云南省德宏州傣族景颇族第一中学2024-2025学年高一上学习期中数学试卷（PDF版，含答案）

云南省德宏州傣族景颇族第一中学 2024-2025 学年高一上学习期中数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.图中阴影区域所表示的集合为( )
A. {1} B. {2} C. {1,2} D. {5,6}
2.函数 ( ) = √ 2 + 2的单调增区间为( )
1 1
A. [2, +∞) B. ( ∞, ] C. [ , +∞) D. ( ∞, 1]
2 2
3.已知函数 ( )在其定义域( ∞, 0)上是减函数，且 (1 ) < ( 3)，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 2) B. (0,1) C. (0,2) D. (1,2)
4.已知幂函数 ( ) = ( 2 2 2) ( ∈ )在(0, +∞)上单调递增，不等式 ( + 5) < ( 2 3 )的解集为
( )
A. ( ∞, 5) ∪ (1, +∞) B. ( ∞, 1) ∪ (5,+∞)
C. ( 1,5) D. ( 5,1)
5.若函数 = ( )是偶函数，且在( ∞, 0)上是增函数，则 ( )， ( 3)， ( √ 3)的大小关系是( )
A. ( ) < ( 3) < ( √ 3) B. ( ) < ( √ 3) < ( 3)
C. ( √ 3) < ( 3) < ( ) D. ( 3) < ( √ 3) < ( )
1 1
6.已知幂函数 = ( )的图象经过点 (8, )，则 ( )的值是( )
2 8
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7.已知定义在 上的奇函数 ( )的图象是一条连续不断的曲线， > 0时， ( )单调递增，则满足： (1 + ) +
(1 2) > 0的实数 的取值范围为( )
A. ( 1,1) B. ( 1,2)
C. ( 2,1) D. (1 √ 2, 1 + √ 2)
+2 +5 8 +2 +5 +3 +3
8.已知 > 0， > 0， > 0，则 + + 的最小值为( )
+ 2 +3 2 +
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、多选题：本题共 3 小题，共 15 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合 = {1,2,3}，下列说法正确的是( )
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A. ∈ B. {1,2} ∈
C. D. 含有1的子集个数为4个
10.下列说法正确的是( )
A. > 的一个必要不充分条件是 1 >
1
B. 若集合 = { | 2 + + 1 = 0}中只有一个元素，则 =
4
C. 若命题“ ∈ ， 2 + 1 ≤ 0”是假命题，则实数 的取值范围是{ | 2 < < 2}
D. 已知集合 = {0,1}，则满足条件 ∪ = 的集合 的个数为4
+ 2, < 1
11.已知 ( ) = { (常数 ≠ 0)，则( )
+ + 2, ≥ 1

A. 当 > 0时， ( )在 上是减函数
1
B. 当 > 时， ( )没有最小值
2
C. 当 = 1时， ( )的值域为[0,+∞)
D. 当 = 3时， 1 ≥ 1， 2 < 1，有 ( 1) + ( 2) = 0
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 ( ) = 2 + ( + 3) + 是定义在[ 3,2 ]上的偶函数，则 + = ______．

