四川省2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

四川省 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
2025
1.直线 ： = cos 的倾斜角为( )
4
2025
A. B. C. D. 0
2 4 4
2.直线3 + 2 3 = 0与3 + 2 = 0之间的距离为( )
√ 3 √ 5 √ 7 3√ 13
A. B. C. D.
5 13 9 13
3.圆 21： +
2 = 4与圆 2 22：( 2) + ( 3) = 9的公切线条数为( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
4.过点 ( 1,3)作圆( 1)2 + ( + 1)2 = 2的切线，则切线的斜率为( )
A. 1或 7 B. 1 C. 2或 7 D. 2
5.连续投掷一枚质地均匀骰子两次，这枚骰子两次出现的点数之积为奇数的概率是( )
1 1 1 1
A. B. C. D.
3 4 5 6
6.在正方体 1 1 1 1中， 为 1 1的中点，则平面 与平面 1 1夹角的余弦值为( )
√ 6 √ 2 √ 15 √ 10
A. B. C. D.
3 4 15 5
7.如图， 是棱长为1的正方体 1 1 1 1内部(含表面)一动点，则| +
+ |的最大值为( )
A. √ 11
B. 2√ 3
C. √ 17
D. 3√ 2
8.如图，在直三棱柱 1 1 1中，△ 为腰长为1的等腰直角三角形，
且 > ，侧面 1 1为正方形， = 2 ， 为平面 1 内一动点，则
+ 的最小值是( )
√ 6
A.
2
√ 3
B.
2
C. √ 5
√ 26
D.
5
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在空间直角坐标系 中，下列叙述正确的是( )
A. 点(1, 1,0)与点(1,1,0)关于 轴对称
B. 点( 3, 1,6)与点(3, 1,6)关于 轴对称
C. 点(2,5,7)与点(2,5, 7)关于平面 对称
D. 坐标轴两两确定的平面把空间分为12个部分
10.已知直线 1： + (1 2 ) = 0在 轴上的截距大于0，直线 2： + 2 4 = 0与 轴交于点 ，则( )
A. < 0 B. 1恒过定点(2,1)
C. 点 到直线 1的距离可能为3 D. 不存在 使得 1// 2
11.已知平面内一动点 到坐标原点的距离为1，以 为圆心、1为半径的动圆与圆 ：( 1)2 + ( 2)2 = 5
交于 ， 两点，则( )
A. 存在唯一的圆 ，使得 ， 两点重合
B. | | ∈ [√ 5 1, √ 5 + 1]
C. 若△ 存在，则其不可能为等边三角形
4
D. tan∠ 的最大值为
3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知空间向量 = (2,1, 3), = ( , 2 + 1,3)满足 ⊥ ，则 + = ______．
13.已知圆 过( 1,1)，(7, 3)，(5, 7)三点，则圆 的面积为______．
14.在正三棱锥 中， = 2√ 3， ⊥平面 ，点 在底面 内的投影为点 ， 是平面 内
以 为圆心、1为半径的圆上一动点，则异面直线 与 所成角的余弦值最大为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知 ( 2,2)， ( 2,6)， (4, 2)三点，点 在圆 ： 2 + 2 = 4上运动．
(1)若直线 与圆 有唯一公共点，求| |；
(2)求| |2 + | |2 + | |2的最小值．
16.(本小题15分)
已知在△ 中， (0,0)， (2,0)， (1,3)， ， ，分别在线段 ， 上，且 // ．
(1)求 边上的高所在直线的斜截式方程；
1
(2)若△ 的面积为△ 面积的 ，求直线 的一般式方程．
4
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17.(本小题15分)
2
如图，在四面体 中，| | = 3，且 = = 6, = ， 为 的中点，点 是线段 上
3
的动点(含端点)．
(1)以{ , , }为基底表示 ；
(2)求 的最小值．
18.(本小题17分)
已知在空间直角坐标系中，点 (0,0,0)， ( 1,0,1)， (0,1, 1)， (2,1,1)．
(1)证明： , , 不共面；
(2)求点 到平面 的距离；
√ 22
(3)设 为平面 上的一个动点，且| | = ，求 , 的夹角 取得最小值时，| |的值．
2
19.(本小题17分)
现定义：若圆 上一动点 ，圆 外一定点 ，满足| |的最大值为其最小值的两倍，则称 为圆 的“上进
点”.若点 同时是圆 和圆 的“上进点”，则称 为圆“ ”的“牵连点”.已知圆 ：( + 1)2 + ( +
2 11) = ．
3
(1)若点 为圆 的“上进点”，求点 的轨迹方程并说明轨迹的形状；
(2)已知圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 1，且 ， 均为圆“ ”的“牵连点”．
(ⅰ)求直线 的方程；
1
(ⅱ)若圆 是以线段 为直径的圆，直线 ： = + 与 交于 ， 两点，探究当 不断变化时，在 轴上是
3
否存在一点 ，使得 + = 0( 和 分别为直线 和 的斜率)恒成立？若存在，求出点 的坐
标；若不存在，请说明理由．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】4
13.【答案】25
√ 3
14.【答案】
3
15.【答案】解：(1)已知 ( 2,2)， ( 2,6)， (4, 2)三点，点 在圆 ： 2 + 2 = 4上运动，
由题意知，圆 的圆心为 (0,0)，半径 = 2，
