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浙教版九年级上册期末名校模考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到黄灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．75° D．120°
3．函数与的图象的不同之处是（ ）
A．顶点 B．对称轴 C．开口方向 D．形状
4．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DEAC ，若S△BDE：S△CDE=2：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，抛物线 与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：① ；② ；③一元二次方程 的两根分别为 ；④ ．其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
6．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
7．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3π
8．如图， 是等腰直角三角形， 是斜边，将 绕点 逆时针旋转后，能与 重合，如果 ，那么 的长等于（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线； ②由图象得，，；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为；④的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A．1 B．2 C．3 D．4
填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
12．如图，在正方形 中， ，点E在 边上， ，把 绕点A顺时针旋转90°，得到 ，连接 ，则线段 的长为 .
13．如图，在 中， ， 的面积＝梯形 的面积＝梯形 的面积，则 的值为 .
14．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 .
15．如图，圆O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则圆O的直径为 .
16．如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2于点C(4，3)，且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x＋b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是 .
综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标．
（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线．
18．（9分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件.
（1）设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式.
（2）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（3）每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
19．（9分）已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球．
20．（9分）2015年12月16﹣18日，第二届互联网大会在浙江乌镇胜利举行，这说明我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）关于销售单价x（元）的函数解析式；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
21．（9分）如图，校园空地上有一面墙，长度为4米．为了创建“美丽校园”，学校决定借用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD．设AD长为x米，矩形花园ABCD的面积为s平方米．
（1）如图1，若所围成的矩形花园AD边的长不得超出这面墙，求s关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在(1)的条件下，当AD为何值时，矩形花园ABCD的面积最大，最大值是多少
（3）如图2，若围成的矩形花园ABCD的AD边的长可超出这面墙，求围成的矩形ABCD的最大面积．
22．（9分）如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
求：
（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式．
（3）x为何值时，SEFGH达到最大值．
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c交x轴于点A，点A的坐标为（4，0）.
（1）用含a的代数式表示C.
（2）当a＝ 时，求x为何值时y取得最小值，并求出y的最小值.
（3）当a＝ 时，求0≤x≤6时y的取值范围.
（4）已知点B的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB外接圆内部时，直接写出a的取值范围.
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浙教版九年级上册期末名校模考卷
数 学
（时间：120分钟 满分：120分）
选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列事件中，属于不可能事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到黄灯
B．射击运动员射击一次，命中靶心
C．班里的两名同学，他们的生日是同一天
D．从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球
【答案】D
【解析】【解答】解：A.经过红绿灯路口，遇到黄灯是随机事件，A不符合题意；
B.射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，B不符合题意；
C.班里的两名同学，他们的生日是同一天，是随机事件，C不符合题意；
D.从一个只装有白球和黑球的袋中摸球，摸出黄球，是不可能事件，D符合题意；
故答案为：D
【分析】根据不可能事件的性质逐一对各个选项进行判断即可求解。
2．如图，△ABC内接于⊙O，∠A＝30°，则∠BOC的度数为（ ）
A．30° B．60° C．75° D．120°
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，∠A＝30°，
∴∠BOC=2∠A=2×30°=60°，
故答案为：B.
【分析】利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半求解即可.
3．函数与的图象的不同之处是（ ）
A．顶点 B．对称轴 C．开口方向 D．形状
【答案】A
【解析】【解答】解：函数与
由，所以抛物线的开口方向，形状相同，
又对称轴都为轴，所以对称轴相同，
的顶点为：
的顶点为： 所以两条抛物线的顶点不同，
故A符合题意，B，C，D不符合题意.
故答案为：A
【分析】这两个二次函数的a的值相同且一次项系数都为0，可得到这两个函数的对称轴为y轴，开口方向相同，形状相同，可对B，C，D作出判断；顶点坐标不相同，可对A作出判断.
4．如图在△ABC中，D、E分别是边AB、BC上的点，且DEAC ，若S△BDE：S△CDE=2：3，则S△DOE：S△AOC的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：D.
【分析】根据同高三角形的面积比等于底之比，可得，由平行线可证，可得，由平行可得，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此即可求解.
