安徽省淮南市第二中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省淮南市第二中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {0,1,2,3}， = { 1,0,1,2}，则 ∩ =( )
A. { 1,0,1,2,3} B. {1,2} C. {0,1,2} D. { 1,3}
1
2.已知幂函数 ( )的图象过点(4, )，则 ( ) =( )
2
1 1
A. 2 B. 2 C. 2 D. √ 2
1
3.已知 ( )为 上的奇函数，当 > 0时， ( ) = 3 + ，则 ( 1) + (0) =( )

A. 2 B. 0 C. 2 D. 4
1 1
4.已知 = 33， = 95， = 8，则 ， ， 的大小关系是( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
5.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 血液中酒精含量达
到20～79 的驾驶员即为酒后驾车，80 及以上认定为醉酒驾车.假设某驾驶员喝了一定量的酒后，其血
液中的酒精含量上升到了1 / .如果在停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时30%的速度减少，
那么他至少经过几个小时才能驾驶？( )(参考数据： 2 ≈ 0.301， 3 ≈ 0.477， 7 ≈ 0.845)
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

6.二次函数 = 2 + 与指数函数 = ( ) 的图象只可能是( )

A. B.
C. D.
( 5) 2, ≥ 2 ( ) ( )
7.函数 ( ) = { 2 ，若对任意 1， 2 ∈ ( 1 ≠ 2)，都有
1 2 < 0成立，则实
+ 2( 1) 3 , < 2 1 2
数 的取值范围为( )
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A. [ 4, 1] B. [ 4, 2] C. ( 5, 1] D. [ 5, 4]
2 , < 0 1 3 1
8.已知函数 ( ) = { 当 ≤ < 时，方程 ( ) = + 的根的个数为( )
( 2), ≥ 0 2 4 8
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个命题：① 10 = 1；②若2 = ，则 = log2 ；③lg( ) = 1；④lg( 1) = 0.其中真命题是( )
A. ① B. ② C. ③ D. ④
10.下列命题是真命题的是( )
A. 命题“ ∈ ，使得 2 + + 1 < 0”的否定是“ ∈ ，都有 2 + + 1 ≥ 0”
1
B. 函数 = √ 2 + 4 + 最小值为2
√ 2+4

C. 已知 ( ) = 3 + + 3， (4) = 5，则 ( 4) = 1

1 2
D. 函数 = ( ) +2 的单调递增区间为[1, +∞)
5
11.对于函数 = ( )，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，都有 ∈ ，并且 ( ) ( ) = 1，则
称函数 = ( )为“倒函数”.则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( ) = + √ 2 + 1是“倒函数”
B. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，则 (0) = 1
1
C. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，当 ≤ 0, ( ) = 2，则 > 0， ( ) = 2
+ 2
2 +
1
D. 若函数 = ( )在 上为“倒函数”，其函数值恒大于0，且在 上是单调增函数，记 ( ) = ( ) ，
( )
若 1 + 2 > 0，则 ( 1) + ( 2) > 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.命题“ ≥ 2， 2 ≥ 2”的否定是______．
+1
13.函数 ( ) = 的图象的对称中心是______，不等式 ( ) ≥ 1的解集是______．
1
14.已知函数 = ( )和函数 = ( )的图象关于 轴对称，当函数 = ( )和函数 = ( )在区间[ , ]上同
时递增或者同时递减时，把区间[ , ]叫做函数的“不动区间”，若区间[1,3]为函数 ( ) = |3 |的“不
动区间”，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
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15.(本小题12分)
1 1
(1)计算：(2 )0.5
8
0.752 + 6 2 × ( ) 3；
4 27
(2) 5 20 + lg22 + 21+2 23．
16.(本小题12分)
给定函数 ( ) = 2 2 ， ( ) = 2， ∈ ，用 ( )表示 ( )， ( )中的较大者，记为 ( ) =
{ ( ), ( )}．
(1)求函数 = ( )的解析式并画出其图象；
(2)对于任意的 ∈ [2, +∞)，不等式 ( ) ≥ ( 2) 1恒成立，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ．
(1)证明函数 ( )是奇函数，并判断单调性；(不需要证明)
(2)求使不等式 ( 2 + ) + (4 ) > 0恒成立时，实数 的取值范围；
(3)令 ( ) = 2 + 2 2 ( )(其中 ∈ )，求函数 ( )在[0, +∞)上的值域．
18.(本小题12分)
某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”，经调研
发现：某珍稀水果树的单株产量 (单位：千克)与施用肥料 (单位：千克)满足如下关系； ( ) =
5( 2 + 3),0 ≤ ≤ 2
{ 50 ，肥料成本投入为10 元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费)30 元.已知这种
, 2 < ≤ 5
1+
水果的市场售价为20元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 ( )(单位：元)
(1)求 ( )的解析式；
(2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
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19.(本小题12分)
定义：若对定义域内任意 ，都有 ( + ) > ( )( 为正常数)，则称函数 ( )为“ 距”增函数．
(1)若 ( ) = 2 ， ∈ (0, +∞)，判断 ( )是否为“1距”增函数，并说明理由；
3 1(2)若 ( ) = + 4， ∈ 是“ 距”增函数，求实数 的取值范围；
4
2(3)若 ( ) = 2024 + | |， ∈ ( 1, +∞)，其中 ( ∈ )为常数，如果 ( )是“2距”增函数，求实数 的取
值范围及 ( )的最小值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 ≥ 2， 2 < 2
13.【答案】(1,1) ( ∞, 0] ∪ (1，+∞)
1
14.【答案】[ , 3]
3
1 8 1
15.【答案】解：(1)(2 )0.5 0.752 + 6 2 × ( ) 3；
4 27
3 3 1 2 1
= ( )2×0.5 ( )2 + × ( )3×( )3
2 4 62 3
3 9 1 3
= + ×
2 16 36 2
47
= ；
48
(2) 5 20 + lg22 + 21+2 23
= 5( 2 + 1) + lg22 + 2 22 23
= 5 2 + 5 + lg22+ 2 9
= 2( 2 + 5) + 5 + 18
= 2 + 5 + 18
= 19．
16.【答案】解：(1)令 2 2 ≥ 2，解得 ≤ 1或 ≥ 2；令 2 2 < 2，解得1 < < 2；
2
∴ ( ) = { 2 , ≤ 1 或 ≥ 2，其图象如下：
2,1 < < 2
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(2)由(1)可知，当 ∈ [2, +∞)时，，则不等式 ( ) ≥ ( 2) 1恒成立，等价于 2 2 ≥ ( 2) 1在
[2, +∞)上恒成立，
1
即 ≤ + 在[2, +∞)上恒成立，

