北京市对外经贸易大学附属中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试卷（PDF版，含答案）

北京市对外经贸易大学附属中学 2024-2025 学年高一上学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.已知集合 = { | 2 < 9}， = { | 3 ≤ 0}，则 ∩ =( )
A. {1,2} B. {0,1,2} C. { | 3 < ≤ 3} D. { | 3 < < 3}
2.下列函数中，是偶函数且在(0, +∞)上单调递增的是( )
1
A. = B. = √ C. = | | D. = 3 + 1

1
3.已知 ∈ ，则“ < 1”是“ > 1”的( )

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设 ， ∈ ，且 < < 0，则( )
1 1 +
A. < B. > C. > √ D. + > 2
2
1
5.已知幂函数 ( )的图像过点(2, )，则( )
4
A. ( )为减函数 B. ( )的值域为(0, +∞)
C. ( )为奇函数 D. ( )的定义域为
6.函数 = ( )是定义域为 的偶函数，且在(0, +∞)上单调递减，则( )
A. ( ) > ( 1) > (√ 2) B. ( 1) > ( ) > (√ 2)
C. ( ) > (√ 2) > ( 1) D. ( 1) > (√ 2) > ( )
7.已知 = 1.60.3， = 1.60.8， = 0.70.8，则( )
A. < < B. < < C. > > D. > >
8.设已知函数 ( )如下表所示：则不等式 [ ( )] ≥ 0的解集为( )
2 1 0 1 2
( ) 2 1 0 1 2
A. {1,2,0} B. { 1, 2,0} C. {1,2} D. { 1, 2}
2 5, ≤ 1
9.已知函数 ( ) = { 是 上的增函数，则 的取值范围是( )
, > 1

