安徽省阜阳市阜阳市第三中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

安徽省阜阳市第三中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数 满足(2 + 3 ) = 1 + 8 ，则复数三在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
1
2.已知数列{ }是首项为5，公差为2的等差数列，则 11 =( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
25 22 17 19
3.把一个高9 的圆锥形容器装满水，倒进一个与它底面积相等、高度相等的圆柱形容器中，此时水的高度
是( )
A. 4.5 B. 3 C. 27 D. 1
4.设 为实数，已知直线 1： + 3 2 = 0， 2：6 + ( 3) + 4 = 0，若 1// 2，则 =( )
A. 6 B. 3 C. 6或 3 D. 6或3
5.已知圆 2 + 2 2 + 4 +5 2 9 = 0上所有点都在第二象限，则 的取值范围( )
3 3
A. ( ∞, 3) B. ( ∞, 3] C. [ 3, ] D. ( 3, )
2 2
1
6.如图所示，若 为平行四边形 所在平面外一点， 为 上的点，且 = ，点 在 上，且 = .
2
若 ， ， ， 四点共面，则 为( )
1 3 3 2
A. B. C. D.
2 4 4 3
2 2
7.设椭圆 ： 2 + 2 = 1( > > 0)的左、右顶点为 1， 2，左、右焦点为 1， 2，上、下顶点为 1， 2 .关
于该椭圆，有下列四个命题：
甲：| 1 1| = 1；
乙：△ 1 1 2的周长为8；
1
丙：离心率为 ；
2
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丁：四边形 1 1 2 2的面积为3√ 3．
如果只有一个假命题，则该命题是( )
A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
8.已知 ， 是抛物线 ： 2 = 4 上异于原点的两点，且以| |为直径的圆过原点，过点 (0,4)向直线 作
垂线，垂足为 ，则| |的最大值为( )
A. 4 B. 4√ 2 C. 4√ 3 D. 8
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，已知 (1,2, 2)， (0,1,1)，下列结论正确的有( )
A. = ( 1, 1,3)
B. 点 关于 平面对称的点的坐标为(1, 2,2)
C. 若 = (2,1,1)，则 ⊥
D. 若 = ( , 2,6)， // ，则 = 2
10.在平面直角坐标系 中，已知 1( 1,0)， 2(1,0)， ( , )是动点.下列命题正确的是( )
A. 若| 1| + | 2| = 2，则 的轨迹的长度等于2
4 2
B. 若| 1| | 2| = 1，则 的轨迹方程为4
2 = 1
3
C. 若| 1| | 2| = 4，则 的轨迹与圆
2 + 2 = 6有交点
| |
D. 若 1 = 2，则
| | 2
的最大值为3
2
11.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又
被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第 行白圈
的个数为 ，其前 项和为 ；黑圈的个数为 ，其前 项和为 ，则下列结论正确的是( )
A. 4 = 5 B. +1 = +
C. 2024 = 2024 1 D. 2024 + 2024 = 2025
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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2
12.数列{ }满足 +1 = ，且 1 = 4，则 2023 + 2024 = ______．
13.已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现样本加入三个新数据4，5，6，则此时样本的方
差 2 =______．
2 2 2
14.已知正四棱锥 底面边长为2，高为1，动点 在平面 内且满足 + 2 + + = 12，
则直线 与 所成角的余弦值的取值范围为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别是 ， ， ，已知 = ( 1) ， > 1．
1
(1)证明： = ；

