，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴4a2﹣12a﹣3
＝4（a2﹣3a）﹣3
＝4×（﹣2）﹣3
＝﹣11．
故答案为：﹣11．
方法二：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
∴a＝2或1，
∴4a2﹣12a﹣3＝﹣11．
故答案为：﹣11．
15．（2022秋 双牌县期末）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是 10或6或12 ．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x＝2或x＝4，
∵等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2＝4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4＝10．
当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2＝6．
当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4＝12．
∴这个三角形的周长为10或6或12．
故答案为：10或6或12．
16．（2023秋 道县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为 2 米．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形．
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540，
解得：x1＝2，x2＝50（舍去）．
故答案为：2．
17．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ 105 °．
【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，
∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．
∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，
∴∠NAB＝90°，AB＝AN，
∴∠NAO＝30°，OA＝AN，
∴∠AON＝∠ANO＝＝75°，
∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．
故答案为：105．
18．（2023秋 富锦市校级期末）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝12，则△PDE的周长为 24 ．
【解答】解：∵PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，且PA＝12．
∴PA＝PB＝12，
∵过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DC＝DA，EC＝EB，
∴PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝12+12＝24，
∴△PDE的周长为24，
故答案为：24．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 玄武区期末）解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x+1）2．
【解答】解：（1）3x2﹣2x﹣1＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1；
（2）（2x﹣1）2＝（x+1）2，
（2x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，
（2x﹣1+x+1）（2x﹣1﹣x﹣1）＝0，
3x（x﹣2）＝0，
∴3x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
20．（2024春 汉中期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
【解答】解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，
所以指针指向奇数区域的概率是；
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，
所以指针指向的数小于或等于5的概率是．
21．（2023秋 赣榆区期末）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若（x1+x2）2+x1 x2+10＝0，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，
解得m≤6；
（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，
∵（x1+x2）2+x1 x2+10＝0，
∴22+m﹣5+10＝0，
∴m＝﹣9．
22．（2023秋 安庆期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝×10＝5，
∴AM＝＝＝5，
∴AE＝2AM＝2×5＝10．
23．（2023秋 盘州市期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式2x2+4x+5的最值．
解：2x2+4x+5
＝（2x2+4x）+5（分离常数项）
＝2（x2+2x）+5（提二次项系数）
（配方）
∵2（x+1）2≥0
∴2（x+1）2+3≥3
∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+5取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值；
