期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版（含解析）
文档属性
| 名称 | 期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版（含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 887.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-12-28 14:21:23 | ||
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文档简介
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期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 滨海新区校级期末）如图的三视图对应的物体是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋 济阳区期末）如果，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 锦江区校级期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
4．（2023秋 东明县期末）点（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，6） B．（3，4） C．（﹣6，﹣2） D．（﹣4，3）
5．（2023秋 东莞市期末）配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝0
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
6．（2023秋 官渡区期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力．某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为28场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝28
C．2x（x﹣1）＝28 D．x2＝28
7．（2023秋 南山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
8．（2023秋 裕华区校级期末）如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
9．（2023秋 梁溪区校级期末）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
10．（2023秋 泉州期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（ ）
A．4m B．8m C．12m D．16m
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 罗定市期末）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
12．（2023秋 新洲区期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 、100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到0.1）
13．（2023秋 上城区期末）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ．（只需写出一个条件即可）
14．（2023秋 东辽县期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 米．
15．（2022秋 高新区校级期末）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为 ．
16．（2023秋 宝鸡期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为 ．
17．（2023秋 交口县期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ．
18．（2023秋 秀屿区校级期末）如图，过点O作直线与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是 ．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 微山县期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+5x﹣1＝0；
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
20．（2023秋 和县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
21．（2023秋 罗定市校级期末）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 ；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
22．（2023秋 临泉县期末）在《数书九章》（宋 秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人跟到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上，已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，求塔AB的高度．
23．（2023秋 上城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
24．（2023秋 济阳区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m．
（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
25．（2023秋 福州期末）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
26．（2022秋 源城区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝4，AD＝5，求AC的长．