5．如图，抛物线 与x轴交于点（3，0），对称轴为直线x＝1．结合图象分析下列结论：① ；② ；③一元二次方程 的两根分别为 ；④ ．其中正确的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】【解答】解：抛物线开口向下，因此a＜0，对称轴为x＝1＞0，因此a、b异号，所以b＞0，抛物线与y轴交点在正半轴，因此c＞0，所以abc＜0，故①不符合题意；
当x＝2时，y＝4a＋2b＋c＞0，故②符合题意；
抛物线与x轴交点（3，0），对称轴为x＝1．因此另一个交点坐标为（ 1，0），即方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝3，x2＝ 1，故③符合题意；
抛物线与x轴交点（ 1，0），所以a b＋c＝0，又x＝ ＝1，有2a＋b＝0，所以3a＋c＝0，而a＜0，因此2a＋c＞0，故④不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据二次函数图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及二次函数与一元二次方程的关系，逐项判断即可。
6．已知二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）．若函数图象经过（1，y1），（﹣1，y2），（﹣4，y3）三点，则（ ）
A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y1＜y3 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y3＜y1
【答案】A
【解析】【解答】∵二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1）
∴抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=－2
∴（﹣4，y3）关于抛物线的对称轴对称的点为（0，y3）
∵（1，y1），（﹣1，y2），（0，y3）三点都在抛物线对称轴的右边，且－1<0<1
∴y1＜y3＜y2
故答案为：A．
【分析】由二次函数的图象与x轴有两个交点，且顶点坐标为（﹣2，1），可得抛物线的开口向下，且对称轴为直线x=－2，从而可知离对称轴越远，函数值越小，据此判断即可.
7．如图，将边长为3的正方形铁丝框ABCD，变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），则所得的扇形ADB的面积为（ ）
A．3 B．6 C．9 D．3π
【答案】C
【解析】【解答】解：∵正方形ABCD的边长为3，
∴AB=BC=CD=AD=3，
即 的长是3+3=6，
∴扇形DAB的面积是 6×3=9，
故答案为：C．
【分析】根据正方形的性质得出AB=BC=CD=AD=3，求出 的长，再根据扇形的面积公式求出即可。
8．如图， 是等腰直角三角形， 是斜边，将 绕点 逆时针旋转后，能与 重合，如果 ，那么 的长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：如图：根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，
根据勾股定理得： ，
故答案为：A．
【分析】根据旋转的旋转可知：∠PAP′=∠BAC=90°，AP=AP′=3，根据勾股定理即可得出答案。
9．如图，点G是的重心，过点G作分别交AB，AC于点M，N，过点N作交BC于点D，则四边形BDNM与的面积之比是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：如图：
连接AG并延长交BC于E，连接BG交AC于F，连接EF，
∴EF是中位线，
∴EF//AB，AB=2EF.
∴∠GAB=∠GEF，∠GBA=∠GFE，
∴△ABG∽△EFG.
∴，
∴
∵MN//BC，
∴∠ANM=∠ACB，∠AMN=∠ABC，∠AGM=∠AEB，
∴△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.
∴，
∴
∵ND//AB，
∴∠CND=∠CAB，∠CDN=∠CBA，
∴△CND∽△CAB.
∴
∴，
∴
故答案为：C.
【分析】根据 点G是的重心，可得AG：GE=2：1，根据MN//BC，得△AMN∽△ABC，△AMG∽△ABE.，根据ND//AB，得△CND∽△CAB.于是可得，，根据相似三角形面积比=相似比的平方，得到几个三角形的面积比，从而可得四边形BDNM和△ABC的面积比.
