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北师大版九年级上册期末试题调研抢分卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．四个角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
2．下列式子是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
3．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第十二月的总营业额要达到9100万元，求该公司11；12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，反比例函数与的图像上分别有一点A，B，且轴，轴于D，轴于C，若矩形ABCD的面积为8，则（ ）
A．-2 B．-6 C．2 D．6
5．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝2
7．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
10．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
11．若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
12．如图，点P在圆O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在圆O上．若两个正方形的面积之和为16，OP=，则DG的长是（ ）
A．6 B．2 C．7 D．4
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知 ，那么 。
14．如果m是方程 的一个根，那么代数式 的值等于 ．
15．反比例函数 在第一象限内的图象如图所示，点 是图象上的一点， 轴，垂足为点 ，若 的面积为2，则 ．
16．已知：△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以O为位似中心画△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是 ．
17．如图，已知等边△ABC的边长为4，BD⊥AB，且BD= ，连结AB，CD并延长交于点E，则线段BE的长度为 。
18．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值是 。
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．
20．（6分）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为 ．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示 所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程 没有实数根的概率．
21．（9分）如图，直线y1=3x﹣5与反比例函数y2= 的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB.
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞ y2时自变量x的取值范围.
22．（9分）在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
（1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为 ．
23．（9分）你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请写出点P的实际意义；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）当面条的横截面积是1.6mm2时，求面条的总长度．
24．（9分）章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一人一球”活动计划，学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）该班共 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该班班委4人中，1人选修足球，1人选修篮球，2人选修羽毛球，陈老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人中至少有1人选修羽毛球的概率．
25．（9分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 ，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关系 ，乙以 的速度匀速运动，半圆的长度为 ．
（1）甲运动 后的路程是多少
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间
26．（9分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．
（1）如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为 ；
（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，
①求证：△ACD≌△CAE；
②直接写出线段DH的长度是多少？
（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
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北师大版九年级上册期末试题调研抢分卷
数 学
时间：120分钟 满分：120分
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．菱形和矩形都具有的性质是（ ）
A．四条边相等 B．四个角相等
C．对角线互相垂直 D．对角线互相平分
【答案】D
【解析】【解答】解：菱形的性质有：对边平行且相等，对角线互相平分且垂直且平分一组对角，四条边相等，对角相等，邻角互补；
矩形的性质有：对边平行且相等，对角线相等且平分，四个角为直角，
∴只有D选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用菱形和矩形的性质对每个选项一一判断即可。
2．下列式子是一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：A、 是整式，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B、 ，含有两个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C、 整理得： 是一元二次方程，故本选项符合题意；
D、 未知数的最高次数为1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可。
3．某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第十二月的总营业额要达到9100万元，求该公司11；12两个月营业额的月均增长率，设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，则根据题意可列的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，得：，
故答案为：C．
【分析】根据题意设该公司11，12两个月营业额的月均增长率为，即可列出方程。
4．如图，反比例函数与的图像上分别有一点A，B，且轴，轴于D，轴于C，若矩形ABCD的面积为8，则（ ）
A．-2 B．-6 C．2 D．6
【答案】C
【解析】【解答】解：根据题意，矩形ABCD的面积为a+6=8，
∴a=2，
故答案为：C．
【分析】根据反比例函数系数K的几何意义即可得出a的值。
5．经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，甲、乙两辆汽车经过这个十字路口时，一辆车向左转，一辆车向右转的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：画“树形图”如图所示：
∵这两辆汽车行驶方向共有9种可能的结果，其中一辆向右转，一辆向左转的情况有2种，
∴一辆向右转，一辆向左转的概率为；
故答案为：Ｃ．
【分析】画出树状图，得出所有等可能结果，再得出一辆向右转，一辆向左转的情况数，再根据概率公式求解即可。
6．用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（ ）
A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝2
【答案】A
【解析】【解答】解：x2＋4x＝1
即
故答案为：A
【分析】利用配方法的计算方法和步骤求解即可。
7．下列所给方程中，没有实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、∵Δ＝（﹣2）2﹣4×1×0＝4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
B、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×5×(-2)＝56＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
C、∵Δ＝（﹣4）2﹣4×3×1＝4＞0，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根；
D、∵Δ＝（﹣3）2﹣4×4×2＝-23＜0，
∴一元二次方程没有实数根．
故答案为：D．
【分析】利用一元二次方程根的判别式逐项判断即可。
8．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是，以点C位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍，设点B的横坐标是a，则点B的对应点的横坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：设点B′的横坐标为x，
则B. C间的横坐标的长度为a 1，B′、C间的横坐标的长度为 x+1，
∵△ABC放大到原来的2倍得到△A′B′C，
∴2(a 1)= x+1，
解得：x= 2a+3，
故答案为：C.
