黑龙江省哈尔滨市阿城区第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨市阿城区第一中学 2024-2025 学年高一上学期 12 月月
考数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 = 2025°，则 的终边在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1 1
2.已知集合 = { |( ) < }, = { | ≤ 1}，则 ∪ ( ) =( ) 2 4
A. { | ≥ 2} B. { | ≤ 2} C. { | > 1} D.
√ 1
3.函数 ( ) = 的定义域为( )
1
A. ( , +∞) B. (1, ] C. ( ∞, 1) D. (0,1) ∪ (1, ]
4
4.已知圆心角为72°的扇形的弧长为 ，则该扇形的面积为( )
5
8 4 2
A. B. C. D.
5 5 5 5
1
5.函数 ( ) = 的零点所在的区间为( )

A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
6.已知 是常数，幂函数 ( ) = ( 2 3) 在(0, +∞)上单调递减，则 (2) =( )
1 1
A. B. C. 2 D. 4
4 2
7.函数 ( ) = 2 | |的图象与 ( ) = |log3| ||的图象的交点个数为( )
A. 8 B. 6 C. 4 D. 2
8.已知函数 ( ) = 2 + + ，若关于 的不等式 ( ) < 1的解集为( , + 2)，则函数 ( )的值域为( )
5 3
A. [ , +∞) B. [ , +∞) C. [1, +∞) D. [0, +∞)
2 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各项中， ( )与 ( )表示同一函数的是( )
A. ( ) = (√ )2， ( ) = √ 2
B. ( ) = √ 1 2， ( ) = √ 1 + √ 1
C. ( ) = 2， ( ) = 2
3, ≥ 3
D. ( ) = | 3|， ( ) = {
3 , < 3
1
10.已知 + = ， ∈ (0, )，则下列等式正确的是( )
5
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12 7
A. = B. =
25 5
3 37
C. = D. sin3 + cos3 =
4 125
11.已知 > 0， > 0，且 + = 1，则( )
1 1
A. ≤ B. 2 + 2 ≥
4 2
C. log2 + log2 ≥ 2 D. 2
+ 2 ≥ 2√ 2
2
12.已知函数 ( ) = +2 ，则( )
A. 当 = 0时， ( )为偶函数 B. ( )既有最大值又有最小值
C. ( )在( ∞, ]上单调递增 D. ( )的图象恒过定点
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13.已知命题 ： < 0， 4 2 > 2，则命题 的否定为______．
14.函数 ( ) = 2 ，则 ( ) = ______．
15.若函数 ( ) = log8( + 2)的图象经过第一、二、三象限，则实数 的取值范围为______．
2 ( 1) ( )16.已知函数 ( )是定义在 上的奇函数，若 1， 2 ∈ (0, +∞)( 1 ≠ 2)，不等式
1 2 > 0恒成立，
1 2
且 (3) = 0，则不等式 ( 1) < 0的解集为______．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
1 1
1 2

+ 2
(1)已知 + = 3，求
2+ 2
的值；
3
(2)计算：(√ 2 × √3)6 25 4 7 72 √ ( 3)2．
18.(本小题12分)
9 3
sin(3 )cos( + ) tan(5 )cos( + )
(1)化简： 2 211 + ；
sin( + )cos(2 ) cos(6 )
2
1
(2)已知sin(75° + ) = ，求cos( 15°) + sin(105° )的值．
4
19.(本小题12分)
已知 ( )是二次函数，且 (0) = 1， ( + 1) ( ) = 2 ．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求 ( )在区间[0, ]上的最大值．
20.(本小题12分)
已知定义在 上的偶函数 ( )，当 ≥ 0时， ( ) = 3 ( ∈ )，且 ( 3) = 26．
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(1)求 的值；
(2)求函数 ( )的解析式；
(3)解不等式： ( ) > 2．
21.(本小题12分)
为提高水果销售量，助力乡村振兴，某镇欲建立一个水果箱加工厂，每年需投入固定成本5万元，当年产量
1
(单位：万件)低于10万件时，流动成本 ( ) = 2 + 3 (万元)，当年产量 (单位：万件)不低于10时，
4
144
( ) = 8 + 50(万元).经调研，每件水果箱售价为7元，每年加工的水果箱能全部售完．