1
又 = + 在[2, +∞)
1 5
上单调递增，则 ≤ 2 + = ，
2 2
5
∴实数 的取值范围为( ∞, ]．
2
17.【答案】解：(1)证明：函数 ( )的定义域为 ，且 ( ) = = ( ) = ( )，
则 ( )是奇函数．
由于 = 在 上为增函数， = 在 上为减函数，
则 ( )在 上单调递增．
(2)由 ( 2 + ) + (4 ) > 0，可得 ( 2 + ) = (4 ) = ( 4)，
又因为 ( )是 上的增函数，所以 2 + > 4恒成立，
所以 2 + ( 1) + 4 > 0对 ∈ 成立，
所以 = ( 1)2 16 < 0，解得 3 < < 5，
即实数 的取值范围为( 3,5)．
(3) ( ) = 2 + 2 2 ( ) = ( )2 2 ( ) + 2，
令 = ( ) = ，由(1)可知 ( )为增函数，
∵ ≥ 0，∴ ≥ (0) = 0，
令 ( ) = 2 2 + 2 = ( )2 + 2 2( ≥ 0)，
若 ≥ 0，当 = 时， ( ) = 2
2，则 ( ) ≥ 2 2，
此时 ( )在[0, +∞)上的值域为[2 2 ,+∞)；
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若 < 0时， ( ) ≥ (0) = 2，此时 ( )在[0, +∞)上的值域为[2, +∞)；
综上，当 ≥ 0时， ( )在[0, +∞)上的值域为[2 2 ,+∞)；
当 < 0时， ( )在[0, +∞)上的值域为[2, +∞)．
18.【答案】解：(1)依题意，当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = 20 ( ) 30 10
= 20 × 5( 2 + 3) 40 = 100 2 40 + 300，
当2 < ≤ 5时， ( ) = 20 ( ) 30 10
50 1000 1000
= 20 × 40 = 40 = 1000 40 ，
1+ +1 +1
100 2 40 + 300,0 ≤ ≤ 2
所以 ( ) = { 1000 ；
1000 40 , 2 < ≤ 5
+1
1
(2)当0 ≤ ≤ 2时， ( ) = 100 2 40 + 300 = 100( )2 + 296，
5
此时由二次函数的性质可知 ( ) = (2) = 100 × 4 40 × 2 + 300 = 620，
1000 1000
当2 < ≤ 5时， ( ) = 1000 40 = 1040 40( + 1)
+1 +1
1000
≤ 1040 2√ × 40( + 1) = 640，
+1
1000
当且仅当 = 40( + 1)，即 = 4时，等号成立，
+1
综上，当施用肥料为4千克时，该水果单株利润最大，最大利润为640元．
19.【答案】解：(1)若 ( ) = 2 ， ∈ (0, +∞)，
因为 ( + 1) ( ) = 2 +1 + + 1 2 = 2 + 1 > 0，故 ( + 1) > ( )，
故 ( )为“1距”增函数．
(2)由题设可得 ( + ) > ( )在 上恒成立，
1 1
即( + )3 ( + ) + 4 > 3 + 4，
4 4
即3 2 + 3 2

+ 3 > 0在 上恒成立，
4
若 = 0，因0 > 0不成立，故舍，
9 4 + 3 2 12 3 < 0 1
故{ ，解得 < < 1．
> 0 3
2 2
(3)因为 ( )是“2距”增函数，故2024( +2) + | +2| > 2024 + | |恒成立，
整理得到：4 + 4 + (| + 2| | |) > 0在 ∈ ( 1, +∞)上恒成立，
{ > 0
1 < ≤ 0
故 且{ 恒成立，
4 + 4 + 2 > 0 4 + 4 + (2 + 2 ) > 0
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{ 4 + 4 + ( 2 + 2) ≥ 0故 且4 + 2 ≥ 0，
4 + 2 > 0
故 的范围为{ | > 2}．
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