13.关于 的方程| | = 的解集为______．
1 1
14.如图，线段 ， 相交于 ，且 ， ， ， 长度构成集合{1,5,9, }，
∠ = ∠ = 90°，则 的取值个数为______．
四、解答题：本题共 8 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题8分)
求下列方程(组)的解集：
(1) 2 + 5 6 = 0；
(2) = 3；
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(3) + 2√ 1 = 0；
2
+ 2 = 1
(4) { 4 ．
1
= + 1
2
16.(本小题10分)
解下列不等式：
1
(1) 2 < ≤ 3；
2 +1
(2)2 < | + 1| ≤ 3．
17.(本小题5分)
作出二次函数 ( ) = 2 + + ( ≠ 0)的图象的示意图，并得出各种情况下不等式 2 + + > 0和
2 + + ≤ 0的解集．
18.(本小题7分)
2
已知函数 ( ) = { + , ≥ 0．
2 , < 0
(1)若 ( ) = 6，求实数 的值；
(2)画出函数的图象并写出函数 ( )在区间[ 2,2]上的值域；
(3)若函数 ( ) = ( ) + (2 1) + 2，求函数 ( )在[1,4]上最大值．
19.(本小题10分)
1 +
已知函数 ( )是定义在( 2,2)上的奇函数，满足 (1) = ，当 2 < ≤ 0时，有 ( ) = 2 ． 5 +4
(1)求函数 ( )的解析式；
(2)判断 ( )的单调性，并利用定义证明；
(3)解不等式 (2 1) + ( ) < 0．
20.(本小题10分)
投资生产某种产品，并用广告方式促销，已知生产这种产品的年固定投资为10万元，每生产1万件产品还需
1
投入16万元，又知年销量 (万件)与广告费 (万元)之间的函数关系为 = ( > 0)，且已知投入广告

费1万元时，年销量为2万件产品.预计此种产品年销售收入 (万元)等于年成本(万元)(年成本中不含广告费
用)的150%与年广告费用(万元)的50%的和．
(1)试将年利润 (万元)表示为年广告费 (万元)的函数；
(2)当年广告费为多少万元时，年利润最大？最大年利润是多少万元？
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21.(本小题10分)
( ) ( ) 1
已知函数 ( )为 上的一次函数，满足 [ ( )] = 4 1，且 1 2 < 0，又函数 ( )满足 ( ) = 2 +
1 2
1
2．
(Ⅰ)求 ( )的解析式；
(Ⅱ)若 ( ) ≤ 2 2 + 1对所有的 ∈ [ 1,1]，以及所有的 ∈ [0,1]恒成立，求实数 的取值范围；
4 1
(Ⅲ) ( ) = 2[ ( ) 2] + 4 + ( > 0)，对任意 1， 2 ∈ [1,3]，恒有| ( 1) ( 2)| ≤ 24，求实数2
的取值范围．
22.(本小题10分)
已知函数 ( ) = 2 + + 2，关于 的不等式 ( ) > 0的解集为{ | 2 < < 1}．
(1)求实数 ， 的值；
(2)若关于 的不等式 2 + 2 3 > 0的解集为 ，关于 的不等式3 + < 0的解集为 ，且 ，求
实数 的取值范围．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】 2
13.【答案】( ∞, 0] ∪ (1，+∞)
14.【答案】6
15.【答案】解：(1)由 2 + 5 6 = 0得( + 6)( 1) = 0，
解得 1 = 6， 2 = 1，故方程的解集为{ 6,1}；
(2)当 = 0时，方程无解，解集为 ，
3 3
当 ≠ 0时，解方程得 = ，方程解集为{ }；

(3)令√ = ( ≥ 0)，则方程可化为 2 + 2 1 = 0，
解方程得， 1 = 1 + √ 2, 2 = 1 √ 2，
因为 ≥ 0，所以 = 1 + √ 2，
所以 = 2 = ( 1 + √ 2)2 = 3 2√ 2，
故方程解集为{3 2√ 2}；
2
+ 2 = 1
(4)由{ 4 得，2 2 + 4 = 0，解得 1 = 0， 1 2 = 2，
= + 1
2
1 = 0 2 = 2所以方程组的解为{ ，{ ，
1 = 1 2 = 0
故方程组的解集为{(0,1)，( 2,0)}．
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1 1
16.【答案】解(1)不等式等价于2 + 1 < 或2 + 1 ≥ ，
2 3
3 1
解得 < 或 ≥ ，
4 3
3 1
即不等式的解集为( ∞, ) ∪ [ ，+∞)；
4 3
(2) ∵ 2 < | + 1| ≤ 3，
∴ 2 < + 1 ≤ 3或 3 ≤ + 1 < 2，
∴ 1 < ≤ 2或 4 ≤ < 3，
即不等式的解集为(1,2] ∪ [ 4, 3)．
17.【答案】解：当 > 0， = 2 4 ，
① > 0时，画出函数的图象，如图示：
，
则不等式 2 + + > 0的解集是{ | > 2或 < 1}，
不等式 2 + + ≤ 0的解集是{ | 1 < < 2}，
② = 0时，画出函数的图象，如图示：
，