(2)若 = 2，△ 的面积为1，求 ．
16.(本小题15分)
已知{ }是单调递增的等差数列， 1 + 2 = 4，且 1，2 2，4 5成等比数列．
(1)求{ }的通项公式；
(2)若 = log2 ，求 1 2 2 3 + + ( 1)
+1 +1．
17.(本小题15分)
2
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，△ 是边长为2√ 3的等边三角形， = 2，∠ = ．
3
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
√ 21
(2)若平面 与平面 夹角的余弦值为 ，求 的长．
7
18.(本小题17分)
设直线 1： = √ 2 ， 2： = √ 2 点 和点 分别在直线 1和 2上运动，点 为 的中点，点 为坐标原点，
且 = 1．
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(1)已知直线 ：(2 + 1) + ( + 1) + = 0经过定点 ，直线 3经过点 ，且 1 ⊥ 3，求直线 3的方程．
(2)求点 的轨迹方程 ；
(3)当直线 的斜率存在时，设点 ( √ 3, 0)关于直线 的对称点为 ，证明：直线 过定点．
19.(本小题17分)
对于数列{ }，若存在正数 ，使得对任意 ， ∈
， ≠ ，都满足| | ≤ | |，则称数列{ }
符合“ ( )条件”．
(1)试判断公差为2的等差数列{ }是否符合“ (2)条件”？
1
(2)若首项为 ，公比为 的正项等比数列{ }符合“ ( )条件”.①求 的取值范围；②记数列{ }的前 项和2
为 ，证明：存在正数 0，使得数列{ }符合“ ( 0)条件”．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
9
12.【答案】
2
13.【答案】1.6
√ 3 √ 6
14.【答案】[ , ]
3 3
15.【答案】解：(1)证明：由 = ( 1) ，
可得 + = ，
即sin( + ) = ，即 = ，
由正弦定理，可得 = ，
1
又 > 0，故 = ；

(2)由 = 2，△ 的面积为1，
1 1 1
可得 = × 2× × = = 1，
2 2

由 ∈ (0, )，可得 = ，
4
由余弦定理，有 2 = 2
1
+ 2 2 = 4+ 2 2 × 2 × × ，


化简得 = ，故 = = ，则 = ，
4 2
又 = 2，所以 = = √ 2．
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16.【答案】解：(1)设{ }的公差为 ，由 1 + 2 = 4，得2 1+ = 4．
因为 1，2
2 2
2，4 5成等比数列，所以4( 1 + ) = 4 1( 1 + 4 )，则2 1 = ．
结合{ }是递增的等差数列，可知 > 0，所以2 1 = ．
2 + = 4 = 1
解方程组{ 1 ，可得{ 1 ，
2 1 = = 2
所以等差数列{ }的通项公式为 = 1 + 2( 1) = 2 1；
(2)若 = log2 ，则 = 2
= 22 1 ，
可得( 1) +1 +1 = ( 1)
+122 1 22( +1) 1 = 16× ( 16) 1，
所以{( 1) +1 +1}构成以16为首项，公比为 16的等比数列．

16[1 ( 16) ] 16
可得 +1 1 2 2 3 + + ( 1) +1 = = [1 ( 16) ]. 1 ( 16) 17
(1) 2 17.【答案】解： 证明：在△ 中， = 2， = 2√ 3，∠ = ， 3
由余弦定理 2 = 2 + 2 2 ∠ ，得到 2 +2 8 = 0，

解得 = 2，所以 = = 2，得到∠ = 6，

又因为∠ = 3，所以
∠ =
2，即 ⊥ ，
又因为 ⊥平面 ， 面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， ， 面 ，所以 ⊥面 ，
又 面 ，所以平面 ⊥平面 ．
(2)由(1)知， ， ， 两两互相垂直，
则以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

设 = ( > 0)，因为 = 2， = 2√ 3，∠ = 3，
则 (0,0,0), (2,0,0), (0,2√ 3, 0), (3, √ 3,0), (0,0, )，
则 = (1,√ 3, 0), = ( 2,0, )，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，则 ⊥ ， ⊥ ，