10．如图，把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数．小明同学画出了的“陷阱”函数的图象，如图所示并写出了关于该函数的4个结论，其中正确结论的个数为（ ）
①图象具有对称性，对称轴是直线； ②由图象得，，；③该“陷阱”函数与y轴交点坐标为；④的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同的．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】【解答】解：①∵二次函数的图象与x轴的交点为：，，
∴二次函数图象的对称轴为直线，故此说法正确；
②由函数图象可知，原二次函数的顶点坐标为，
∴该二次函数的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴
，
∴，，，故原说法错误；
③把代入得：，
∴原函数与y轴的交点坐标为，
∵把二次函数的图象在x轴上方的部分沿着x轴翻折，得到的新函数叫做的“陷阱”函数，
∴该“陷阱”函数与y轴交点坐标为，故此说法正确；
④∵，
∴的图象与的图象关于x轴对称，
∴的“陷阱”函数与的“陷阱”函数的图象是完全相同，故此说法正确；
综上分析可知，正确的结论有3个，
故答案为：C
【分析】①根据二次函数与坐标轴的交点问题结合题意进行判断即可求解；②根据题意求出原函数的解析式，进而即可求解；③先根据题意运用二次函数与坐标轴的交点问题求出原函数与y轴的交点，然后得出新的函数与y轴的交点坐标进行判断即可；④先结合题意得到的图象与的图象关于x轴对称，进而即可求解。
填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．在测量旗杆高度的活动课中，某小组学生于同一时刻在阳光下对一根直立于平地的竹竿及其影长和旗杆的影长进行了测量，得到的数据如图所示，根据这些数据计算出旗杆的高度为 m．
【答案】12
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为x m，
∵
∴
故答案为12
【分析】根据某物体的实际高度：影长=被测物体的实际高度：被测物体的影长即可得出答案.
12．如图，在正方形 中， ，点E在 边上， ，把 绕点A顺时针旋转90°，得到 ，连接 ，则线段 的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解： 四边形ABCD是正方形，
，
，
，
由旋转的性质得： ，
，
点 在同一条直线上，
，
则在 中， ，
故答案为： .
【分析】根据正方形的性质得出 ，从而求出 ，由旋转的性质得 ，从而得出 点 在同一条直线上，可求出 ，在 中，利用勾股定理求出 线段 的长即可.
13．如图，在 中， ， 的面积＝梯形 的面积＝梯形 的面积，则 的值为 .
【答案】
【解析】【解答】解：∵S△ADE＝S梯形DFGE＝S梯形FBCG，
∵DE∥FG∥BC，
∴△ADE∽△AFG∽△ABC，
∴ ，
由于相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，
∴DE： BC＝1： = .
故答案为： .
【分析】由S△ADE＝S梯形DFGE＝S梯形FBCG，可得，由DE∥FG∥BC，得出△ADE∽
△AFG∽△ABC，根据相似三角形的面积比等于对应边长的平方比，可得，据此即可求出结论.
14．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC.若AB＝8，CD＝2，则EC的长为 .
【答案】
【解析】【解答】解：连接BE，设⊙O的半径为R，如图，
∵OD⊥AB，
∴AC＝BC＝AB＝×8＝4，
在Rt△AOC中，OA＝R，OC＝R﹣CD＝R﹣2，
∵，
∴，解得R＝5，
∴OC＝5﹣2＝3，
∵为中位线，
∴BE＝2OC＝6，
∵AE为直径，
∴∠ABE＝90°，
在Rt△BCE中，CE＝＝＝2.
故答案为：2.
【分析】连接BE，设⊙O的半径为R，由垂径定理可得AC=BC=AB，在Rt△AOC中，设OA＝R，用勾股定理可得关于R的方程，解方程求得R的值，由线段的构成OC=R-CD可求得OC的值，由三角形中位线定理得BE＝2OC可求BE的值，在Rt△BCE中，用勾股定理可求解.
15．如图，圆O是△ABC的外接圆，BC=2，∠BAC=30°，则圆O的直径为 .
【答案】4
【解析】【解答】解：延长BO交⊙O于E，连接CE，
则∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，
∴BE=2BC=2×2=4.
故答案为：4.
【分析】延长BO交⊙O于E，连接CE，由圆周角定理可得∠E=∠A=30°，∠ECB=90°，则BE=2BC，据此求解.
16．如图，直线y＝kx＋b交坐标轴于A、B两点，交抛物线y＝ax2于点C(4，3)，且C是线段AB的中点，抛物线上另有位于第一象限内的一点P，过P的直线y＝k′x＋b′交坐标轴于D、E两点，且P恰好是线段DE的中点，若△AOB∽△DOE，则P点的坐标是 .