则不等式 2 + + > 0的解集是{ | ≠ }，
2
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不等式 2

+ + ≤ 0的解集是{ | = }，
2
③ < 0时，画出函数的图象，如图示：
，
则不等式 2 + + > 0的解集是 ，
不等式 2 + + ≤ 0的解集是 ；
当 < 0， = 2 4 ，
① > 0时，画出函数的图象，如图示：
，
则不等式 2 + + > 0的解集是{ | 1 < < 2}，
不等式 2 + + ≤ 0的解集是{ | ≤ 1或 > 2}，
② = 0时，画出函数的图象，如图示：
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则不等式 2 + + > 0的解集是
不等式 2 + + ≤ 0的解集是 ；
③ < 0时，画出函数的图象，如图示：
，
则不等式 2 + + > 0的解集是 ，
不等式 2 + + ≤ 0的解集是 ．
18.【答案】解：(1)①当 ≥ 0时， ( ) = 2 + = 6，解得 = 2，
②当 < 0时， ( ) = 2 = 6，解得 = 4
由上知 = 2或 = 4．
(2)函数 ( )的图象如右图：，
∵ (0) = 0， (2) = 22 + 2 = 6， ( 2) = 2 ( 2) = 4，
∴由图象知函数 ( )的值域为[0,6]．
(3)当 ∈ [1,4]时，
( ) = ( ) + (2 1) + 2 = 2 + 2 + 2，
配方得 ( ) = ( + )2 + 2 2，
5 5
当 ≤ 即 ≥ 时， ( )
2 2
= (4) = 18 + 8 ，
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5 5
当 > 即 < 时， ( ) = (1) = 3 + 2 ， 2 2
5
18 + 8 , ≥
综上， ( ) 2 = { ．5
3 + 2 , <
2
19.【答案】解：(1) ∵函数 ( )是定义在( 2,2)上的奇函数，

∴ (0) = 0，即 = 0，解得： = 0，
4
1 1
又因为 (1) = ，即 ( 1) = = ，所以 = 1，
5 5 5

所以当 2 < ≤ 0时，有 ( ) =
2
，
+4
则 ∈ [0,2)，则 ∈ ( 2,0]

因为当 2 < ≤ 0时，有 ( ) = ，
2+4

所以 ( ) =
2+4
因为函数 ( )是定义在( 2,2)上的奇函数，

所以 ( ) = ( ) = 2 = ， +4 2+4

所以 ∈ [0,2)， ( ) = ，
2+4

综上所述 ∈ ( 2,2)， ( ) = 2 ； +4
(2)函数 ( )在( 2,2)为单调递增函数．
证明如下：任取 2 < 1 < 2 < 2，
2+4 2 4
则 ( 1) ( 2) =
1 2
2 2 =
1 2 1 2 1 2
1+4 2+4 (
2
1+4)(
2
2+4)
1 2( 2 1) 4( 2 1) ( 2 1)( = = 1 2
4)
，
( 21+4)(
2
2+4) (
2
1+4)(
2
2+4)
∵ 2 < 1 < 2 < 2，∴ 2 1 > 0， 1 2 4 < 0，
21 + 4 > 0,
2
2 + 4 > 0
( 2 1)( 1 2 4)
∴ 2 2 < 0，即 ( ) < ( )， ( 1+4)( 2+4) 1 2

故 ( ) = 2 ，在( 2,2)上为增函数． +4
(3)因为函数 ( )是定义在( 2,2)上的奇函数，
所以 (2 1) + ( ) < 0等价于 ( ) < (2 1) = (1 2 )，