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A. ( ∞, 2) B. ( ∞, 0) C. ( 3, 2] D. [ 3, 2]
( ) ( )
10.已知定义在(0, +∞)上的函数 ( )满足： 1， 2 ∈ (0, +∞)，当 ≠ 时，有
1 1 2 2
1 2 > 0，则称 1 2
函数 ( )为“理想函数”.根据此定义，下列函数为“理想函数”的是( )
1 1
A. ( ) = 1 B. ( ) = 2 C. ( ) = 1 D. ( ) =
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.若命题 ： ∈ ， 2 < 3，则 的否定为______．
1
12.函数 ( ) = ln 2 + √ 的定义域是______． 2
3
13.已知 > 1，则 + 的最小值为______，此时 的值为______．
1
2 ( > 0)
14.已知函数 ( ) = { 1 ，若 ( ) = 4，则 = ． ( ) ( ≤ 0)
2
| ∩ |
15.设 ， 为两个非空有限集合，定义 ( , ) = 1 其中| |表示集合 的元素个数.某学校甲、乙、丙、
| ∪ |
丁四名同学从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物这6门高中学业水平等级性考试科目中自主选择3门
参加考试，设这四名同学的选考科目组成的集合分别为 1， 2， 3， 4 .已知 1 = {物理，化学，生物}， 2 = {
地理，物理，化学}， 3 = {思想政治，历史，地理}，给出下列四个结论：
①若 ( 2 , 4) = 1，则 4 = {思想政治，历史，生物}；
②若 ( 1 , 2) = ( 1 , 4)，则 4 = {地理，物理，化学}；
③若 4 = {思想政治，物理，生物}，则 ( 1, 4) < ( 2 , 4) = ( 3 , 4)；
④若 ( 1 , 4) > ( 2 , 4) = ( 3 , 4)，则 4 = {思想政治，地理，化学}．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
1
已知集合 = { | 2 3 > 0}， = { | < 0}， = { | < < 2 }．
+2
(1)求 ∩ ， ∩ ( )；
(2)若 ∩ = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数 ( ) = ( + 1) 2 + 1．
(1)当 = 5时，求不等式 ( ) > 0的解集；
(2)若不等式 ( ) > 0的解集为 ，求实数的取值范围．
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18.(本小题12分)
已知函数 ( ) = log (1 + ) log (1 )( > 0且 ≠ 1)．
(1)求 (0)；
(2)判断 ( )的奇偶性，并用定义证明；
(3)0 < < 1时，求使 ( ) > 0成立的 的取值范围．
19.(本小题12分)
计算：
1 1 2 1
(1)(0.027) 3 + √ ( )3 + 6√( 4)6 + ；
64 √ 2+1
1
(2) 216 + 535 514 5
1 52
5 ； 50
(3)log23 = ，2
= 7，试用 ， 表示log4256．
20.(本小题12分)
已知二次函数 ( )的最小值为1，且 (0) = (2) = 3．
(Ⅰ)求 ( )的解析式；
(Ⅱ)若在区间 ∈ [ 1,1]上， ( ) > 2 + 2 + 1恒成立，试确定实数 的取值范围．
21.(本小题12分)
欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函
数的性质，例如，欧拉引入倒函数的定义：对于函数 = ( )，如果对于其定义域 中任意给定的实数 ，
都有 ∈ ，并且 ( ) ( ) = 1，就称函数 = ( )为倒函数．
1+
(1)已知 ( ) = 2 ， ( ) = ，判断 = ( )和 = ( )是不是倒函数，并说明理由；
1
2
[ ( )] 1
(2)若 = ( )是 上的倒函数，其函数值恒大于0，且在 上是严格增函数.记 ( ) = ，证明： 1 + ( )
2 > 0是 ( 1) + ( 2) > 0的充要条件．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 ∈ ， 2 ≥ 3
12.【答案】( ∞, 1)
13.【答案】1 + 2√ 3 1 + √ 3
14.【答案】 2或16
15.【答案】①③
1
16.【答案】解：(1) = { | 2 3 > 0} = { | > 3或 < 0}， = { | < 0} = { | 2 < < 1}，
+2
则 = { | ≥ 1或 ≤ 2}，
所以 ∩ = { | 2 < < 0}，
∩ ( ) = { | ≤ 2或 > 3}；
(2)若 ∩ = ，
当 = 时，则 ≥ 2 ，即 ≤ 0；
当 ≠ 时，
< 2
则{ ，解得 ≥ 1，
2 ≤ 2 或 ≥ 1
综上所述， ∈ ( ∞, 0] ∪ [1, +∞)．
17.【答案】解：(1)当 = 5时， ( ) = 6 2 5 + 1，
不等式 ( ) > 0即为6 2 5 + 1 > 0，
1 1
解得 < 或 > ，
3 2
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1 1
∴该不等式的解集为{ | < 或 > }；
3 2
(2)由题意得( + 1) 2 + 1 > 0的解集为 ，
当 = 1时，该不等式的解集为( 1, +∞)，不符合题意，舍去；
当 < 1时，不符合题意，舍去；
当 > 1时，△= ( )2 4( + 1) < 0，解得2 2√ 2 < < 2 + 2√ 2；
综上所述，实数 的取值范围是(2 2√ 2, 2 + 2√ 2)．
18.【答案】解：(1) ( ) = log (1 + ) log (1 )，
令 = 0得， (0) = log 1 log 1 = 0；
(2)函数 ( )是奇函数，证明如下：
1 + > 0
由题意{ ，解得 1 < < 1，
1 > 0
所以函数 ( )的定义域为( 1,1)，关于原点对称，
因为 ( ) = log (1 ) log (1 + ) = ( )，
所以函数 ( )为奇函数；
(3)当0 < < 1时，函数 = log 在(0, +∞)上是减函数，
由 ( ) > 0，得log (1 + ) > log (1 )，
1 + > 0
所以{1 > 0 ，
1 + < 1
解得 1 < < 0，
所以使 ( ) > 0成立的 的取值范围为( 1,0)．
1 1 2 1
19.【答案】解：(1)(0.027) 63 + √ ( )3 + √( 4)6 +
64 √ 2+1
1 1 2 ×3 3×
= (0.3) 3 + √ ( ) 3 + 4 + √ 2 1
4
10 1 79
= + + 3 + √ 2 = + √ 2 ；
3 4 12
1
(2) 216 + 535
1 52
514 5 5 50
35×50 5 5 5 9
= 4 + 5 5
52 = 4 + 125 = 4 + 3 = ；
14 2 2 2
(3) ∵ 2 = 7，∴ = log27
56 7+ 8 +3
∴ 4256 =
2 = 2 2 = ．
242 22+ 23+ 27 1+ +
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20.【答案】解：(Ⅰ)根据 (0) = (2) = 3知， ( )的对称轴为 = 1， ( )的最小值为1；
∴设 ( ) = ( 1)2 + 1，
∴ (0) = + 1 = 3；
∴ = 2；
∴ ( ) = 2( 1)2 + 1 = 2 2 4 + 3；
(Ⅱ)若在区间 ∈ [ 1,1]上， ( ) > 2 + 2 + 1恒成立，
则2( 1)2 + 1 > 2 + 2 + 1，
即 < 2 3 + 1在 ∈ [ 1,1]上恒成立；
= 2 3 + 1在[ 1,1]上单调递减；
∴ = 1时， 取最小值 1；
∴ < 1；
∴ 的取值范围为( ∞, 1)．
21.【答案】解：(1) = ( )是倒函数， = ( )不是倒函数，理由如下：
对于 ( ) = 2 ，定义域为 ，显然定义域 中任意实数 有 ∈ 成立，
又 ( ) ( ) = 2 2 = 1，所以 ( ) = 2 是倒函数，
1+
对于 ( ) = ，定义域为{ | ≠ 1}，
1
故当 = 1时， = 1 { | ≠ 1}，不符合倒函数的定义，
1+
所以 ( ) = 不是倒函数；
1
2
[ ( )] 1 1
(2)证明：因为 ( ) = = ( ) ，又 = ( )是 上的倒函数，
( ) ( )
1
所以 ( ) = ，所以 ( ) = ( ) ( )，
( )
故 F( 1) + ( 2) = ( 1) ( 1) + ( 2) ( 2)，
充分性：当 1 + 2 > 0时， 1 > 2且 2 > 1，又 ( )在 上是严格增函数，
所以 ( 1) > ( 2)， ( 2) > ( 1)，
所以 ( 1) ( 2) > 0， ( 2) ( 1) > 0，故 F( 1)+ ( 2) > 0．
必要性：当 ( 1) + ( 2) > 0时，
1 1 ( )+ ( )
有 ( 1) + ( 2) = ( )+ (
1 2
( ) ( ) 1 2
)
1 2 ( 1) ( 2)
( ) ( ) 1
= [ ( 1)+ ( 2)]
1 2 > 0，
( 1) ( 2)
又 ( )恒大于0，所以 ( 1) ( 2) > 1 = ( 1) ( 1)，
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因为 ( 1) > 0，所以 ( 2) > ( 1)，
因为 ( )在 上是严格增函数．所以 2 > 1，即有 1 + 2 > 0成立．
综上所述： 1 + 2 > 0是 ( 1) + ( 2) > 0的充要条件．
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