【答案】( ， )
【解析】【解答】解：∵抛物线y=ax2经过C（4，3），
∴抛物线的解析式为y= ，
∵C是线段AB的中点，
∴B（0，6），A（8，0），
∵△AOB∽△DOE，
∴ ，
设点D的坐标为（0，a），
则点E的坐标为（ a，0），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵点P在抛物线y= x2上，
∴ ，
解得：a=6，
∴点P的坐标为：（4，3）（不符合要求，舍去）.
设D在x轴上，E在y轴上，
∵△AOB∽△DOE，
∴ ，
设点D的坐标为（a，0），
则点E的坐标为（0， ），
∵点P为DE的中点，
∴点P的坐标为（ ， ），
∵点P在抛物线y= 上，
∴ ，
解得：a= ，
∴点P的坐标为：（ ， ）.
故答案为：（ ， ）.
【分析】首先求得抛物线的解析式，然后根据点C为线段AB的中点分别表示出点A和点B的坐标，然后利用两三角形相似设出点D的坐标并表示出点E的坐标，根据点P为线段DE的中点表示出点P的坐标，根据抛物线经过点P，将P点的坐标代入求得设得的未知数，从而求得点P的坐标.
综合题（本大题共7小题，共66分）
17．（9分）在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的表达式．
（2）直接写出该抛物线开口方向和顶点坐标．
（3）直接在所给坐标平面内画出这条抛物线．
【答案】（1）解：∵抛物线y＝ax2+bx+3经过点A（3，0）和点B（4，3）．
∴ ，解得 ，
∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y＝x2﹣4x+3.
（2）解：a＝1＞0，抛物线开口向上，
∵y＝（x﹣2）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（2，﹣1）.
（3）解：如图，
【解析】【分析】（1）将点A和点B代入抛物线中，解二元一次方程组即可得到a和b的值，写出二次函数的表达式即可。
（2）根据二次函数a的值大于0，即可得到开口方向朝上；将二次函数解析式化为顶点式，写出顶点坐标即可。
（3）分别令x和y等于0，求出二次函数和坐标系的交点，根据交点画出抛物线。
18．（9分）商场销售一批衬衫，每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，减少库存，决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果一件衬衫每降价1元，每天可多售出2件.
（1）设每件降价x元，每天盈利y元，列出y与x之间的函数关系式.
（2）若商场每天要盈利1200元，每件应降价多少元？
（3）每件降价多少元时，商场每天的盈利达到最大？盈利最大是多少元？
【答案】（1）解：y=（40-x）（20+2x）
（2）解：设每件降价x元，则销售了（20+2x）件，
（40-x）（20+2x）=1200，
解得x1=10，x2=20，
因为要减少库存，x=20．即降价20元.
（3）解：y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800
当x=15元时，有最大值y=1250，
答：降价20元时可降低库存，并使每天盈利1200元；每件降价15元时商场每天的盈利达到最大1250元．
【解析】【分析】（1）由题意可知，降价x元，销量增加2x件，即盈利等于每件衬衫的盈利与销量的乘积，即y=(40-x)(20+2x)；
（2）将y=1200代入（1）中的函数关系式中，求得x1=10，x2=20，根据题意需要减少库存，取较大的x的值，即x=20；
（3）由（1）中的函数关系整理得到一个二次函数，当x=时，求得这个二次函数最大值，即x=15时，y最大=1250.
