北京市和平街第一中学2024-2025学年高一上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京市和平街第一中学 2024-2025 学年高一上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.设 = ， = { | > 1}， = { | > 2}，则 ∩ ( )
A. { |1 ≤ < 2} B. { |1 < ≤ 2} C. { | < 1} D. { | > 2}
2.命题 ： > 2， 2 1 > 0，则￢ 是( )
A. > 2， 2 1 ≤ 0 B. ≤ 2， 2 1 > 0
C. > 2， 2 1 ≤ 0 D. ≤ 2， 2 1 ≤ 0
3.若 ∈ {1,2, 3}，则 的所有可能的取值构成的集合为( )
A. {0} B. {0, 1} C. {0,2} D. {0, 1,2}
4.已知 、 、 ∈ ，且 > ，则下列不等式正确的是( )
1 1
A. > B. 2 > 2 C. 3 > 3 D. <

5.已知函数 = 2 3在区间[0,1]上是单调函数，则实数 的取值范围是( )
A. [0,2] B. (0,2)
C. ( ∞, 0] ∪ [2, +∞) D. ( ∞, 0) ∪ (2, +∞)
6.函数 ( )为奇函数，且当 ∈ ( ∞, 0)时， ( ) = 1 + 2 3，则当 ∈ (0, +∞)时， ( )解析式是( )
A. ( ) = 1 2 3 B. ( ) = 1 2 + 3
C. ( ) = 1 2 3 D. ( ) = 1 2 + 3
7.已知集合 = { | 2 2 8 < 0}， = { | ≤ 4}，则“ ∈ ”是“ ∈ ”( )
A. 充要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2 5( ≤ 1)
8.已知函数 ( ) = { 是 上的增函数，则 的取值范围是( )
( > 1)

A. 3 ≤ < 0 B. 3 ≤ ≤ 2 C. ≤ 2 D. < 0
, ≥
9.若定义运算 = { ，则函数 ( ) = 2 ( )的值域为( )
, <
A. ( ∞, 0] B. C. [ 1, +∞) D. ( ∞, 0)
10.已知函数 = ( )是定义在 上的函数， (1 + ) = (1 )，函数 ( + 1)的图象关于点( 1,0)对称，
且对任意的 ， ∈ [0,1]， 3 3 3 31 2 1 ≠ 2，均有 1 ( 1) + 2 ( 2) > 1 ( 2) + 2 ( 1)，则下列关于函数 = ( )
的说法中，正确的个数是( )
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① ( + 2) = ( 2)；
13 26
② ( ) < ( )；
2 3
③函数 = ( )在[2,4]上单调递增；
④不等式 ( ) ≥ 0的解集为[4 , 4 + 2]( ∈ )．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
1
11.函数 ( ) = √ + 3 + 的定义域为______．
5
12.已知幂函数 ( )为奇函数，且在(0, +∞)上单调递增，则 ( )的解析式可以为______. (写一个即可)
13.如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙(墙的长度没有限制)的矩形菜园.设菜
园的长为 ，宽为 .若菜园面积为32 2，则 = ______时，可使所用篱笆总长
最小，最小值为______．
14.对于任意实数 ，不等式 2 + 1 < 0恒成立，则实数 的取值范围是______．
2 + + 1, ≤ 1,
15.已知函数 ( ) = {
, > 1.
(1)若 = 0，则 ( )的最大值是 ；
(2)若 ( )存在最大值，则 的取值范围为 ．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}， = { | 1 ≤ ≤ 3}．
(1)当 = 2时，求 ∪ 和 ∩ ( )；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
17.(本小题12分)
2 + 1, ≤ 1
已知函数 ( ) = {
2
．
3, > 1
1
(1)求 ( 1), ( ( ))；
2
(2)若 ( ) = 1，求实数 的值；
(3)作出函数 = ( )在[ 2,2)区间内的图像．
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18.(本小题12分)
设 = 2 + (1 ) + 2．
(1)若 = 2，求不等式 > 0的解集；
(2)解关于 的不等式 2 + (1 ) + 2 < 1( ∈ )．
19.(本小题12分)
+ 1 2
已知函数 ( ) = 2是定义在( 1,1)上的函数， ( ) = ( )恒成立，且 ( ) = ． 1+ 2 5
(1)确定函数 ( )的解析式，并用定义研究 ( )在( 1,1)上的单调性；
(2)解不等式 ( 1) + ( ) < 0．
20.(本小题12分)
在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年
固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备 万台且全部售完，每万台
180 , 0 < ≤ 20
的销售收入 ( )(万元)与年产量 (万台)满足如下关系式： ( ) = { 2000 800070 + , > 20．
( 1)
(1)写出年利润 ( )(万元)关于年产量 (万台)的函数解析式(利润=销售收入 成本)
(2)当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润．
21.(本小题12分)
1, ∈
对于集合 ，定义函数 ( ) = { 对于两个集合 ， ，定义集合 △ = { | ( ) ( ) = 1}.已1, .
知 = {2,4,6,8,10}， = {1,2,4,8,16}．
(Ⅰ)写出 (1)和 (1)的值，并用列举法写出集合 △ ；
(Ⅱ)用 ( )表示有限集合 所含元素的个数，求 ( △ ) + ( △ )的最小值；
(Ⅲ)有多少个集合对( , )，满足 ， ∪ ，且( △ ) △ ( △ ) = △ ？
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】[ 3,5) ∪ (5, +∞)
12.【答案】 ( ) = 3(答案不唯一)
13.【答案】8 16
14.【答案】( 4,0]
15.【答案】1 ；；( ∞, 0]
16.【答案】解：(1) = 2时，集合 = { | 1 ≤ ≤ 2 + 1}，
则 = { |1 ≤ ≤ 5}，
又 = { | 1 ≤ ≤ 3}，
则 ∪ = { | 1 ≤ ≤ 5}，
= { | < 1或 > 3}，
所以 ∩ ( ) = { |3 < ≤ 5}；
(2)若“ ∈ ”是“ ∈ ”的充分不必要条件，
则 是 的真子集，
若 1 > 2 + 1，即 < 2，则 = 满足题意，
1 ≥ 1
若 ≥ 2，则 ≠ ，此时{ ，解得0 ≤ ≤ 1，
2 + 1 ≤ 3
所以0 ≤ ≤ 1，
综上 的取值范围是{ | < 2或0 ≤ ≤ 1}．
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1 1
17.【答案】解：(1)易知 ( 1) = 2 + 1 = 1, ( ( )) = (2 × + 1) =
2 2
(2) = 22 3 = 1；
(2)当 > 1时， 2 3 = 1，解得 = 2或 = 2(舍)，
当 ≤ 1时，2 + 1 = 1，解得 = 0，满足要求，
综上可得 = 2或0；
(3)由分段函数解析式分别由一次函数和二次函数图象性质作出函数图象
如下所示：
18.【答案】解：(1)若 = 2，则由 = 2 + (1 ) + 2 = 2 2 = (2 1) > 0，
1 1
解得 < 0或 > ，所以不等式 > 0的解集为( ∞, 0) ∪ ( , +∞)．
2 2
(2)不等式 2 + (1 ) + 2 < 1，
即 2 + (1 ) 1 = ( + 1)( 1) < 0，
1
当 1 < < 0时，不等式的解集为( ∞, 1) ∪ ( , +∞)；