27．（2023秋 金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点M在x轴上，以M、A、B为顶点的三角形与△BOD相似时，求点M的坐标；
（3）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 滨海新区校级期末）如图的三视图对应的物体是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，
故选：D．
2．（2023秋 济阳区期末）如果，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴＝．
故选：C．
3．（2023秋 锦江区校级期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
【解答】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝12，
则白球有30﹣12＝18个；
故选：C．
4．（2023秋 东明县期末）点（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，6） B．（3，4） C．（﹣6，﹣2） D．（﹣4，3）
【解答】解：∵点P（﹣3，4）在y＝的图象上，
∴k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12，
∵2×6＝12≠﹣12，故选项A不符合题意，
∵3×4＝12≠﹣12，故选项B不符合题意，
∵﹣6×（﹣2）＝12≠﹣12，故选项C不符合题意，
∵﹣4×3＝﹣12，故选项D符合题意，
故选：D．
5．（2023秋 东莞市期末）配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝0
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【解答】解：方程2x2﹣x﹣2＝0变形得：x2﹣x＝1，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：D．
6．（2023秋 官渡区期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力．某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为28场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝28
C．2x（x﹣1）＝28 D．x2＝28
【解答】解：设参赛队伍有x支，则每只参赛队伍参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得：，
故选：A．
7．（2023秋 南山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故选：A．
8．（2023秋 裕华区校级期末）如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
【解答】解：设剪去的小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
∵纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，
∴（12﹣2x）（9﹣2x）＝70，
故选：D．
9．（2023秋 梁溪区校级期末）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵CB＝，
∴DE＝．
故选：A．
10．（2023秋 泉州期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（ ）
A．4m B．8m C．12m D．16m
【解答】解：连接EF，
∵甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CDB，
∴，
∵两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．
∴BC+CE＝2BF＝40+CE，
∴BF＝（40+CE）＝20+CE，
∴CF＝40﹣20﹣CE＝20﹣CE，
∴，
∴CE＝8（m），
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 罗定市期末）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 2024 ．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，α2+2α﹣2026＝0，
∴α2+2α＝2026，
∴α2+3α+β
＝（α2+2α）+（α+β）
＝2026+（﹣2）
＝2024，
故答案为：2024．
12．（2023秋 新洲区期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 、100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为 0.4 .（结果精确到0.1）
【解答】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为5÷10＝0.5，15÷50＝0.3，36÷100＝0.36，200÷500＝0.4，400÷1000＝0.4，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在0.4左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为0.4．
故答案为：0.4．
13．（2023秋 上城区期末）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ∠A＝∠C（答案不唯一） ．（只需写出一个条件即可）
【解答】解：添加∠A＝∠C，且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）．
14．（2023秋 东辽县期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 米．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥BE，交AF于点M，由于3FD＝2FA，可是AF＝x米，则DF＝x米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝．
解得x＝，
即AF＝米，
故答案为：．
15．（2022秋 高新区校级期末）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为 ﹣2 ．