【分析】设点B′的横坐标为x，可得B. C间的横坐标的长度为a 1，B′、C间的横坐标的长度为 x+1，再根据位似比得出等式即可求解.
9．如图，边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后，得到正方形AB′C′D′，边B'C′与DC交于点O，则∠DOB'的度数为（ ）
A．125° B．130° C．135° D．140°
【答案】C
【解析】【解答】解：连接B′C，如图所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC平分∠BAD，
∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAC=45°，
∴B′在对角线AC上，
∴∠B'CO=45°，
由旋转的性质得：，AB'=AB=1，
∴
∴
故答案为：C．
【分析】连接B′C，由正方形的性质及旋转的性质可得∠B'CO=45°，，利用三角形内角和求出，由平角的定义即可求出 ∠DOB'的度数 .
10．八个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意得该几何体的主视图为；
故答案为：C．
【分析】根据三视图的定义求解即可。
11．若a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，且等腰三角形三边长分别为a、b、4，则n的值为（ ）
A．8 B．7 C．8或7 D．9或8
【答案】C
【解析】【解答】解： ∵等腰三角形三边长分别为a、b、4，
∴对于等腰三角形的腰长，分三种情况：
（1）当a=4时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴42－6×4＋n＋1＝0，解得n=7.
∴一元二次方程为x2－6x＋8＝0，即（x－2）（x－4）=0.
∴x = 2 或 x =4.
∴b=2.
此时等腰三角形三边长分别为4、2、4，符合三边关系；
（2）当b=4时，与（1）同理可得，n=7；
（1）当a=b时，
∵a、b是关于x的一元二次方程x2－6x＋n＋1＝0的两根，
∴解得n=8.
∴一元二次方程为x2－6x＋9＝0，即（x－3）2=0.
∴x = 3.
∴a=b= 3.
此时等腰三角形三边长分别为3、3、4，符合三边关系.
综上所述，n的值为8或7.
故答案为：C.
【分析】首先对于等腰三角形的腰长，分三种情况讨论，然后根据一元二次方程的性质求解a，b，n的值，最后根据三角形的三边关系判断是否符合题意，即可得出结论.
12．如图，点P在圆O的直径AB上，作正方形PCDE和正方形PFGH，其中点D，G在直径所在直线上，点C，E，F，H都在圆O上．若两个正方形的面积之和为16，OP=，则DG的长是（ ）
A．6 B．2 C．7 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：如图，连接CO、FO、CE、FH，CE与BD相交于点M，FH交BD于点N，
∵四边形PCDE和四边形PFGH都是正方形，
∴CM=PM，∠CMO=90°，FN=PN，∠PNH=90°，
设CM=PM=a，FN=PN=b，则OM=PM-OP=a- ，ON=OP+PN=b+ ，
在Rt△COM中，OC2=OM2+CM2= （a- ）2+a2，
在Rt△ONF中，OF2=ON2+FN2= （b+ ）2+b2，
又∵OC=OF，
∴（a- ）2+a2=（b+ ）2+b2，
解得a-b=
∵S正方形PCDE=×PD×CE=2a2，S正方形PFGH=×PG×HF=2b2，
又2a2+2b2=16，
∴a2+b2=8，
∵（a-b）2=a2+b2-2ab，
∴2=8-2ab，
∴ab=3，
∴（a+b）2=a2+b2+2ab=8+6=14，
∴DG2=（DP+PG）2=（2a+2b）2=4（a+b）2=56，
∴DG=
故答案为：B.
【分析】连接CO、FO、CE、FH，CE与BD相交于点M，FH交BD于点N，根据正方形的性质得CM=PM，∠CMO=90°，FN=PN，∠PNH=90°，设CM=PM=a，FN=PN=b，则OM=PM-OP=a- ，ON=OP+PN=b+ ，在Rt△COM与Rt△ONF利用勾股定理分别白哦是处OC2及OF2，进而根据OF=OC建立方程可得a-b=，根据正方形面积计算方法及两个正方形的面积之和等于16可得a2+b2=8，再根据完全平方公式恒等变形可得（a+b）2，最后由DG2=（DP+PG）2=（2a+2b）2=4（a+b）2即可求出DG的长.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．已知 ，那么 。
【答案】3
【解析】【解答】解：∵，
∴a=2b，
∴.
【分析】根据比例的性质得出a=2b，再代入原式进行计算，即可得出答案.