19．（9分）已知一个不透明的袋子中装有7个只有颜色不同的球，其中2个白球，5个红球．
（1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．
（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．
（3）若从袋中取出若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球．
【答案】（1）∵袋中共有7个小球，其中红球有5个，
∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ；
（2）列表如下：
白 白 红 红 红 红 红
白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）
白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）
由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果，
∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为
（3）设有x个红球被换成了黄球．
根据题意，得： ，
解得：x＝3，
即袋中有3个红球被换成了黄球．
【解析】【分析】（1）袋中共有7个球，从中摸出一个共有7种等可能的结果，其中红球共有5个，故从中摸出红球的等可能的结果有5个，根据概率公式即可算出 从袋中随机摸出一个球是红球的概率 ；
（2）根据题意列举出两次摸出小球的所有等可能结果， 由表知共有49种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有20种结果 ，根据概率公式即可算出 两次摸出的球恰好颜色不同的概率 ；
（3） 设有x个红球被换成了黄球，根据题意从袋中随机 摸出两个球，颜色是一白一黄的概率是 ，列出方程，求解即可。
20．（9分）2015年12月16﹣18日，第二届互联网大会在浙江乌镇胜利举行，这说明我国互联网发展走到了世界的前列，尤其是电子商务．据市场调查，天猫超市在销售一种进价为每件40元的护眼台灯中发现：每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系如图所示．
（1）当销售单价定为50元时，求每月的销售件数；
（2）设每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）关于销售单价x（元）的函数解析式；
（3）由于市场竞争激烈，这种护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元，那么每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）
【答案】（1）设y＝kx+b，把（40，600），（75，250）代入可得 ，交点 ，
∴y＝﹣10x+1000，
当x＝50时，y＝﹣10×50+1000＝500件．
（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+1000）＝﹣10x2+1400x﹣40000．
（3）由题意 ，
解得60≤x≤75，
设成本为S，
∴S＝40（﹣10x+1000）＝﹣400x+40000，
∵﹣400＜0，
∴S随x增大而减小，
∴x＝75时，S有最小值＝10000元．
【解析】【分析】（1）根据图象提供的信息， 每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系 是一次函数关系，利用待定系数法即可求出其函数解析式，然后将x=50代入所求的函数解析式即可算出对应的函数值，从而得出答案；
（2）每台护眼灯的利润为（x-40）元，根据单件的利润乘以销售的数量等于总利润，即可建立出W与x之间的函数关系式；
（3）根据 护眼灯的销售单价不得高于75元，如果要每月获得的利润不低于8000元 ，列出不等式组，求解得出x的取值范围；根据 成本＝进价×销售量 建立出S与x的函数关系式，根据所得函数的性质即可解决问题。
21．（9分）如图，校园空地上有一面墙，长度为4米．为了创建“美丽校园”，学校决定借用这面墙和20米的围栏围成一个矩形花园ABCD．设AD长为x米，矩形花园ABCD的面积为s平方米．
（1）如图1，若所围成的矩形花园AD边的长不得超出这面墙，求s关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）在(1)的条件下，当AD为何值时，矩形花园ABCD的面积最大，最大值是多少
（3）如图2，若围成的矩形花园ABCD的AD边的长可超出这面墙，求围成的矩形ABCD的最大面积．
【答案】（1）解： 依题可得：
BC=x，则AB=10-x，
∴s=AB·BC=x（10-x）=-x2+10x，
∵所围成的矩形花园AD边的长不得超出这面墙，
∴x的取值范围为：0＜x≤4.
（2）解：
又
∴当 时，s随着x的增大而增大.
∴当 时，s的值最大，且最大s=32.
答：当 为4时，矩形花园ABCD的面积最大，最大值为32
（3）解： 依题可得：
BC=x，则DE=x-4， AB=×【20-x-（x-4）】=12-x ，
∴s=AB·BC=x（12-x）=-x2+12x=-（x-6）2+36，
∴当x=6时，s的值最大，且最大s=36，
答：矩形花园ABCD的最大面积为36.
【解析】【分析】（1）根据题意可得BC=x，则AB=10-x，再由矩形面积公式s=AB·BC即可得出 s关于x的函数关系式，并可得出自变量x的取值范 .
（2）由（1）中的函数解析式和自变量的范围，根据二次函数的性质求出其最大值即可.
（3）根据题意可知BC=x，则DE=x-4， AB=12-x ，再由矩形面积公式s=AB·BC即可得出 s关于x的函数关系式s=AB·BC=-x2+12x，由二次函数的性质求出其最大值即可.