由(2)知 ( ) = 2 在( 2,2)上为增函数， +4
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< 1 2
1 1
则{ 2 < < 2 ，解得： < < ，
2 3
2 < 2 1 < 2
1 1
故原不等式的解集为{ | < < }．
2 3
1
20.【答案】解：(1) ∵ = ( > 0)，且投入广告费1万元时，年销量为2万件产品∴ = 3，∴ = 3

1
… (2分)

3 1
年销售收入 = (10 + 16 ) + ，年成本为10 + 16 +
2 2
3 1
∴ = (10 + 16 ) + [(10 + 16 ) + ]
2 2 … (4分)
1
= (10 + 16 )
2
1 16
∴ = [58 ( + )] … (8分)
2
1 16 1 16
(2) = [58 ( + )] ≤ (58 2√ ) = 25，… (12分)
2 2
16
当且仅当 = ，即 = 4时，等号成立…(14分)

所以当 = 4时， = 25 … (15分)
答：当年广告费为4万元时，年利润最大，最大年利润是25万元．… (16分)
21.【答案】解：(Ⅰ)因为函数 ( )为 上的一次函数，所以设 ( ) = + ( ≠ 0)，
( 1) ( 2)又 < 0，则 ( )为单调递减函数，所以 < 0，
1 2
因为 ( )满足 [ ( )] = 4 1，则 ( + ) + = 4 1，
2
所以{
= 4
，解得 = 2， = 1，
+ = 1
故 ( ) = 2 + 1；
(Ⅱ)由(1)可知， ( ) = 2 + 1，
则 2 + 1 ≤ 2 2 + 1所有的 ∈ [0,1]恒成立，
因为 ∈ [0,1]，则 2 + 1 ∈ [ 1,1]，
所以 2 2 + 1 ≥ 1对所有的 ∈ [ 1,1]恒成立，即 2 2 ≥ 0对所有的 ∈ [ 1,1]恒成立，
设 ( ) = 2 + 2， ∈ [ 1,1]，
(1) ≥ 0 2
则{ ，即{ 2 + ≥ 02 ，解得 ≤ 2或 ≥ 2， ( 1) ≥ 0 2 + ≥ 0
故实数 的取值范围为( ∞, 2] ∪ [2, +∞)；
1 1 1
(Ⅲ)因为函数 ( )满足 ( ) = 2 + = ( )2 + 2，
2
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所以 ( ) = 2 + 2，( ≠ 0)，
4 1 4 1
则 ( ) = 2[ ( ) 2] + 4 + = 2 2 + 4 + ，
2 2
因为 ( )的对称轴方程为 = < 0，所以 ( )在[1,3]上单调递增，
则 ( ) = (3)， ( ) = (1)，
因为对任意 1， 2 ∈ [1,3]，恒有| ( 1) ( 2)| ≤ 24，
则 ( ) ( ) ≤ 24，
2 4 1 2 4 1故(2 × 3 + 12 + ) (2 × 1 + 4 + ) ≤ 24，
2 2
解得 ≤ 1，
故实数 的取值范围为( ∞, 1]．
22.【答案】解：(1)因为函数 ( ) = 2 + + 2，不等式 ( ) > 0的解集为{ | 2 < < 1}，
所以 2和1是方程 2 + + 2 = 0的实数根，

2 + 1 =
由根与系数的关系得，{ ，
2
2 × 1 =

解得 = 1， = 1；
(2)不等式 2 + 2 3 > 0可化为 2 + 2 + 3 > 0，
2 2 3 < 0，解得 1 < < 3，
所以该不等式的解集为 = { | 1 < < 3}，

不等式3 + < 0可化为 3 < 0，解得 > ，
3

所以不等式的解集为 = { | > }，
3

因为 ，所以 ≤ 1，解得 ≥ 3，
3
所以实数 的取值范围是[3, +∞)．
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