(1)求年利润 ( )关于年产量 (单位：万件)的函数关系式；(注：年利润=年销售额 固定成本 流动成本)
(2)求年产量 (单位：万件)为多少时，年利润 ( )取得最大值，并求出 ( )的最大值．
22.(本小题12分)
2
已知函数 ( ) = ，且 (3) = 1， ( ) = 4
+ 4 2 2 + 1．
6
(1)解不等式 ( ) > 1；
(2)设不等式 ( ) > 1的解集为集合 ，若对任意 1 ∈ ，存在 2 ∈ [0,1]，使得 1 = ( 2)，求实数 的取值
范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】 < 0， 4 2 ≤ 2
14.【答案】2
15.【答案】( ∞, 1)
16.【答案】{ | < 2或1 < < 4}
17.【答案】解：(1)因为 + 1 = 3，可得 > 0，
1 1 1 1
则( 2 + 2)2 = + 1 + 2 = 3 + 2 = 5，可得 2 + 2 = √ 5，
又由 2 + 2 = ( + 1)2 2 = 32 2 = 7，
1 1
2+ 2 √ 5
所以 2 2 = ． + 7
3
(2)(√ 2 × √3)6 25 4 7 72 √ ( 3)2
= (√ 2)6
3
(√3)6 ( 25 + 4) 2 ( 3)
= 8 × 9 100 2 ( 3) = 72 2 2 + 3 = 71 ．
( ) ( ) ( )
18.【答案】解：(1)原式= + = 0；
( cos ) cos cos
1
(2)已知sin(75° + ) = ，
4
则cos( 15°) + sin(105° ) = cos(75° + 90°) + sin(180° 75° ) = sin(75° + ) + sin(75° +
1
) = ．
2
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19.【答案】解：(1)根据题意，设 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)，
因为 (0) = 1，可得 = 1，即 ( ) = 2 + + 1，
由 ( + 1) ( ) = 2 ，
即 ( + 1) = ( ) + 2 ，
又由 ( + 1) = ( + 1)2 + ( + 1) + 1 = 2 + (2 + ) + + + 1，
且 ( ) + 2 = 2 + ( + 2) + 1，
所以 2 + (2 + ) + + + 1 = 2 + ( + 2) + 1，
2 + = + 2
可得{ ，解得 = 1， = 1，
+ + 1 = 1
所以 ( ) = 2 + 1；
1 3
(2)由(1)知 ( ) = 2 + 1 = ( )2 + ，
2 4
1
可得函数 ( )的图象开口向上，且对称轴为 = ，
2
所以 (0) = (1)，
当0 < < 1时，根据二次函数的对称性，可得 (0) = (1)，所以 (0) > ( )，
所以函数 ( )在区间[0, ]上的最大值为 (0) = 1；
当 ≥ 1时，根据二次函数的对称性，可得 ( ) ≥ (0)，
所以函数 ( )在区间[0, ]上的最大值为 ( ) = 2 + 1，
综上可得，当0 < < 1时， ( )的最大值为1；
当 ≥ 1时， ( )的最大值为 2 + 1．
20.【答案】解：(1)因为 ( )是定义在 上的偶函数，且 ( 3) = 26，
所以 (3) = ( 3) = 26，即33 = 26，
解得 = 1．
(2)当 ≥ 0时， ( ) = 3 1，
设 < 0，则 > 0，则 ( ) = ( ) = 3 1，
3 1, < 0
故 ( ) = { ； 3 1, ≥ 0
(3)由 ( )是偶函数， ( ) > 2等价于 (| |) > 2，即3| | 1 > 2，
得3| | > 3，得| | > 1，解得 < 1或 > 1，
故 ( ) > 2的解集是( ∞, 1) ∪ (1, +∞)．
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1 1
21.【答案】解：(1)当0 < < 10时， ( ) = 7 ( 2 + 3 ) 5 = 2 + 4 5，
4 4
144 144
当 ≥ 10时， ( ) = 7 (8 + 50) 5 = 45 ( + )，

1
2 + 4 5,0 < < 10
所以利润函数为 ( ) = { 4 ；
144
45 ( + ), ≥ 10

1 1
(2)当0 < < 10时， ( ) = 2 + 4 5 = ( 8)2 + 11，
4 4
此时 = 8， ( ) = 11；
144 144
当 ≥ 10时， ( ) = 45 ( + ) ≤ 45 2√ = 21，

144
当且仅当 = ，即 = 12时取得等号．

因为11 < 21，所以年产量为12万件时，年利润 ( )取得最大值21万元．
2 2
22.【答案】解：(1)由条件 ( ) = 可知， > 0， 6 6
解得2 < < 6，故函数 ( )的定义域为(2,6)，
1 2
由 (3) = 1，可知 = 1，得到 = 3，即 ( ) = 3 3 ， 6
2
解不等式 ( ) > 1，即 > 3，解得5 < < 6，
6
所以不等式 ( ) > 1的解集为{ |5 < < 6}；
(2)由(1)可知 = { |5 < < 6}，
设 = 2 + 2 ，则当 ∈ [0,1]时，2 ∈ [1,2]，
1
因为对勾函数 = + , ∈ [1,2]时为增函数，

5
故 = 2 + 2 ∈ [2, ]，
2
则 ( ) = (2 + 2 )2 (2 + 2 ) 1 = 2 1，
5
设 ( ) = 2 1，由题意知 = (5,6)为 ∈ [2, ]时 ( )的值域的子集，
2
5
当 ≤ 2，即 ≤ 4时， ( )在[2, ]上单调递增，
2 2
(2) = 3 2 ≤ 5
3
故{ 5 21 5 ，解得 1 ≤ ≤ ；
( ) = ≥ 6 10
2 4 2
5 5 5
当2 < < ，即4 < < 5时， ( )在[2, ]上的最大值为 (2), ( )中的较大者，
2 2 2 2
3
令 (2) = 3 2 ≥ 6，∴ ≤ ，与4 < < 5矛盾，
2
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5 21 5 3
令 ( ) = ≥ 6，∴ ≤ ，与4 < < 5矛盾，
2 4 2 10
故此时 ∈ ；
(2) = 3 2 ≥ 6
5 5
当 ≤ ，即 ≥ 5时， ( )在[2, ]上单调递减，则{ 5 21 5 ，解得 ∈ ，
2 2 2 ( ) = ≤ 5
2 4 2
3
综合上述，实数 的取值范围为[ 1, ]．
10
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