22．（9分）如图，△ABC是一锐角三角形余料，边BC=16cm，高AD=24cm，要加工成矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点E、F分别在AB、AC上．
求：
（1）AK为何值时，矩形EFGH是正方形？
（2）若设AK=x，SEFGH=y，试写出y与x的函数解析式．
（3）x为何值时，SEFGH达到最大值．
【答案】（1）解：设边长为xcm，∵矩形为正方形，∴EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质可以得出： = 、 = ，由题意知EH=x，AD=24，BC=16，EF=x，即 = ， = ，
∵BE+AE=AB，
∴ + = + =1，解得x= ，∴AK= ，
∴当 时，矩形EFGH为正方形
（2）解：设AK=x，EH=24-x，
∵EHGF为矩形，
∴ = ，即EF= x，
∴SEFGH=y= x （24-x）=- x2+16x（0＜x＜24）
（3）解：y=- x2+16x
配方得：y= （x-12）2+96，
∴当x=12时，SEFGH有最大值96
【解析】【分析】（1）设出边长为xcm，由正方形的性质得出，EH∥AD，EF∥BC，根据平行线的性质，可以得对应线段成比例，代入相关数据求解即可。
（2）设AK=x，则EH=16-x，根据平行的两三角形相似，再根据相似三角形的对应边上的高之比等于相似比，用含x的代数式表示出EF的长，根据矩形面积公式即可得出y与x的函数解析式。
（3）将（2）中的函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可得出矩形EFGH的面积取最大值时的x的值。
23．（12分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣5ax+c交x轴于点A，点A的坐标为（4，0）.
（1）用含a的代数式表示C.
（2）当a＝ 时，求x为何值时y取得最小值，并求出y的最小值.
（3）当a＝ 时，求0≤x≤6时y的取值范围.
（4）已知点B的坐标为（0，3），当抛物线的顶点落在△AOB外接圆内部时，直接写出a的取值范围.
【答案】（1）解：将A（4，0）代入y＝ax2﹣5ax+c，得：16a﹣20a+c＝0，解得：c＝4a
（2）解：当a＝ 时，c＝2，
∴抛物线的解析式为y＝ x2﹣ x+2＝ （x﹣ ）2﹣ .
∵a＝ ＞0，
∴当x＝ 时，y取得最小值，最小值为﹣
（3）解：当a＝﹣ 时，c＝﹣2，
∴抛物线的解析式为y＝﹣ x2+ x﹣2＝﹣ （x﹣ ）2+ .
∵a＝﹣ ＜0，
∴当x＝ 时，y取得最大值，最大值为 ；当x＝0时，y＝﹣2；
当x＝6时，y＝﹣ ×62+ ×6﹣2＝﹣5.
∴当0≤x≤6时，y的取值范围是﹣5≤y≤
（4）解：∵抛物线的解析式为y＝ax2﹣5ax+4a＝a（x﹣ ）2﹣ a，
∴抛物线的对称轴为直线x＝ ，顶点坐标为（ ，﹣ a）.
设线段AB的中点为O，以AB为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O交于点C，D，过点O
作OH⊥CD于点H，如图所示.
∵点A的坐标为（4，0），点B的坐标（0，3），
∴AB＝5，点O的坐标为（2， ），点H的坐标为（ ， ）.在Rt△COH中，
OC＝ AB＝ ，OH＝ ，
∴CH＝ ，
∴点C的坐标为（ ， ）.
同理：点D的坐标为（ ，﹣ ），
∴ ，
解得：﹣ - ＜a＜﹣ + 且a≠0.
【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线解析式中，即可用含a的代数式表示出c；
（2） a＝ 时可得出c的值，将a，c的值代入抛物线解析式中，配方后即可解决最值问题；
（3）当a＝-时可得出c的值，将a，c的值代入抛物线解析式中，配方后可得出二次函数的最大值，再分别代入x＝0和x＝6求出y值，进而可得出当0≤x≤6时y的取值范围；
（4）利用配方法找出抛物线的对称轴及顶点坐标，设线段AB的中点为O，以AB为直径作圆，设抛物线对称轴与⊙O交于点C，D，过点O作OH⊥CD于点H，在Rt△COH中，利用勾股定理可求出CH的长，进而可得出点C的坐标，同理可得出点D的坐标，再结合顶点的纵坐标及二次项系数非零，即可求出a的取值范围。
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