14．如果m是方程 的一个根，那么代数式 的值等于 ．
【答案】-1
【解析】【解答】∵m是方程 的一个根
∴
即
∴
故答案为：－1．
【分析】将m代入方程可得，再将其整体代入计算即可。
15．反比例函数 在第一象限内的图象如图所示，点 是图象上的一点， 轴，垂足为点 ，若 的面积为2，则 ．
【答案】4
【解析】【解答】设反比例函数的解析式为 ，
∵ 的面积为2，
∴ ，
，
，
∵反比例函数 在第一象限内，
∴ ，
故答案为：4．
【分析】设反比例函数的解析式为 ，由 的面积为2，，解得，最后根据反比例函数在第一象限内，即可确定k的值。
16．已知：△ABC在坐标平面内三顶点的坐标分别为A（0，2）、B（3，3）、C（2，1）．以O为位似中心画△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比是3，则点C的对应顶点C1的坐标是 ．
【答案】（6，3）或（-6，-3）
【解析】【解答】解：∵以O为位似中心画△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比是3，
∴对应点坐标乘以±3，
∵C（2，1），
∴点C1的坐标为：（6，3）或（﹣6，﹣3）．
故答案为：（6，3）或（﹣6，﹣3）．
【分析】由以O为位似中心画△A1B1C1，使得△A1B1C1与△ABC位似，且相似比是3，得出对应点坐标乘以±3，由C的坐标，即可得出点C1的坐标。
17．如图，已知等边△ABC的边长为4，BD⊥AB，且BD= ，连结AB，CD并延长交于点E，则线段BE的长度为 。
【答案】1
【解析】【解答】解：如图，过C作CF⊥AB，
∵△ABC为等边三角形，
∴BF=AB=2，
CF=，
∵BD⊥AB，CF⊥AB，
∴BD∥FC，
∴EB：EF=BD：FC，即EB：（EB+2）=∶2=1：3，
解得EB=1.
故答案为：1.
【分析】过C作CF⊥AB，结合等边三角形的性质，利用勾股定理求出BF和CF的长度，再由两直线同时垂直一条直线则此两直线平行，可得BD平行CF，然后根据平行线分线段成比例的性质列式可求BE的长度.
18．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB的中点，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值是 。
【答案】
【解析】【解答】解：如图，在CD上取一点E'，使DE'=1，连结FE'交AC于P'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ACD=∠BCA，
∵EC=E'C=3，PC=PC，
∴△ECP‘≌△E'CP'(SAS)，
∴E和E'关于AC对称，
∴AC是EE'的对称轴，
∴PE=PE'，P'E=P'E'，
∵E'F
∴E'F=，
∴PF+PE的最小值为，
故答案为：.
【分析】根据正方形的性质先找出E关于AC的对称点E'，根据三角形两边之和大于第三边得出当E'、P、F共线时，PF+PE的有最小值，最后根据勾股定理即可求出E'F的长，即PF+PE的最小值.
三、综合题（本大题共8小题，共66分）
19．（6分）如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11米）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．
（1）如果要围成面积为45平方米的花圃，那么AD的长为多少米？
（2）能否围成面积为60平方米的花圃？若能，请求出AD的长；若不能，请说明理由．
【答案】（1）解：设AD的长度为x，则AB的长度为（24﹣3x）米．
根据题意得 （24﹣3x）x=45
解得 x1=3，x2=5．
当x=3时，则24﹣3x=15＞11舍去
当x=5时，则24﹣3x=9
即AD=5，AB=9．
答：AD的长5米．
（2）解：假设存在符合条件的长方形，设AD的长为y米，
于是有 ，
整理得 ，
∵ ，
∴这个方程无实数根，
∴不能围成面积为60平方米的花圃．
【解析】【分析】（1）根据题意可知，设AD的长度为x，利用篱笆总长为24，用含x的代数式表示出AB的长，再根据花圃的面积=45，建立关于x的方程，解方程求出x的值，然后根据墙的最大长度为11，可得到AD的长。
（2）利用花圃的面积=60，列方程，根据方程根的情况做出判断。
20．（6分）爱好数学的甲、乙两个同学做了一个数字游戏：拿出三张正面写有数字﹣1，0，1且背面完全相同的卡片，将这三张卡片背面朝上洗匀后，甲先随机抽取一张，将所得数字作为p的值，然后将卡片放回并洗匀，乙再从这三张卡片中随机抽取一张，将所得数字作为q值，两次结果记为 ．
（1）请你帮他们用树状图或列表法表示 所有可能出现的结果；
（2）求满足关于x的方程 没有实数根的概率．
【答案】（1）解：画树状图得：
则共有9种等可能的结果；
（2）解：方程 没有实数解，即△=p 4q<0，
由(1)可得：满足△=p 4q<0的有：( 1，1)，(0，1)，(1，1)，
∴满足关于x的方程x2+px+q=0没有实数解的概率为：
【解析】【分析】（1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；（2）由（1）可求得满足关于x的方程 没有实数解的有：（-1，1），（0，1），（1，1），再利用概率公式即可求得答案．
21．（9分）如图，直线y1=3x﹣5与反比例函数y2= 的图象相交A（2，m），B（n，﹣6）两点，连接OA，OB.