（2）关于x的方程mx2﹣3（m+2）x+2m+7＝0（m≠0）．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：﹣a2+6a﹣4
＝﹣（a2﹣6a）﹣4
＝﹣（a2﹣6a+9﹣9）﹣4
＝﹣[（a﹣3）2﹣9]﹣4
＝﹣（a﹣3）2+5，
∵﹣（a﹣3）2≤0，
∴﹣（a﹣3）2+5≤5，
∴当a＝3时，代数式﹣a2+6a﹣4取得最大值是5；
（2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣3（m+2）]2﹣4m（2m+7）
＝9（m2+4m+4）﹣8m2﹣28m
＝9m2+36m+36﹣8m2﹣28m
＝m2+8m+36
＝（m+4）2+20，
∵（m+4）2≥0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2+20≥20＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
24．（2023秋 上城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OC，则CG⊥OD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△COD是正三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CG⊥OD，
∴OG＝DG＝OD＝2，
∴OC＝2OG＝4，
即正六边形的边长为4；
（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，
∴CG＝OG＝2，
∴S阴影部分＝S扇形COD﹣S△COD
＝﹣×4×2
＝﹣4．
25．（2023秋 东坡区期末）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
26．（2023秋 苏州期末）大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达71.1%．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力≥5.0，视力正常；B．视力＝4.9，轻度视力不良；C.4.6≤视力≤4.8，中度视力不良；D．视力≤4.5，重度视力不良．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.7，4.8，4.7，4.7，4.8，4.7，4.7；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
八年级 4.82 a 4.9
九年级 4.82 4.8 4.7
（1）填空：a＝ 4.9 ，m＝ 20 ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数．
【解答】解：（1）八年级学生的视力按从小到大的顺序排序后，第10个数据和第11个数据都是4.9，
∴a＝＝4.9，
20×25%＝5，20×%15＝3，C组人数为8，
∴B组人数为20﹣5﹣3﹣8＝4，
∴m%＝100%＝20%，
∴m＝20，
故答案为：4.9，20；
（2）∵八年级和九年级学生的视力的平均数相等，而八年级学生的视力的中位数和众数均高于九年级，
∴八年级学生的视力情况谁更健康；
（3）500×＝150（人），
估计八年级学生视力正常的人数为150人．
27．（2023秋 南开区期末）在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OA为半径的圆与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ADO＝25°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°，
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；
（2）连接OF，OD，
由（1）得：OD∥AC，
∴∠AFO＝∠FOD，
∵OA＝OF，点F为的中点，
∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，
∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵OA＝OD＝2，
∴OB＝2OD＝4，
∴AB＝OA+OB＝6．
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期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率是（ ）
A． B．1 C． D．
2．（2023秋 南京期末）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
3．（2023秋 船山区期末）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
4．（2021秋 义乌市期末）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．20，15 B．20，17.5 C．20，20 D．15，15
5．（2023秋 华安县校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2﹣3＝0 B．（x+4）2＝15
C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝﹣3
6．（2023秋 滁州期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．米
7．（2023秋 大兴区期末）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
8．（2023秋 富锦市校级期末）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
9．（2023秋 大兴区期末）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