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（2023秋 宝鸡期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为 22.5° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，
∵BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
17．（2023秋 交口县期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABP＝2，
∵S△AOB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵反比例函数y＝在第二象限，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
18．（2023秋 秀屿区校级期末）如图，过点O作直线与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是 2S1＝S2 ．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴S矩形ODBC＝﹣k，S△AOM＝﹣k．
∵AE＝AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴，
∴AM＝OF，ME＝OM＝OE，
∴S△EOF＝OE OF＝4S△AOM＝﹣2k，
∴2S矩形ODBC＝S△EOF，
即2S1＝S2．
故答案为：2S1＝S2．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 微山县期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+5x﹣1＝0；
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
【解答】解（1）∵x2+5x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，
∴，
解得；
（2）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），
∴7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
∴（7x﹣6）（5x+2）＝0，
∴7x﹣6＝0或5x+2＝0，
解得；
20．（2023秋 和县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：将x＝1代入原式，得1+（m+3）+m+1＝0；
解得m＝﹣；
（2）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4＞0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
21．（2023秋 罗定市校级期末）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 ；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
【解答】解：（1）∵共有四种茶点，
∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种，
∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）＝．
22．（2023秋 临泉县期末）在《数书九章》（宋 秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人跟到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上，已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，求塔AB的高度．
【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴，
∴，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度为18.2米．
23．（2023秋 上城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠AFC＝∠DEA，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
24．（2023秋 济阳区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m．
（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设AB的长为x m，则矩形的宽BC＝（30﹣x）m，
由题意得：x×（30﹣x）＝100，
解得 x1＝10，x2＝20，
∵墙的最大可用长度为15米，
∴0＜x≤15，
∴x＝10，
即BC的长为10m；
（2）养殖园的面积不能达到100m2，理由如下：
假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为y m，则BC的长为m，
根据题意得：y ＝100，
整理得：y2﹣30y+400＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．
25．（2023秋 福州期末）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【解答】解：（1）设BC段的函数解析式为y＝kx+b，
把（10，3）和（30，6）代入得，
解得，
∴BC段的函数解析式为y＝x+，
设CD段的函数解析式为y＝，
把（30，6）代入得6＝，
∴m＝180，
∴CD段的函数解析式为y＝；
（2）把y＝4分别代入y＝x+和y＝得，
x＝或x＝45，
∵45﹣＝28＞28，
∴本次消毒有效．
26．（2022秋 源城区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝4，AD＝5，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，OA＝OC，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴，
∴CE＝BE+BC＝3+5＝8，
∴．
27．（2023秋 金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点M在x轴上，以M、A、B为顶点的三角形与△BOD相似时，求点M的坐标；
