2024-2025学年广东省领航高中联盟高二（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省领航高中联盟高二（上）第一次联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点且倾斜角为的直线的方程为( )
A. B.
C. D.
2.已知向量，，若，共线，则( )
A. B. C. D.
3.阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积已知椭圆：的面积为，焦距为，则的离心率为( )
A. B. C. D.
4.已知四面体如图所示，点为线段的中点，点为的重心，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，且点，，则直线的倾斜角的取值范围是( )
A. B. C. D.
6.已知为坐标原点，双曲线：的右焦点为，点在上，且在轴上的射影为，若，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.若一束光线从点处出发，经过直线：上一点反射后，反射光线与圆：交于点，则光线从点到点经过的最短路线长为( )
A. B. C. D.
8.古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点，的距离之比为定值且的点的轨迹是一个圆后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆已知动点在边长为的正方形内包含边界运动，且满足，则动点的轨迹长度为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则( )
A. B.
C. D.
10.已知点，直线：，圆：，则( )
A. 直线的一个方向向量为
B. 点到直线的距离为
C. 圆上的点到点的距离的最大值为
D. 直线被圆截得的弦长为
11.已知，分别是双曲线：的左、右焦点，经过点且倾斜角为钝角的直线与的两条渐近线分别交于，两点，点为上第二象限内一点，则( )
A. 若双曲线与有相同的渐近线，且的焦距为，则的方程为
B. 若，则的最小值是
C. 若内切圆的半径为，则点的坐标为
D. 若线段的中垂线过点，则直线的斜率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知圆：，圆：，则，的公切线方程为______写出一条即可
13.已知六面体如图所示，其由一个三棱锥和一个正四面体拼接而成，其中，，若为线段的中点，则异面直线与所成角的余弦值为______．
14.已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，若和的离心率分别为，，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线过点．
若直线与直线：垂直，求的方程；
若直线与圆：相切，求的方程．
16.本小题分
已知双曲线：，直线与交于，两点．
若的方程为，求；
若，且，求的斜率．
17.本小题分
如图，长方体中，，点，分别是线段，上靠近，的四等分点．
求点到平面的距离；
求平面与平面的夹角的余弦值．
18.本小题分
已知等腰梯形如图所示，其中，，点在线段上，且，，现沿进行翻折，使得平面平面，所得图形如图所示．
证明：；
已知点在线段上含端点位置，点在线段上含端点位置．
若，点为线段的中点，求与平面所成角的正弦值；
探究：是否存在点，，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，定义：以椭圆中心为圆心、长轴长为直径的圆叫做椭圆的“伴随圆”，过椭圆上一点作轴的垂线交其“伴随圆”于点，称点为点的“伴随点”已知椭圆：上的点的一个“伴随点”为．
求椭圆的方程；
过点的直线与椭圆交于不同的两点，，点与点关于轴对称．
证明：直线恒过定点；
记中的直线所过的定点为，若，在直线上的射影分别为，为不同的两点，记，，的面积分别为，，，求的取值范围．
参考答案
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14.【答案】
15.【答案】解：易知直线的斜率存在，设直线的斜率为，
若直线与直线：垂直，
因为直线的斜率为，则，
故直线的方程为，即．
依题意，圆：，
若直线的斜率不存在，即直线的方程为，此时直线与圆相切，符合题意；
若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，
故圆心到直线的距离，解得，
此时直线的方程为，
综上所述，直线的方程为或．
16.【答案】解：设，；
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，，
则；
若，
此时为线段的中点，
所以，，
联立，两点均在双曲线上，
所以，
两式相减得，
整理得，
所以直线的斜率为，
此时直线方程为，
即，
联立，消去并整理得，
此时．
故存在直线，使得直线的斜率为．
17.【答案】解：长方体中，，点，分别是线段，上靠近，的四等分点，
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
可得，，，
设为平面的法向量，
则，
令，则，，
可得平面的一个法向量，
故点到平面的距离．
由，，可得，，
设为平面的法向量，
则，
令，则，
可得为平面的一个法向量，
记平面与平面的夹角为，
故．
故平面与平面的夹角的余弦值为．
18.【答案】证明：因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面，
而平面，故CD；
解：由题意易知，，两两垂直，
故以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨设，则，，可得，
(ⅰ)因为，等腰梯形中，，
则，，，
，，，
故，，
设为平面的法向量，
则，即，
令，则，，
可得为平面的一个法向量，
而，
，，，
所以，，
设直线与平面所成的角为，，
所以，；
(ⅱ)由题意，
设，，
故F，，
设，，则，
而，，
若平面，，即，
解得，
故当，重合，点的坐标为时，
平面，此时．
19.【答案】解：因为椭圆过点，其伴随圆过点．
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
证明：当直线的斜率不为时，
设直线的方程为，，，
可得，
联立，消去并整理得，
此时，
解得，
由韦达定理得，，
直线的方程为，
由椭圆的对称性知，若存在定点，则必在轴上，
当时，
解得
，
所以直线恒过定点．
当直线的斜率为时，直线的方程为，
此时直线过，
综上所述，直线恒过定点．
(ⅱ)易知直线的斜率存在且不为，，
设直线的方程为，，，，
此时，，
，
由(ⅰ)知且，
所以
，
因为，
所以，
所以，
此时．
故的取值范围为．
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