10．（2023秋 潍城区期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.8千米，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 青龙县期末）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 ．
12．（2023秋 新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.7，S乙2＝0.2，S丙2＝1.2，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
13．（2023秋 建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
14．（2023秋 彰武县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 ．
15．（2022秋 双牌县期末）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是 ．
16．（2023秋 道县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为 米．
17．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ °．
18．（2023秋 富锦市校级期末）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝12，则△PDE的周长为 ．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 玄武区期末）解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x+1）2．
20．（2024春 汉中期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
21．（2023秋 赣榆区期末）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若（x1+x2）2+x1 x2+10＝0，求m的值．
22．（2023秋 安庆期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
23．（2023秋 盘州市期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式2x2+4x+5的最值．
解：2x2+4x+5
＝（2x2+4x）+5（分离常数项）
＝2（x2+2x）+5（提二次项系数）
（配方）
∵2（x+1）2≥0
∴2（x+1）2+3≥3
∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+5取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值；
（2）关于x的方程mx2﹣3（m+2）x+2m+7＝0（m≠0）．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
24．（2023秋 上城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
25．（2023秋 东坡区期末）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
26．（2023秋 苏州期末）大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达71.1%．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力≥5.0，视力正常；B．视力＝4.9，轻度视力不良；C.4.6≤视力≤4.8，中度视力不良；D．视力≤4.5，重度视力不良．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.7，4.8，4.7，4.7，4.8，4.7，4.7；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
八年级 4.82 a 4.9
九年级 4.82 4.8 4.7
（1）填空：a＝ ，m＝ ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数．
27．（2023秋 南开区期末）在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册苏科版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 泉州期末）如图，在一个不透明的纸箱中，装有4张标有数字的卡片，卡片除所标数字不同外无其他差别，现从中任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率是（ ）
A． B．1 C． D．
【解答】解：一元二次方程kx2＝3x+1化为一般式为kx2﹣3x﹣1＝0，
∵方程有实数根，
∴k≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4k×（﹣1）≥0，
解得k≥﹣且k≠0，
∴任取一张卡片，将其数字记为k，则使一元二次方程kx2＝3x+1有实数根的概率＝＝．
故选：D．
2．（2023秋 南京期末）若一组数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，则x不可以是（ ）
A．10 B．8 C．6 D．4
【解答】解：数据11、13、15、17、19中，相邻两个数相差为2，一组数据1，3，5，7，x前4个数据也是相差2，
若x＝9或x＝﹣1时，两组数据方差相等，
数据1、3、5、7、x的方差比另一组数据11、13、15、17、19的方差小，
则x的值不可能是10．
故选：A．
3．（2023秋 船山区期末）若关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，则a的取值范围（ ）