（3）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，4）代入得k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
把（8，m）代入y＝﹣得m＝﹣＝﹣1，
∴点C的坐标为（8，﹣1），
把A（﹣2，4）和点C（8，﹣1）代入，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）设M（m，0），
在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，
∴D（0，3），B（6，0），
∴OD＝3，OB＝8，
∵以M、A、B为顶点的三角形与△BOD相似，
∴∠MAB＝∠BOD＝90°，
∴△ABM∽△DBO，
∴，
∵AM＝，AB＝＝4，BM＝6﹣m，
∴＝，
解得m＝﹣4，m＝0（不合题意舍去），
当∠AMB＝∠BOD＝90°，AM∥OD，
∴△AMB∽△DOB，
∴AM⊥x轴，
∴OM＝2
即m＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）；
（3）设点P的坐标为（n，﹣），
∵A（﹣2，4），B（6，0），
当点P在第四象限时，△PAB的面积＝[6﹣（﹣2）]×[4﹣（﹣）]﹣×8×4﹣（4+）（n+2）﹣××（6﹣n）＝24，
解得n＝2，n＝﹣8（不合题意舍去），
当点P在第二象限时，△PAB的面积＝（4++4）（6﹣n）﹣×8×4﹣×（﹣2﹣n）（4+）＝24，
解得n＝﹣8，n＝2（不合题意舍去）
综上所述，点P的坐标为（2，﹣4）或（﹣8，1）．
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期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 滨海新区校级期末）如图的三视图对应的物体是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023秋 济阳区期末）如果，则＝（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋 锦江区校级期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
4．（2023秋 东明县期末）点（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，6） B．（3，4） C．（﹣6，﹣2） D．（﹣4，3）
5．（2023秋 东莞市期末）配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝0
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
6．（2023秋 官渡区期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力．某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为28场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝28
C．2x（x﹣1）＝28 D．x2＝28
7．（2023秋 南山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
8．（2023秋 裕华区校级期末）如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
9．（2023秋 梁溪区校级期末）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
10．（2023秋 泉州期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（ ）
A．4m B．8m C．12m D．16m
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 罗定市期末）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 ．
12．（2023秋 新洲区期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 、100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为 .（结果精确到0.1）
13．（2023秋 上城区期末）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ．（只需写出一个条件即可）
14．（2023秋 东辽县期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 米．
15．（2022秋 高新区校级期末）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为 ．
16．（2023秋 宝鸡期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为 ．
17．（2023秋 交口县期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ．
18．（2023秋 秀屿区校级期末）如图，过点O作直线与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是 ．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 微山县期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+5x﹣1＝0；
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
20．（2023秋 和县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
21．（2023秋 罗定市校级期末）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 ；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
