福建省福州市第二中学2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

福建省福州市第二中学 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设两个向量 = ( + 2, 2 cos2 )和 = ( , + )，其中 ， ， 为实数.若 = 2 ，则 的取值范围
2
是( )
A. [ 6,8] B. [4,8] C. [ 6,1] D. (4,8]
2.已知三棱锥 的三条侧棱 、 、 两两互相垂直， 是△ 的垂心.若 △ = 1， △ = 4，
则 △ =( )
8 5
A. B. 2 C. D. 2√ 2
5 2
3.设 ， ， 为实数， ( ) = ( + )( 2 + + )， ( ) = ( + 1)( 2 + + 1).记集合 = { | ( ) = 0, ∈
}， = { | ( ) = 0, ∈ }.若{ }，{ }分别为集合 ， 的元素个数，则下列结论不可能的是( )
A. { } = 1且{ } = 0 B. { } = 1且{ } = 1
C. { } = 2且{ } = 2 D. { } = 2且{ } = 3
4.在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为正方形 1 1 1 1的中心， ， ， 分别为 1， ， 的
中点，则四面体 的体积为( )
5 5 5√ 2 5√ 2
A. B. C. D.
12 6 12 6
5.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + 1)为奇函数， ( + 2)为偶函数，当 ∈ [1,2]时， ( ) = 2 + ，若
2025
(0) + (3) = 6，则 ( ) =( )
2
5 7 3 9
A. B. C. D.
2 4 2 4
6.已知函数 ( )满足： (1 ) = (1 + )，且当 ≤ 1时， ( ) = 2 + ( ∈ )，若存在实数 ∈ [0,1]，
使得关于 的方程| ( )| = 有且仅有四个不等实根，则实数 的取值范围是( )
A. ( 2,1) B. ( ∞,1) C. ( ∞, 2) D. ( ∞,1]
7.已知定义在 上的奇函数，满足 (2 ) + ( ) = 0，当 ∈ (0,1]时， ( ) = log2 ，若函数 ( ) = ( )
，在区间[ 1, ]上有8个零点，则 的取值范围是( )
A. [3.5,4) B. (3.5,4] C. (3,4] D. [3,4)
8.如图，正方体 1 1 1 1的棱长为1，线段 1上有两个动点 ， ，且
1
= ，点 ， 分别为 1 1， 1的中点， 在侧面 1 1上运动，且满足 1 //2
平面 1 ，以下命题错误的是( )
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A. 1 ⊥
B. 多面体 1的体积为定值
C. 侧面 1 1上存在点 ，使得 1 ⊥ 1

D. 直线 1 与直线 所成的角可能为 6
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
| 2|, ≥ 0
9.设函数 ( ) = { ，函数 ( ) = ( ) ( ).则下列说法正确的是( )
, < 0
A. 当 = 0时，函数 ( )有3个零点
B. 当 > 0时，函数 ( )只有1个零点
C. 当 2 < < 0时，函数 ( )有5个零点
D. 存在实数 ，使得函数 ( )没有零点
10.传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个
球的直径恰好与圆柱的高相等．“圆柱容球”是阿基米德最为得意的发现；如图是一
个圆柱容球， 1， 2为圆柱上下底面的圆心， 为球心， 为底面圆 1的一条直径，
若球的半径 = 2，则( )
A. 球与圆柱的表面积之比为1：2
16
B. 平面 截得球的截面面积最小值为
5
32
C. 四面体 的体积的取值范围为(0, ]
3
D. 若 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则 + 的取值范围为[2 + 2√ 5, 4√ 3]
11.当1 < 1 < 2时，不等式 2
1 21 < 0成立．若 >
> ，则( )

A. > 1 B. + < C. < D. >
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。

12.已知函数 ( ) = sin( + )( > 0)满足 ( ) ≥ ( )，且 ( )在区间[ , ]上恰有两个最值，则实数
12 3 3
的取值范围为______．
7
13.已知 为锐角三角形 的外心，若cos∠ = ， = 1 + 2 ( 1, 2 ∈ )，则 1 + 4 9 2的最
大值______．
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2 1
14.已知 > 0， > 0，且 + 8 + 3 ≤ + ，则 的最大值为 ．
+2
四、解答题：本题共 5 小题，共 49 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题1分)
某中学长期坚持贯彻以人为本，因材施教的教育理念，每年都会在校文化节期间举行“数学素养能力测试”
和“语文素养能力测试”两项测试，以给学生课外兴趣学习及辅导提供参考依据．成绩分为 ， ， ， ，
五个等级((等级 ， ， ， ， 分别对应5分，4分，3分，2分，1分).某班学生两科的考试成绩的数据统
计如图所示，其中“语文素养能力测试”科目的成绩为 的考生有3人．
(1)求该班“数学素养能力测试”的科目平均分以及“数学素养能力测试”科目成绩为 的人数；
(2)若该班共有9人得分大于7分，其中有2人10分，3人9分，4人8分．从这9人中随机抽取三人，设三人的
成绩之和为 ，求 ( ≥ )．
(3)从该班得分大于7分的9人中选3人即甲，乙，丙组队参加学校内的“数学限时解题挑战赛”.规则为：每
队首先派一名队员参加挑战赛，在限定的时间，若该生解决问题，即团队挑战成功，结束挑战；若解决问
题失败，则派另外一名队员上去挑战，直至派完队员为止．通过训练，已知甲，乙，丙通过挑战赛的概率
1 3 2
分别是 ， ， ，问以怎样的先后顺序派出队员，可使得派出队员数目的均值达到最小？(只需写出结论)
2 5 5
16.(本小题12分)
64
在△ 中，角 ， ， 所对的边分别记作 ， ， .已知△ 的周长为4，且有 = ．