A．a≠0 B．a≠3 C．a＜3 D．a＞3
【解答】解：∵关于x的方程（3﹣a）x2﹣x＝0是一元二次方程，
∴3﹣a≠0，
解得a≠3．
故选：B．
4．（2021秋 义乌市期末）为调查某班学生每天使用零花钱的情况，小明随机调查了30名同学，结果如表：
每天使用零花钱（单位：元） 5 10 15 20 25
人数 2 5 8 9 6
则这30名同学每天使用的零花钱的众数和中位数分别是（ ）
A．20，15 B．20，17.5 C．20，20 D．15，15
【解答】解：20出现了9次，出现的次数最多，所以这30名同学每天使用的零花钱的众数为20元；
30个数据中，第15个和第16个数分别为15、20，它们的平均数为17.5，所以这30名同学每天使用的零花钱的中位数为17.5元．
故选：B．
5．（2023秋 华安县校级期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x+1＝0，下列变形正确的是（ ）
A．（x﹣2）2﹣3＝0 B．（x+4）2＝15
C．（x+2）2＝3 D．（x﹣2）2＝﹣3
【解答】解：x2﹣4x+1＝0，
x2﹣4x＝﹣1，
x2﹣4x+4＝﹣1+4，
（x﹣2）2﹣3＝0，
故选：A．
6．（2023秋 滁州期末）高速公路的隧道和桥梁最多，如图是一个隧道的横截面，若它的形状是以O为圆心的圆的一部分，路面AB＝8米，净高CD＝8米，则此圆的半径OA＝（ ）
A．5米 B．米 C．6米 D．米
【解答】解：设⊙O的半径是r米，
∵CD⊥AB，
∴AD＝AB＝4（米），
∵OA2＝OD2+AD2，
∴r2＝（8﹣r）2+42，
∴r＝5，
∴⊙O的半径OA是5米．
故选：A．
7．（2023秋 大兴区期末）如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为（ ）
A．2 B．2 C．2 D．4
【解答】解：如图：连接OB，
∵BD是⊙O的切线，
∴∠OBD＝90°，
∵四边形OABC为菱形，
∴OA＝AB，
∵OA＝OB，
∴OA＝OB＝AB，
∴△OAB为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴∠ODB＝30°，
∴OD＝2OB＝4，
由勾股定理得，BD＝＝2，
故选：C．
8．（2023秋 富锦市校级期末）某年级举办篮球友谊赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，共要比赛36场，共有多少个球队参加比赛？设有x个球队参加比赛，则可列方程为（ ）
A．x（x+1）＝36 B．x（x﹣1）＝36
C． D．
【解答】解：设有x个球队参加比赛，根据题意得：
．
故选：D．
9．（2023秋 大兴区期末）如图，点A，B在⊙O上，且点A，O，B不在同一条直线上，点P是⊙O上一个动点（点P不与点A，B重合），在点P运动的过程中，有如下四个结论：
①恰好存在一点P，使得∠PAB＝90°；
②若直线OP垂直于AB，则∠OAP＝∠OBP；
③∠APB的大小始终不变．
上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【解答】解：①当点B，O，P三点在同一条直线上时，BP为⊙O的直径，
∴∠PAB＝90°，故正确，符合题意；
②∵OP垂直于AB，OA＝OB，
∴∠OAP＝∠OBP；故正确，符合题意；
③如图，当点P在优弧APB上时，
∠APB＝∠AOB，
当点P在劣弧AB上时，
∠AP′B＝180°﹣∠APB＝180°﹣AOB，
∵∠APB与∠AP′B不一定相等，
∴∠APB的大小会变化，故③错误，不符合题意，
故选：A．
10．（2023秋 潍城区期末）中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A到B行驶的过程中转角α为60°．若圆曲线的半径OA＝1.8千米，则这段圆曲线的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵CA，CB是切线，
∴OA⊥AC，OB⊥CB，
∴∠OAC＝∠OBC＝90°，
∴∠AOB+∠ACB＝180°，
∵∠ACB+α＝180°，
∴∠AOB＝α＝60°，
∴的长＝＝．
故选：C．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 青龙县期末）若一组数据3，4，x，6，7的众数是3，则这组数据的中位数为 4 ．
【解答】解：数据3，4，x，6，7的众数是3，因此x＝3，
将数据3，4，3，6，7排序后处在第3位的数是4，因此中位数是4．
故答案为：4．
12．（2023秋 新吴区期末）甲、乙、丙三名运动员在5次射击训练中，平均成绩都是8.5环，方差分别是S甲2＝0.7，S乙2＝0.2，S丙2＝1.2，则这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是 乙 （填“甲”或“乙”或“丙”）．
【解答】解：∵S甲2＝0.7，S乙2＝0.2，S丙2＝1.2，
∴S乙2＜S甲2＜S丙2，
∴这三名运动员中5次训练成绩最稳定的是乙．
故答案为：乙．
13．（2023秋 建邺区期末）如图，一块飞镖游戏板由除颜色外都相同的9个小正方形构成．假设飞镖击中每1块小正方形是等可能的（击中小正方形的边界或没有击中游戏板，则重投一次）．任意投掷飞镖一次，击中黑色区域的概率是 ．
【解答】解：∵共有9种小正方形，其中黑色正方形的有3个，
∴小刚任意投掷飞镖一次，刚好击中黑色区域的概率是＝，
故答案为：．
14．（2023秋 彰武县期末）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+2＝0的一个实数根是a，则4a2﹣12a﹣3的值为 ﹣11 ．
【解答】解：把x＝a代入方程x2﹣3x+2＝0得a2﹣3a+2＝0，
∴a2﹣3a＝﹣2，
∴4a2﹣12a﹣3
＝4（a2﹣3a）﹣3
＝4×（﹣2）﹣3
＝﹣11．
故答案为：﹣11．
方法二：x2﹣3x+2＝0，
（x﹣2）（x﹣1）＝0，
∴x＝2或x＝1，
∴a＝2或1，
∴4a2﹣12a﹣3＝﹣11．
故答案为：﹣11．
15．（2022秋 双牌县期末）等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，则这个三角形的周长是 10或6或12 ．