（1）求k和n的值；
（2）求△AOB的面积；
（3）直接写出y1＞ y2时自变量x的取值范围.
【答案】（1）解：∵点B（n，﹣6）在直线y=3x﹣5上.
∴-6=3n-5，解得：n= .
∴B（ ，-6）；
∵反比例函数 的图象也经过点B（ ，-6），
∴k-1=-6×( )=2，解得：k=3
（2）解：设直线y=3x﹣5分别与x轴，y轴相交于点C，点D，
当y=0时，即3x﹣5=0，x= ，
∴OC= ，
当x=0时，y=3×0-5=-5，
∴OD=5，
∵点A（2，m）在直线y=3x﹣5上，
∴m=3×2-5=1，即A（2，1）.
（3）解：由图象可知y1＞ y2时自变量x的取值范围为： 或 x＞2.
【解析】【分析】（1）把A，B的坐标代入直线的解析式求出m，n的值，再把B点坐标代入反比例函数解析式求出k的值；（2）先求出直线与x轴、y轴的交点坐标，再求出即可.（3）由图象可知取一次函数图象在反比例函数图象上方的x的取值范围即可.
22．（9分）在矩形ABCD中，AD=3，CD=4，点E在边CD上，且DE=1．
（1）感知：如图①，连接AE，过点E作EF⊥AE，交BC于点F，连接AF，易证：△ADE≌△ECF（不需要证明）；
（2）探究：如图②，点P在矩形ABCD的边AD上（点P不与点A、D重合），连接PE，过点E作EF⊥PE，交BC于点F，连接PF．求证：△PDE∽△ECF；
（3）应用：如图③，若EF交AB边于点F，其他条件不变，且△PEF的面积是3，则AP的长为 ．
【答案】（1）证明：感知：如图①，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DAE+∠DEA=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠AEF=90°，
∴∠DEA+∠FEC=90°，
∴∠DAE=∠FEC，
∵DE=1，CD=4，
∴CE=3，
∵AD=3，
∴AD=CE，
∴△ADE≌△ECF（ASA）
（2）探究：如图②，∵四边形ABCD为矩形，
∴∠D=∠C=90°，
∴∠DPE+∠DEP=90°，
∵EF⊥PE，
∴∠PEF=90°，
∴∠DEP+∠FEC=90°，
∴∠DPE=∠FEC，
∴△PDE∽△ECF
（3）2
【解析】【解答】（3）应用：如图③，过F作FG⊥DC于G，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AB∥CD，
∴FG=BC=3，
∵PE⊥EF，
∴S△PEF= PE EF=3，
∴PE EF=6，
同理得：△PDE∽△EGF，
∴ ，
∴ ，
∴EF=3PE，
∴3PE2=6，
∴PE= ，
∵PE＞0，
∴PE= ，
在Rt△PDE中，由勾股定理得：PD=1，
∴AP=AD﹣PD=3﹣1=2，
故答案为：2．
【分析】感知：先利用矩形性质得：∠D=∠C=90°，再利用同角的余角相等得：∠DAE=∠FEC，根据已知边的长度计算出AD=CE=3，则由ASA证得：△ADE≌△ECF；
探究：利用两角相等证明△PDE∽△ECF；
应用：作辅助线，构建如图②一样的相似三角形，利用探究得：△PDE∽△EGF，则 ，所以 ，
再利用△PEF的面积是3，列式可得：PE EF=6，两式结合可求得PE的长，利用勾股定理求PD，从而得出AP的长．
23．（9分）你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示．
（1）请写出点P的实际意义；
（2）求出y与x的函数关系式；
（3）当面条的横截面积是1.6mm2时，求面条的总长度．
【答案】（1）解：由图象知，点P的实际意义是：当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m；
（2）解：设y与x的函数关系式为 ，
∵反比例函数图象经过点（4，32），
∴ ，解得 ，
∴y与x的函数关系式是 （x＞0）；
（3）解：当 时，y= =80．
答：面条的总长度是80m．
【解析】【分析】（1）根据函数图象可得点P的实际意义；
（2）根据反比例函数图象经过点（4，32），利用待定系数法即可求出函数关系式；
（3）把x=1.6代入函数解析式，计算即可求出总长度y的值。
24．（9分）章丘区某学校为进一步加强和改进学校体育工作，切实提高学生体质健康水平，决定推进“一人一球”活动计划，学生可根据自己的喜好选修一门球类项目（A：足球，B：篮球，C：排球，D：羽毛球，E：乒乓球），陈老师对某班全班同学的选课情况进行统计后，制成了两幅不完整的统计图（如图）．