22．（2023秋 临泉县期末）在《数书九章》（宋 秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人跟到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上，已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，求塔AB的高度．
23．（2023秋 上城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
24．（2023秋 济阳区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m．
（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
25．（2023秋 福州期末）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
26．（2022秋 源城区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝4，AD＝5，求AC的长．
27．（2023秋 金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点M在x轴上，以M、A、B为顶点的三角形与△BOD相似时，求点M的坐标；
（3）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标．
期末真题重组卷-2024-2025学年数学九年级上册北师大版
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．（2023秋 滨海新区校级期末）如图的三视图对应的物体是（ ）
A． B．
C． D．
【解答】解：从俯视图可以看出直观图的下面部分为三个长方体，且三个长方体的宽度相同．只有D满足这两点，
故选：D．
2．（2023秋 济阳区期末）如果，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴＝．
故选：C．
3．（2023秋 锦江区校级期末）在一个不透明的布袋中装有30个黄、白两种颜色的球，除颜色外其他都相同，小红通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.4左右，则布袋中白球可能有（ ）
A．12个 B．15个 C．18个 D．20个
【解答】解：设袋子中黄球有x个，
根据题意，得：，
解得：x＝12，
则白球有30﹣12＝18个；
故选：C．
4．（2023秋 东明县期末）点（﹣3，4）在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是（ ）
A．（2，6） B．（3，4） C．（﹣6，﹣2） D．（﹣4，3）
【解答】解：∵点P（﹣3，4）在y＝的图象上，
∴k＝xy＝（﹣3）×4＝﹣12，
∵2×6＝12≠﹣12，故选项A不符合题意，
∵3×4＝12≠﹣12，故选项B不符合题意，
∵﹣6×（﹣2）＝12≠﹣12，故选项C不符合题意，
∵﹣4×3＝﹣12，故选项D符合题意，
故选：D．
5．（2023秋 东莞市期末）配方法解方程2x2﹣x﹣2＝0应把它先变形为（ ）
A．（x﹣）2＝ B．（x﹣）2＝0
C．（x﹣）2＝ D．（x﹣）2＝
【解答】解：方程2x2﹣x﹣2＝0变形得：x2﹣x＝1，
配方得：x2﹣x+＝，即（x﹣）2＝．
故选：D．
6．（2023秋 官渡区期末）2023年10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了我国乒乓球队员强大的实力．某小组赛采用单循环制（每两队之间都进行一场比赛），比赛总场数为28场．若设参赛队伍有x支，则可列方程为（ ）
A． B．x（x﹣1）＝28
C．2x（x﹣1）＝28 D．x2＝28
【解答】解：设参赛队伍有x支，则每只参赛队伍参加（x﹣1）场比赛，
根据题意得：，
故选：A．
7．（2023秋 南山区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，两个“E”字是位似图形，位似中心点O，①号“E”与②号“E”的位似比为2：1．点P（﹣6，9）在①号“E”上，则点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（ ）
A．（﹣3，） B．（﹣2，3） C．（﹣，3） D．（﹣3，2）
【解答】解：∵①号“E”与②号“E”是位似图形，位似比为2：1，点P（﹣6，9），
∴点P在②号“E”上的对应点Q的坐标为（﹣6×，9×），即（﹣3，），
故选：A．
8．（2023秋 裕华区校级期末）如图，有一张长12cm，宽9cm的矩形纸片，在它的四个角各剪去一个同样大小的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形的边长是xcm，根据题意，可列方程为（ ）
A．12×9﹣4×9x＝70 B．12×9﹣4x2＝70
C．（12﹣x）（9﹣x）＝70 D．（12﹣2x）（9﹣2x）＝70
【解答】解：设剪去的小正方形的边长是x cm，则纸盒底面的长为（12﹣2x）cm，宽为（9﹣2x）cm，
∵纸盒的底面（图中阴影部分）面积是70cm2，
∴（12﹣2x）（9﹣2x）＝70，
故选：D．
9．（2023秋 梁溪区校级期末）如图，△ABC∽△ADE，S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，其中，DE的长为（ ）
A． B． C． D．6
【解答】解：∵S△ABC：S四边形BDEC＝1：2，
∴S△ABC：S△ADE＝1：3，
∵△ABC∽△ADE，
∴＝，
∵CB＝，
∴DE＝．
故选：A．
10．（2023秋 泉州期末）甲、乙两人沿着如图所示的平行四边形空地边缘进行跑步比赛，两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．当甲到达点E，乙到达点F时，甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，则CE的长为（ ）
A．4m B．8m C．12m D．16m
【解答】解：连接EF，
∵甲、乙的影子（太阳光照射）刚好在同一条直线上，此时，点B处一根杆子的影子（太阳光照射）刚好在对角线BD上，
∴EF∥BD，
∴△CEF∽△CDB，
∴，
∵两人同时从点B出发，沿着平行四边形边缘顺时针跑步，且甲的速度是乙的速度的2倍．
∴BC+CE＝2BF＝40+CE，
∴BF＝（40+CE）＝20+CE，
∴CF＝40﹣20﹣CE＝20﹣CE，
∴，
∴CE＝8（m），
故选：B．
二．填空题（共8小题）
11．（2023秋 罗定市期末）若α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，则α2+3α+β的值为 2024 ．