【解答】解：∵x2﹣6x+8＝0，
∴（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x＝2或x＝4，
∵等腰三角形的边长是方程x2﹣6x+8＝0的解，
∴当2是等腰三角形的腰时，2+2＝4，不能组成三角形，舍去；
当4是等腰三角形的腰时，2+4＞4，则这个三角形的周长为2+4+4＝10．
当边长为2的等边三角形，得出这个三角形的周长为2+2+2＝6．
当边长为4的等边三角形，得出这个三角形的周长为4+4+4＝12．
∴这个三角形的周长为10或6或12．
故答案为：10或6或12．
16．（2023秋 道县期末）如图所示，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪．要使草坪的面积为540平方米，则道路的宽为 2 米．
【解答】解：∵道路的宽为x米，
∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣x）米，宽为（20﹣x）米的矩形．
依题意得：（32﹣x）（20﹣x）＝540，
解得：x1＝2，x2＝50（舍去）．
故答案为：2．
17．（2023秋 楚雄市校级期末）如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，连接OD，ON，则∠DON＝ 105 °．
【解答】解：连接OA，OB，OE，OF，如图，
∵点O是正六边形ABCDEF的中心，
∴OA＝OB＝OF＝OE＝OD，∠AOB＝∠AOF＝∠FOE＝∠EOD＝60°，
∴△OAB为等边三角形，∠AOF+∠FOE+∠EOD＝180°，
∴D，O，A在一条直线上，∠OAB＝60°，OA＝AB．
∵以AB为边在正六边形ABCDEF的内部作正方形ABMN，
∴∠NAB＝90°，AB＝AN，
∴∠NAO＝30°，OA＝AN，
∴∠AON＝∠ANO＝＝75°，
∴∠NOD＝180°﹣∠AON＝105°．
故答案为：105．
18．（2023秋 富锦市校级期末）如图，P是⊙O外一点，PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，C是弧AB上任意一点，过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，若PA＝12，则△PDE的周长为 24 ．
【解答】解：∵PA、PB分别和⊙O相切于点A、B，且PA＝12．
∴PA＝PB＝12，
∵过C作⊙O的切线分别交PA、PB于点D、E，
∴DC＝DA，EC＝EB，
∴PD+DE+PE＝PD+DC+EC+PE＝PD+DA+EB+PE＝PA+PB＝12+12＝24，
∴△PDE的周长为24，
故答案为：24．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 玄武区期末）解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣2x﹣1＝0；
（2）（2x﹣1）2＝（x+1）2．
【解答】解：（1）3x2﹣2x﹣1＝0，
（3x+1）（x﹣1）＝0，
∴3x+1＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝﹣，x2＝1；
（2）（2x﹣1）2＝（x+1）2，
（2x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，
（2x﹣1+x+1）（2x﹣1﹣x﹣1）＝0，
3x（x﹣2）＝0，
∴3x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝2．
20．（2024春 汉中期末）如图，转盘被分成六个相同的扇形，并在上面依次写上数字：2，3，4，5，6，7．指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止．
（1）当转盘停止时，指针指向奇数区域的概率是多少？
（2）当转盘停止时，指针指向的数小于或等于5的概率是多少？
【解答】解：（1）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向奇数区域3，5，7有3种结果，
所以指针指向奇数区域的概率是；
（2）当转盘停止转动时，指针指向数字区域2，3，4，5，6，7的机会是均等的，故共有6种均等的结果，其中指针指向的数小于或等于5区域2，3，4，5有4种结果，
所以指针指向的数小于或等于5的概率是．
21．（2023秋 赣榆区期末）方程x2﹣2x+m﹣5＝0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1，x2．
（1）求m的取值范围．
（2）若（x1+x2）2+x1 x2+10＝0，求m的值．
【解答】解：（1）根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4（m﹣5）≥0，
解得m≤6；
（2）根据题意得x1+x2＝2，x1x2＝m﹣5，
∵（x1+x2）2+x1 x2+10＝0，
∴22+m﹣5+10＝0，
∴m＝﹣9．
22．（2023秋 安庆期末）已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°．
（1）求证：直线AD是⊙O的切线；
（2）若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为10，求AE的长．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵∠AEC＝30°，
∴∠B＝∠AEC＝30°，∠AOC＝2∠AEC＝60°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠OAD＝180°﹣∠AOC﹣∠D＝90°，
∵OA是⊙O的半径，且AD⊥OA，
∴直线AD是⊙O的切线．
（2）解：如图，∵BC是⊙O的直径，且AE⊥BC于点M，
∴AM＝EM，
∵∠AMO＝90°，∠AOM＝60°，
∴∠OAM＝30°，
∴OM＝OA＝×10＝5，
∴AM＝＝＝5，
∴AE＝2AM＝2×5＝10．