故| | = √ ( 2 0)2 + (2 0)2 = 2√ 2 > 2，
由题意可得直线 与圆 相切，且唯一公共点为点 ，
在 △ 中，由勾股定理可得| | = √ | |2 2 = 2．
(2)设 ( , )，且 2 + 2 = 4，
故| |2 + | |2 + | |2 = ( + 2)2 + ( 2)2 + ( + 2)2 + ( 6)2 + ( 4)2 + ( + 2)2
= 3( 2 + 2) 12 + 68 = 12 + 68 12 = 80 12 ，
而 2 ≤ ≤ 2，当 = 2时，| |2 + | |2 + | |2取得最小值56．
16.【答案】解：(1)由题意在△ 中， (0,0)， (2,0)， (1,3)，
3 0
可得直线 的斜率为 1 = = 3， 1 0
1 1
所以 边上的高所在直线的斜率为 = ，
1 3
1
所以 边上的高所在直线的方程为 0 = ( 2)，
3
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1 2
化为斜截式为 = + ．
3 3
1
(2)因为△ 的面积为△ 面积的 , , 分别在线段 ， 上，且 // ，
4
1
所以 = = , 为 的中点，即 (1,0)，
2
3 0
又直线 的斜率为 = 3，
1 2
所以直线 的斜率也为 3，
所以直线 的方程为 0 = 3( 1)，即3 + 3 = 0，
所以直线 的一般式方程为3 + 3 = 0．
2 2 2 1
17【. 答案】解：(1)由题意可知， = + = + = + ( ) = + + ，
3 3 3 3
所以
1 1 2 1 1 1 1
= + = + = + ( + + ) = + + ；
2 2 3 3 2 3 6
(2)设 = (0 ≤ ≤ 1)，
因为 =
2 1 2 1
= ( + ) = ( + + ) = ，
3 3 3 3
2
所以 = (
2

1 2 1
) = 2 = 9 2 6 (0 ≤ ≤ 1)，
3 3 3 3
1 1 1
当且仅当 = 时， 取得最小值，最小值为9 × 6 × = 1．
3 9 3
18.【答案】证明：(1)在空间直角坐标系中，点 (0,0,0)， ( 1,0,1)， (0,1, 1)， (2,1,1).由题意假设存
在 ， ∈ ，使得 = + 成立，
则(2,1,1) = ( 1,0,1) + (0,1, 1)，即(2,1,1) = ( , , )，
2 = ,
可得{1 = , 此方程组无解，所以假设不成立，故 , , 不共面．
1 = ,
解：(2)由题意可得 = ( 1,0,1), = (1,1, 2), = (3,1,0)，
+ 2 = 0,
设平面 的法向量为 = ( , , )，所以{
3 + = 0,
令 = 1，则 = 3， = 1，故平面 的一个法向量为 = ( 1,3,1)，
| | 2 2√ 11
故点 到平面 的距离 = = = ．
| | √ 11 11
解：(3)设 , 的夹角为 ，
2 2 3
则 = = = √ , = ．
| || | √ 2×√ 11 11 √ 11
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所以 = ， 2
所以| | = | +
15 15 √ 6
| = √ | |2 + | |2 + 2 = √ 2√ 11 = √ 6 = ．
2 2 2
√ 3 √ 3
19.【答案】解：(1)因为点 为圆 的“上进点”，所以| | + = 2(| | )，即| | = √ 3，
3 3
所以 的轨迹方程为( + 1)2 + ( + 1)2 = 3，
所以点 的轨迹是以 ( 1, 1)为圆心√ 3为半径的圆．
(2)( )因为 为圆“ ”的“牵连点”，所以 同时是圆 和圆 的“上进点”，
由 为圆 的“上进点”，得| | + 1 = 2(| | 1)，所以| | = 3，
即点 在圆( 2)2 + ( 2)2 = 9上，
由 为圆 的“上进点”，得点 在圆( + 1)2 + ( + 1)2 = 3上，
则点 是圆( + 1)2 + ( + 1)2 = 3和( 2)2 + ( 2)2 = 9的交点．
因为 ， 均为圆“ ”的“牵连点”，
所以直线 即为圆( + 1)2 + ( + 1)2 = 3和( 2)2 + ( 2)2 = 9的公共弦所在直线，
两圆方程相减可得 + = 0，故直线 的方程为 + = 0．
(ⅱ)设( + 1)2 + ( + 1)2 = 3的圆心为 ( 1, 1)，半径为√ 3，
( 2)2 + ( 2)2 = 9的圆心为 (2,2)，半径为3．
直线 的方程为 = ，与 + = 0联立得 的中点坐标为(0,0)，
2 | |
点 到直线 + = 0的距离为 = √ 2，则 = √ (√ 3)2 (√ 2)2 = 1，
√ 2 2
所以圆 的方程为 2 + 2 = 1．
假设 轴上存在点 (0, )满足题意，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1 2 ≠ 0，
1 2 则 + = 0，即 + = 0，整理得 ( 2 1 ) + 1( 2 ) = 0， 1 2
1 1 1 1
将 1 = 1 + ， 2 = 2 + ，代入上式可得 2( 1 + ) + 1( 2 + ) = 0， 3 3 3 3
1
整理得2 1 2 + ( )( 3 1 + 2) = 0①，
1
= + , 2 8
联立{ 3 可得( 2 + 1) 2 + = 0， > 0，
2 + 2 = 1, 3 9
2 8
2
所以 1 + 2 =
3
2 ，
9
1 2 = 2 ，代入①并整理得 2 + = 0，
+1 +1 3
此式对任意的 都成立，所以 = 3．
故 轴上存在点 (0,3)，使得 + = 0恒成立．
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