【解答】解：∵α，β是方程x2+2x﹣2026＝0的两个实数根，
∴α+β＝﹣2，α2+2α﹣2026＝0，
∴α2+2α＝2026，
∴α2+3α+β
＝（α2+2α）+（α+β）
＝2026+（﹣2）
＝2024，
故答案为：2024．
12．（2023秋 新洲区期末）某数学兴趣小组做“任意抛掷一枚图钉”的重复试验，多次试验后获得如下数据：
重复试验次数 10 50 、100 500 1000
钉尖朝上次数 5 15 36 200 400
由此可以估计任意抛掷一次图钉，钉尖朝上的概率约为 0.4 .（结果精确到0.1）
【解答】解：表中图钉钉尖朝上的频率分别为5÷10＝0.5，15÷50＝0.3，36÷100＝0.36，200÷500＝0.4，400÷1000＝0.4，
图钉钉尖朝上频率逐渐稳定在0.4左右，
估计任意抛掷一枚图钉，图钉钉尖朝上的概率约为0.4．
故答案为：0.4．
13．（2023秋 上城区期末）如图，AC、BD交于点O，连接AB、CD，若要使△AOB∽△COD，可以添加条件 ∠A＝∠C（答案不唯一） ．（只需写出一个条件即可）
【解答】解：添加∠A＝∠C，且∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
故答案为：∠A＝∠C（答案不唯一）．
14．（2023秋 东辽县期末）如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离为1.6米，车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD＝2FA，若盲区EB的长度是6米，则车宽FA的长度为 米．
【解答】解：如图，过点P作PQ⊥BE，交AF于点M，由于3FD＝2FA，可是AF＝x米，则DF＝x米，
∵四边形ACDF是矩形，
∴AF∥CD，
∴△PAF∽△PBE，
∴＝，
即＝．
解得x＝，
即AF＝米，
故答案为：．
15．（2022秋 高新区校级期末）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝3，BC＝4，点P是线段BC上一动点，点M为线段AP上一点，∠ADM＝∠BAP，则BM的最小值为 ﹣2 ．
【解答】解：如图，取AD的中点O，连接OB，OM．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，
∴∠BAP+∠DAM＝90°，
∵∠ADM＝∠BAP，
∴∠ADM+∠DAM＝90°，
∴∠AMD＝90°，
∵AO＝OD＝2，
∴OM＝AD＝2，
∴点M在以O为圆心，2为半径的⊙O上，
∵OB＝＝＝，
∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，
∴BM的最小值为﹣2．
故答案为：﹣2．
16．（2023秋 宝鸡期末）如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，P为边BC上一点，且BP＝OB，则∠COP的度数为 22.5° ．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠OBC＝45°，
∵BP＝OB，
∴∠BOP＝∠BPO＝（180°﹣45°）＝67.5°，
∴∠COP＝90°﹣67.5°＝22.5°．
故答案为：22.5°．
17．（2023秋 交口县期末）在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为 ﹣4 ．
【解答】解：∵AB⊥y轴，
∴AB∥x轴，
∴S△AOB＝S△ABP＝2，
∵S△AOB＝|k|，
∴|k|＝4，
∵反比例函数y＝在第二象限，
∴k＝﹣4，
故答案为：﹣4．
18．（2023秋 秀屿区校级期末）如图，过点O作直线与双曲线y＝（k≠0）交于A，B两点，过点B作BC⊥x轴于点C，作BD⊥y轴于点D．在x轴、y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE＝AF．设图中矩形ODBC的面积为S1，△EOF的面积为S2，则S1，S2的数量关系是 2S1＝S2 ．
【解答】解：过点A作AM⊥x轴于点M，如图所示．
∵AM⊥x轴，BC⊥x轴，BD⊥y轴，
∴S矩形ODBC＝﹣k，S△AOM＝﹣k．
∵AE＝AF．OF⊥x轴，AM⊥x轴，
∴AM＝OF，ME＝OM＝OE，
∴S△EOF＝OE OF＝4S△AOM＝﹣2k，
∴2S矩形ODBC＝S△EOF，
即2S1＝S2．
故答案为：2S1＝S2．
三．解答题（共9小题）
19．（2023秋 微山县期末）用适当的方法解下列方程：
（1）x2+5x﹣1＝0；
（2）7x（5x+2）＝6（5x+2）；
【解答】解（1）∵x2+5x﹣1＝0，
∴a＝1，b＝5，c＝﹣1，
∴Δ＝b2﹣4ac＝52﹣4×1×（﹣1）＝29＞0，
∴，
解得；
（2）∵7x（5x+2）＝6（5x+2），
∴7x（5x+2）﹣6（5x+2）＝0，
∴（7x﹣6）（5x+2）＝0，
∴7x﹣6＝0或5x+2＝0，
解得；
20．（2023秋 和县期末）已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．
（1）若x＝1是方程的一个根，求实数m的值；
（2）求证：方程总有两个不相等的实数根．
【解答】（1）解：将x＝1代入原式，得1+（m+3）+m+1＝0；
解得m＝﹣；
（2）证明：∵Δ＝（m+3）2﹣4（m+1）＝（m+1）2+4＞0，
∴原方程总有两个不相等的实数根；
21．（2023秋 罗定市校级期末）早茶作为广东餐饮文化的重要组成部分，以其小吃精美、种类繁多、口味独特、价格实惠而闻名．张帆在广州旅游期间，决定在“A．虾饺，B．干蒸烧卖，C．艇仔粥，D．蜜汁叉烧包”四种茶点中选择喜欢的进行品尝．（选到每种茶点的可能性相同）
（1）如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是 ；
（2）如果选择两种茶点品尝，请用画树状图或列表的方法求张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”的概率．
【解答】解：（1）∵共有四种茶点，
∴如果只选其中一种茶点品尝，张帆选到“蜜汁叉烧包”的概率是：，
故答案为：；
（2）画树状图如图所示：
由树状图知，共有12种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性相等，其中选到“虾饺”和“艇仔粥”的结果有2种，
∴P（张帆选到“虾饺”和“艇仔粥”）＝．