23．（2023秋 盘州市期末）配方法不仅可以解一元二次方程，还可以求最值．
例如：求代数式2x2+4x+5的最值．
解：2x2+4x+5
＝（2x2+4x）+5（分离常数项）
＝2（x2+2x）+5（提二次项系数）
（配方）
∵2（x+1）2≥0
∴2（x+1）2+3≥3
∴当x＝﹣1时，代数式2x2+4x+5取得最小值是3
运用以上方法，解答下列问题：
（1）求代数式﹣a2+6a﹣4的最值；
（2）关于x的方程mx2﹣3（m+2）x+2m+7＝0（m≠0）．求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：﹣a2+6a﹣4
＝﹣（a2﹣6a）﹣4
＝﹣（a2﹣6a+9﹣9）﹣4
＝﹣[（a﹣3）2﹣9]﹣4
＝﹣（a﹣3）2+5，
∵﹣（a﹣3）2≤0，
∴﹣（a﹣3）2+5≤5，
∴当a＝3时，代数式﹣a2+6a﹣4取得最大值是5；
（2）证明：∵Δ＝b2﹣4ac
＝[﹣3（m+2）]2﹣4m（2m+7）
＝9（m2+4m+4）﹣8m2﹣28m
＝9m2+36m+36﹣8m2﹣28m
＝m2+8m+36
＝（m+4）2+20，
∵（m+4）2≥0，
∴Δ＝b2﹣4ac＝（m+4）2+20≥20＞0，
∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根．
24．（2023秋 上城区期末）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，连接AD、CE交于点G，DG＝2．
（1）求正六边形ABCDEF的边长；
（2）求阴影部分的面积．
【解答】解：（1）如图，连接OC，则CG⊥OD，
∵正六边形ABCDEF内接于⊙O，
∴△COD是正三角形，
∴∠COD＝60°，
∵CG⊥OD，
∴OG＝DG＝OD＝2，
∴OC＝2OG＝4，
即正六边形的边长为4；
（2）在Rt△COD中，OG＝2，∠COG＝60°，
∴CG＝OG＝2，
∴S阴影部分＝S扇形COD﹣S△COD
＝﹣×4×2
＝﹣4．
25．（2023秋 东坡区期末）某区各街道居民积极响应“创文明社区”活动，据了解，某街道居民人口共有7.5万人，街道划分为A，B两个社区，B社区居民人口数量不超过A社区居民人口数量的2倍．
（1）求A社区居民人口至少有多少万人？
（2）街道工作人员调查A，B两个社区居民对“社会主义核心价值观”知晓情况发现：A社区有1.2万人知晓，B社区有1万人知晓，为了提高知晓率，街道工作人员用了两个月的时间加强宣传，A社区的知晓人数平均月增长率为m%，B社区的知晓人数第一个月增长了m%，第二个月增长了2m%，两个月后，街道居民的知晓率达到76%，求m的值．
【解答】解：（1）设A社区居民人口有x万人，则B社区有（7.5﹣x）万人，
依题意得：7.5﹣x≤2x，
解得x≥2.5．
即A社区居民人口至少有2.5万人；
（2）依题意得：1.2（1+m%）2+1×（1+m%）×（1+2m%）＝7.5×76%
设m%＝a，方程可化为：
1.2（1+a）2+（1+a）（1+2a）＝5.7
化简得：32a2+54a﹣35＝0
解得a＝0.5或a＝﹣（舍）
∴m＝50
答：m的值为50．
26．（2023秋 苏州期末）大数据监测显示，我国中学生的总体近视率达71.1%．为了了解学生的视力健康情况，某校从八、九年级各随机抽取20名学生进行视力检查，并对其视力情况的数据进行整理和分析．视力情况共分4组：A．视力≥5.0，视力正常；B．视力＝4.9，轻度视力不良；C.4.6≤视力≤4.8，中度视力不良；D．视力≤4.5，重度视力不良．下面给出了部分信息：
抽取的八年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.6，4.7，4.7，4.8，4.8；
抽取的九年级学生的视力在C组的数据是：4.6，4.7，4.8，4.7，4.7，4.8，4.7，4.7；
被抽取的八、九年级学生视力的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
八年级 4.82 a 4.9
九年级 4.82 4.8 4.7
（1）填空：a＝ 4.9 ，m＝ 20 ；
（2）根据以上数据分析，你认为该校八年级和九年级学生的视力情况谁更健康，请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校八年级共有学生500人，请估计八年级学生视力正常的人数．
【解答】解：（1）八年级学生的视力按从小到大的顺序排序后，第10个数据和第11个数据都是4.9，
∴a＝＝4.9，
20×25%＝5，20×%15＝3，C组人数为8，
∴B组人数为20﹣5﹣3﹣8＝4，
∴m%＝100%＝20%，
∴m＝20，
故答案为：4.9，20；
（2）∵八年级和九年级学生的视力的平均数相等，而八年级学生的视力的中位数和众数均高于九年级，
∴八年级学生的视力情况谁更健康；
（3）500×＝150（人），
估计八年级学生视力正常的人数为150人．
27．（2023秋 南开区期末）在△ABC中，∠C＝90°，以边AB上一点O为圆心，OA为半径的圆与BC相切于点D，分别交AB，AC于点E，F．
（1）如图①，连接AD，若∠CAD＝25°，求∠B的大小；
（2）如图②，若点F为的中点，⊙O的半径为2，求AB的长．
【解答】解：（1）连接OD，
∵OA为半径的圆与BC相切于点D，
∴OD⊥BC，
∴∠ODB＝90°，
∵在△ABC中，∠C＝90°，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴∠CAD＝∠ADO＝25°，
∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ODA＝25°，
∴∠BOD＝2∠OAD＝50°，
∴∠B＝90°﹣∠BOD＝40°；
（2）连接OF，OD，
由（1）得：OD∥AC，
∴∠AFO＝∠FOD，
∵OA＝OF，点F为的中点，
∴∠A＝∠AFO，∠AOF＝∠FOD，
∴∠A＝∠AFO＝∠AOF＝60°，
∴∠B＝90°﹣∠A＝30°，
∵OA＝OD＝2，
∴OB＝2OD＝4，
∴AB＝OA+OB＝6．
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