（1）该班共 人；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该班班委4人中，1人选修足球，1人选修篮球，2人选修羽毛球，陈老师要从这4人中任选2人了解他们对体育选修课的看法，请你用列表或画树状图的方法，求选出的2人中至少有1人选修羽毛球的概率．
【答案】（1）50
（2）解：E组人数为50×10%＝5（人），A组人数为50﹣7﹣12﹣5﹣9＝17（人），
条形图如图所示：
（3）解：画树状图为：A表示足球，B表示羽毛球，C表示篮球．
共有12种等可能的结果数，其中选出的2人中，至少有1人选修羽毛球有10种可能，
所以选出的2人至少有1人选修羽毛球概率为 ．
【解析】【解答】解：（1）该班总人数为12÷24%＝50（人）．
故答案为：50；
【分析】（1）利用“C”的人数除以所占的百分数即可求出总人数；
（2）根据总人数分别求出A、E的人数，再作出对应的条形统计图即可；
（3）利用树状图求出所有等可能的情况数，再利用概率公式求解即可。
25．（9分）某校为培育青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个雏形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点 、 ，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动，甲运动的路程 与时间 满足关系 ，乙以 的速度匀速运动，半圆的长度为 ．
（1）甲运动 后的路程是多少
（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多少时间
（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多少时间
【答案】（1）解：当 t=4s 时， cm.
答：甲运动 4s 后的路程是
（2）解：由图可知，甲乙第一次相遇时走过的路程为半圆 ，甲走过的路程为 ，
乙走过的路程为 ，则 .
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了 3s
（3）解：由图可知，甲乙第二次相遇时走过的路程为三个半圆 ，
则
解得 或 （不合题意，舍去）．
答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了 7s
【解析】【分析】（1）将t=4代入公式计算即可；（2）第一次相遇即是共走半圆的长度，据此列方程 ，求解即可；（3）第二次相遇应是走了三个半圆的长度，得到 ，解方程即可得到答案.
26．（9分）在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，以点A为旋转中心，逆时针旋转矩形ABCD，旋转角为α（0°＜α＜180°），得到矩形AEFG，点B、点C、点D的对应点分别为点E、点F、点G．
（1）如图①，当点E落在DC边上时，直写出线段EC的长度为 ；
（2）如图②，当点E落在线段CF上时，AE与DC相交于点H，连接AC，
①求证：△ACD≌△CAE；
②直接写出线段DH的长度是多少？
（3）如图③设点P为边FG的中点，连接PB，PE，在矩形ABCD旋转过程中，△BEP的面积是否存在最大值？若存在请直接写出这个最大值；若不存在请说明理由．
【答案】（1）
（2）解：①证明：如图②中，
∵当点E落在线段CF上，
∴∠AEC＝∠ADC＝90°，
在Rt△ADC和Rt△AEC中，
∴Rt△ACD≌Rt△CAE（HL）；
②
（3）解：存在．
理由：如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．
由题意：PF＝PG= ，
∵AG＝EF＝2，∠G＝∠F＝90°，∴PA＝PE＝ ，
∴S△PBE＝ PE BM＝ BM，
∴当BM的值最大时，△PBE的面积最大，
∵BM≤PB，PB≤AB+PA，
∴PB≤3+ = ，∴BM≤ ，∴BM的最大值为 ，此时点B、A、P三点共线，
∴△PBE的面积的最大值为
【解析】【解答】(1)
故答案为
【分析】(1)根据勾股定理求出DE的长度，即可求解.（2）①根据HL即可判定三角形全等.②设 在Rt△ADH中根据勾股定理即可求解.（3）如图③中，连接PA，作BM⊥PE交PE的延长线于M．根据题意可得：PF＝PG= ，
则PA＝PE＝ ，S△PBE＝ PE BM＝ BM，当BM的值最大时，△PBE的面积最大，求出BM的最大值即可.
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