则{ = 0，即{ + √ 3 = 0 ，取 = ，得 √ 3 = , = 2，
= 0 2 + = 0 3
所以 √ 3 = ( , , 2)，
3
由题知，平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
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| | √ 21
则 = |cos < , > | = = = 2| | | | 1 ，整理得到 = 4，解得 = 2， √ 2+ 2 7+4
3
所以 = 2．
18.【答案】(1)解：对于直线 ：(2 + 1) + ( + 1) + = 0，将其变形为 (2 + +1) + + = 0，
2 + + 1 = 0 = 1
令{ ，解得{ = 1 ，∴定点 ( 1,1)， + = 0
已知直线 1： = √ 2 ，其斜率 1 = √ 2，
∵ 1 ⊥ 3，∴直线 的斜率
1 √ 2
3 = = ， √ 2 2
∴直线 √ 23的方程为 1 = ( + 1)，即√ 2 + 2 2 +√ 2 = 0． 2
(2)解：设 ( 1 , 1)， ( 2, 2)， ( , )，则 1 = √ 2 1, 2 = √ 2 2，
+
= 1 2 , 2 +√ 2 1 = ,2
∴ { { 2 + 从而√ 2( ) 2 √ 2
= 1 2 = 1 2 , 2 = ,2 2 2
∵ = 1，∴ 1 2 + 1 2 = 1 2 2 1 2 = 1 2 = 1，即 1 2 = 1，
2 +√ 2 2 √ 2 2
则 × = 1，整理得 2 = 1，
2 2 2
2
∴点 的轨迹方程为 2 = 1．
2
(3)证明：设 ( 0, 0)，则| 0| ≥ 1，
当直线 的斜率存在，易得 0 ≠ 0，
1 2 √ 2( = = 1
+ 2) √ 2×2 2
且 =
0 = 0，
1 2 1 2 √ 2 0 0
2 0
则直线 的方程为 0 = ( ) 0 ， 0
2
2
注意到 00 = 1，化简得 ：2 0 0 2 = 0， 2
点 ( √ 3, 0)与 关于直线 对称，
′ 0 2 0
× = 1
′+√ 3
设 ( ′, ′)，则由{ 0 ，
′ √ 3 ′+0
2 0 × 0 × 2 = 02 2
+√ 3 2
解得 ( 0 , 0 )，
√ 3 0 1 √ 3 0 1
2
0
√ 3 1 0 (√ 3 0 1)+2
又 ( 0 , 0)，∴ =
0 0 0
0+√ 3
=
0(√ 3 0 1) 0 √ 3
√ 3 1 00
(√ 3 0+1)
= 0
(√ 3 0+1) 0 = = 0 ，
√ 3 20 2 0 √ 3 (√ 3 0+1)( √ 3) 0 √ 3
0
从而 ： 0 = ( ) √ 3 0 ， 0
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令 = √ 3，得 = 0，因此直线 过定点 (√ 3, 0)．
19.【答案】解：(1)因为{ }是等差数列且公差为2，所以 = 1 + 2( 1)，
所以对任意 ， ∈ ， ≠ ，
| | = |[ 1 + 2( 1)] [ 1 +2( 1)]| = |2( )| ≤ 2( )恒成立，
所以数列{ }符合“ (2)条件”．
(2)①因为 > 0，所以 > 0．
1 1
若 = 1，则| | = 0 ≤ | |，数列{ }符合“ ( )条件”； 2 2
若 > 1，因为数列{ }递增，不妨设 < ，
1 1 1
则 ≤ ( )，即 ≤ ，( ) 2 2 2
1
设 = ，由( )式中的 ， 任意性可知，数列{ }不递增， 2
1 1
所以 +1 = ( +1 ) =
1( 1) ≤ 0， ∈ ，
2 2
则当 > 1 [2( 1)]时， 1
1
4 ( 1) > 0，矛盾． 2
若0 < < 1，则数列{ }单调递减，不妨设 < ，则
1 1 1
≤ ( )，即 + ≤ 2 2 + ，( ) 2
1
设 = + ，由( )式中的 ， 任意性可知，数列{ }不递减， 2
1 +1 1所以 +1 = ( +1 )+ = ( 1) + ≥ 0， ∈ ． 2 2
1
因为0 < < 1时， ( ) = 1( 1) + 单调递增，
2
1
所以 ( ) = (1) = ( 1)+ ≥ 0， 2
1
因为0 < < 1，所以 ≤ < 1．
2
1
综上得，公比 的取值范围为[ , 1]．
2
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1 1
②由①知， = ， ≤ ≤ 1， 1 2
当 = 1时， = ，要存在 0使得| | ≤ 0| |，
只要 0 ≥ 1即可．
1
当 ≤ < 1时，要证数列{ }符合“ ( 0)条件”， 2
1 1
只要证存在 0 > 0，使得| | ≤ 0| |， ∈
，
1 1
不妨设 < ，则只要证 ≤ 0(1 )( )，
只要证 + 0(1 ) ≤ + 0(1 ) ．
设 ( ) = + 0(1 )
，由 ， 的任意性可知，
只要证 ( + 1) ( ) = ( 1) + 0(1 ) = (1 )( 0
) ≥ 0，
只要证 0 ≥ ， ∈ ，
1
因为 ≤ < 1，所以存在 0 ≥ ，上式对 ∈
成立．
2
所以，存在正数 0，使得数列{ }符合“ ( 0)条件”．
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