22．（2023秋 临泉县期末）在《数书九章》（宋 秦九韶）中记载了一个测量塔高的问题：如图，AB表示塔的高度，CD表示竹竿顶端到地面的高度，EF表示人跟到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面内，点A、C、E在一条水平直线上，已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人从点F远眺塔顶B，视线恰好经过竹竿的顶端D．根据以上信息，求塔AB的高度．
【解答】解：过点F作FG⊥CD，垂足为G，延长FG交AB于点H，
由题意得：FH⊥AB，AH＝CG＝EF＝1.4米，AC＝GH＝20米，CE＝FG＝10米，
∴∠DGF＝∠BHF＝90°，
∵CD＝7米，
∴DG＝CD﹣CG＝7﹣1.4＝5.6（米），
∵∠DFG＝∠BFH，
∴△FDG∽△FBH，
∴，
∴，
∴BH＝16.8，
∴AB＝BH+AH＝16.8+1.4＝18.2（米），
∴塔的高度为18.2米．
23．（2023秋 上城区期末）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点F，E分别在线段BC，AC上，且∠AFC＝∠DEA，AC＝AD．
（1）求证：DE＝AF；
（2）若∠ABC＝∠CDE，求证：AF2＝BF CE．
【解答】证明：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACF＝∠DAC
∵∠AFC＝∠DEA，AC＝AD，
∴△ACF≌△DAE（AAS），
∴AF＝DE；
（2）∵△ACF≌△DAE，
∴∠AFC＝∠DEA，
∴∠AFB＝∠DEC，
∵∠ABC＝∠CDE，
∴△ABF∽△CDE，
∴＝，
∴AF DE＝BF CE，
∵AF＝DE，
∴AF2＝BF CE．
24．（2023秋 济阳区期末）2022年9月，教育部正式印发《义务教育课程方案》，《劳动教育》成为一门独立的课程，某学校率先行动，在校园开辟了一块劳动教育基地：一面利用学校的墙（墙的最大可用长度为15米），用长为30米的篱笆，围成矩形养殖园如图1，已知矩形的边CD靠院墙，AD和BC与院墙垂直，设AB的长为x m．
（1）当围成的矩形养殖园面积为100m2时，求BC的长；
（2）如图2，该学校打算在养殖园饲养鸡、鸭、鹅三种家禽，需要在中间多加上两道篱笆作为隔离网，并与院墙垂直，请问此时养殖园的面积能否达到100m2？若能，求出AB的长；若不能，请说明理由．
【解答】解：（1）设AB的长为x m，则矩形的宽BC＝（30﹣x）m，
由题意得：x×（30﹣x）＝100，
解得 x1＝10，x2＝20，
∵墙的最大可用长度为15米，
∴0＜x≤15，
∴x＝10，
即BC的长为10m；
（2）养殖园的面积不能达到100m2，理由如下：
假设养殖园的面积能达到100m2，设AB的长为y m，则BC的长为m，
根据题意得：y ＝100，
整理得：y2﹣30y+400＝0，
∵Δ＝（﹣30）2﹣4×1×400＝﹣700＜0，
∴原方程没有实数根，
∴假设不成立，即养殖园的面积不能达到100m2．
25．（2023秋 福州期末）某校后勤处每周周日均会对学校教室进行消毒处理，已知消毒水的消毒效果随着时间变化如图所示，消毒效果y（单位：效力）与时间x（单位：分钟）呈现三段函数图象，其中AB段是渐消毒阶段，BC段为深消毒阶段，CD段是反比例函数图象的一部分，为降消毒阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求深消毒阶段和降消毒阶段中y与x之间的函数关系式；
（2）若消毒效果持续28分钟达到4效力及以上，即可产生消毒作用，请问本次消毒是否有效？
【解答】解：（1）设BC段的函数解析式为y＝kx+b，
把（10，3）和（30，6）代入得，
解得，
∴BC段的函数解析式为y＝x+，
设CD段的函数解析式为y＝，
把（30，6）代入得6＝，
∴m＝180，
∴CD段的函数解析式为y＝；
（2）把y＝4分别代入y＝x+和y＝得，
x＝或x＝45，
∵45﹣＝28＞28，
∴本次消毒有效．
26．（2022秋 源城区校级期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．
（1）求证：四边形AECF是矩形；
（2）若AE＝4，AD＝5，求AC的长．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴AD∥BC．
∵CF∥AE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∵AE⊥BC，
∴∠AEC＝90°，
∴平行四边形AECF是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝BC＝5，OA＝OC，AC⊥BD，
∵AE⊥BC，
∴∠AEB＝90°，
∴，
∴CE＝BE+BC＝3+5＝8，
∴．
27．（2023秋 金牛区期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+b（a≠0）的图象与反比例函数的图象交于A，C两点，与x轴、y轴分别交于点B，D，已知点A的坐标为（﹣2，4），点C的坐标为（8，m）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式；
（2）若点M在x轴上，以M、A、B为顶点的三角形与△BOD相似时，求点M的坐标；
（3）点P是直线AB下方反比例函数图象上一点，当△PAB的面积为24时，求点P的坐标．
【解答】解：（1）把点A（﹣2，4）代入得k＝﹣2×4＝﹣8，
∴反比例函数的解析式为y＝﹣；
把（8，m）代入y＝﹣得m＝﹣＝﹣1，
∴点C的坐标为（8，﹣1），
把A（﹣2，4）和点C（8，﹣1）代入，
解得，
∴一次函数的解析式为y＝﹣x+3；
（2）设M（m，0），
在y＝﹣x+3中，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，
∴D（0，3），B（6，0），
∴OD＝3，OB＝8，
∵以M、A、B为顶点的三角形与△BOD相似，
∴∠MAB＝∠BOD＝90°，
∴△ABM∽△DBO，
∴，
∵AM＝，AB＝＝4，BM＝6﹣m，
∴＝，
解得m＝﹣4，m＝0（不合题意舍去），
当∠AMB＝∠BOD＝90°，AM∥OD，
∴△AMB∽△DOB，
∴AM⊥x轴，
∴OM＝2
即m＝﹣2，
∴点M的坐标为（﹣4，0）或（﹣2，0）；
（3）设点P的坐标为（n，﹣），
∵A（﹣2，4），B（6，0），
当点P在第四象限时，△PAB的面积＝[6﹣（﹣2）]×[4﹣（﹣）]﹣×8×4﹣（4+）（n+2）﹣××（6﹣n）＝24，
解得n＝2，n＝﹣8（不合题意舍去），
当点P在第二象限时，△PAB的面积＝（4++4）（6﹣n）﹣×8×4﹣×（﹣2﹣n）（4+）＝24，
解得n＝﹣8，n＝2（不合题意舍去）
综上所述，点P的坐标为（2，﹣4）或（﹣8，1）．
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