当 = 1时，不等式的解集为{ | ≠ 1}；
1
当 < 1时，不等式的解集为( ∞, ) ∪ (1, +∞)．

当 = 0时， 1 < 0，解得 < 1，不等式的解集为( ∞, 1)；
1
当 > 0时，不等式的解集为( , 1)．

(0) = 0 = 0
1
19.【答案】解：(1)由题意可知{ 1 2 ，即{ + 2 2，
( ) =
2 5 1
=
1+ 5
4
= 0
解得{ ，
= 1

所以 ( ) = ，经检验满足奇函数，
1+ 2
设 1 < 1 < 2 < 1，
1 2 ( 1 2)(1 1 2)则 ( 1) ( 2) = 2 = ， 1+ 1 1+
2
2 (1+
2
1)(1+
2
2)
∵ 1 < 1 < 2 < 1，
∴ 1 < 1 2 < 1，且 1 2 < 0，则1 1 2 > 0，
∴ ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
∴函数 ( )在( 1,1)上是增函数；
(2) ∵ ( 1) + ( ) < 0，∴ ( 1) < ( ) = ( )，
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又∵ ( )是定义在( 1,1)上的增函数，
1 < 1 < 1
1
∴ { 1 < < 1 ，解得0 < < ，
2
1 <
1
∴解集为(0, )．
2
180 , 0 < ≤ 20
20.【答案】解：(1)因为 ( ) = { 2000 8000 ，
70 + , > 20
( 1)
50 + 90 2, 0 < ≤ 20
所以 ( ) = ( ) 50 90 = { 8000 ；
20 + 1950 , > 20
( 1)
(2)当0 < ≤ 20时， ( ) = 50 + 90 2 = ( 45)2 + 1975，
由函数性质可知当 ≤ 45时单调递增，所以当 = 20时， ( ) = 1350，
8000 400
当 > 20时， ( ) = 20 + 1950 = 20[( 1) + ] + 1930，
( 1) 1
400 400
由不等式性质可知 ( ) = 20[( 1) + ] + 1930 ≤ 20 × 2 × √ ( 1) + 1930 = 1130，
1 1
400
当且仅当 1 = ，即 = 21时，等号成立，所以 ( ) = 1130， 1
综上当 = 20时， ( ) = 1350．
21.【答案】解：(Ⅰ)结合所给定义知， (1) = 1， (1) = 1， △ = {1,6,10,16}．
(Ⅱ)根据题意可知：对于集合 ， ，
①若 ∈ 且 ，则 ( △ ( ∪ { }) = ( △ ) 1；
②若 且 ，则 ( △ ( ∪ { }) = ( △ ) + 1．
所以 要使 ( △ ) + ( △ )的值最小，2，4，8一定属于集合 ；
1，6，10，16是否属于 不影响 ( △ ) + ( △ )的值，但集合 不能含有 ∪ 之外的元素．
所以 当 为集合{1,6,10,16}的子集与集合{2,4,8}的并集时， ( △ ) + ( △ )取到最小值4．
所以 ( △ ) + ( △ )的最小值
(Ⅲ)因为 △ = { | ( ) ( ) = 1}，
所以 △ = △ ．
由定义可知： △ ( ) = ( ) ( )．
所以 对任意元素 ， ( △ )△ ( ) = △ ( ) ( ) = ( ) ( ) ( )，
△( △ )( ) = ( ) △ ( ) = ( ) ( ) ( )．
所以 ( △ )△ ( ) = △( △ )( )．
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所以 ( △ ) △ = △ ( △ )．
由 ( △ ) △ ( △ ) = △ 知：( △ ) △ ( △ ) = △ ．
所以 ( △ ) △ ( △ ) △ ( △ ) = ( △ ) △ ( △ )．
所以 △ △ = ．
所以 △ = ，即 = ．
因为 ， ∪ ，
所以 满足题意的集合对( , )的个数为27 = 128．
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