(1)求△ 的面积；
(2)设△ 内心为 ，外心为 ， = 1，求外接圆半径．

注：在△ 中，有 + + = 1 + ，其中 和 分别为三角形内切圆与外接圆的半径．

17.(本小题12分)
已知函数 = ( )的定义域为 ，实数 和 满足 < ，若 = ( )在区间( , ]上不存在最小值，则称 =
( )在( , ]上具有性质 ．
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(1)若 ( ) = 2 2 ，判断函数 = ( )在下列区间上是否具有性质 ；①(0,2]；②(1,3]；
(2)若 ( + 1) = ( ) + 1对任意实数 都成立，当0 < ≤ 1时， ( ) = ，若 = ( )在区间(0,2]上具有
性质 ，求实数 的取值范围；
(3)对于满足 < 的任意实数 和 ， = ( )在区间( , ]上都有性质 ，且对于任意 ∈ ，当 ∈ ( , + 1)
( ) ( ) 1
时，均满足 > 0.设 = ( + )， ∈ +，试判断数列{ }的单调性，并说明理由． ( ) ( +1) 2
18.(本小题12分)
某加油站拟造如图所示的铁皮储油罐(不计厚度，长度单位：米)，其中储油罐的中间为圆柱形，左右两端均
为半球形， = 2 3( 为圆柱的高， 为球的半径， ≥ 2).假设该储油罐的建造费用仅与其表面积有关.已知
圆柱形部分每平方米建造费用为 千元，半球形部分每平方米建造费用为3千元.设该储油罐的建造费用为 千
元．
(1)写出 关于 的函数表达式，并求该函数的定义域；
(2)求该储油罐的建造费用最小时的 的值．
19.(本小题12分)
如图，已知三棱柱 1 1 1，平面 1 1 ⊥平面 ，∠ = 90°，∠ = 30°， 1 = 1 = ，
点 、 分别是棱 、 1 1的中点．
(Ⅰ)证明： ⊥ ；
(Ⅱ)求直线 与平面 1 所成角的余弦值．
(Ⅲ)求二面角 1 的正弦值．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12
12.【答案】[ , 4)
5
33
13.【答案】
16
1
14.【答案】
6
15.【答案】解：(1)由直方图可知，数学素养能力测试为 的频率是1 (0.25 + 0.2 + 0.375 + 0.075) = 0.1，
故该班“数学素养能力测试”的科目平均分为0.1 × 5 + 0.075 × 4 + 0.375 × 3 + 0.2 × 2 + 0.25 × 1 =
2.575，
语文素养能力测试为 的频率是1 (0.025 + 0.15 + 0.375 × 2) = 0.075，故而该班有3 ÷ 0.075 = 40人．
所以，“数学素养能力测试”科目成绩为 的人数40 × 0.1 = 4(人)．
(2)依题： 的取值可为29，28，27，26，25，24．
1 3 13 4+
1 2 10 3+ 1 1 1 25
( = 29) = 3 = ， ( = 28) =
2 3 = ， ( = 27) = 3 2 3 4 = ，
9 84
3
9 84
3
9 84
1 2+ 22 4 3
1
4 24
1 2 18 3 4
( = 26) = 3 = ， ( = 25) =
3 4 = ， ( = 24) = 4 = ，
849
3 84 3 849 9
3 10 25 24 18 4 79
∴ ( ) = 29 × + 28 × + 27 × + 26 × + 25 × + 24 × = ，
84 84 84 84 84 84 3
3+10+25 19
∴ ( ≥ ) = ( = 29) + ( = 28) + ( = 27) = = ．
84 42
(3)乙，甲，丙．
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64
16.【答案】解：(1)因为 = ，

1 1
整理可得：( ) ( ) = 16，
2 2
即 2 = 16，
解得 = 4；
1 2 2×4
(2)可知内切圆的半径为 ，则 △ = ( + + ) ，可得 = = 2， 2 + + 4
连接 、 ，设∠ = ，则1 = 2 + 2 2 ，
2 2 2 4
不妨设外接圆半径为 ，则1 = ( ) + ，
sin sin
2 2

由角度关系可得 = cos(∠ ∠ ) = cos[ ( )] = sin( + )，
2 2 2

4 4 sin( + ) 4 2 ( + ) 4 2 ( +1 )
所以1 2 = 2 22 =

2 = ， sin sin sin2
2 2 2
2
整理：sin2 (1 2) = 4 2 ( + 1 )，
2

右式= 4 4 2 + 2 = 2 ( 1) = 4 2 ，
2

由于sin2 ≠ 0，
2
因此1 2 = 4 ，解得 = √ 5 + 2．
17.【答案】解：(1) ( ) = 2 2 = ( 1)2 1，对称轴为 = 1，
①当 ∈ (0,2]时，有最小值，不具有性质 ；
②当 ∈ (1,3]时， ( )递增，无最小值，具有性质 ．
(2)由题知，当0 < ≤ 1时， ( ) = ，
则当1 < + 1 ≤ 2，即0 < ≤ 1时， ( + 1) = ( ) + 1 = + 1 = ( + 1) + 1，
所以当1 < ≤ 2时， ( ) = + 1，
所以，
那么，当 > 0时， ( )无最小值，符合题意；
当 < 0时，需满足 (2) > 0，即2 + 1 > 0，解得 > 1；
当 = 0时， ( )无最小值，符合题意．
综上所述， > 1．
(3)由 = ( )在区间( , ]上都有性质 ，
则在( , + 1]， ∈ 上， ( ) < ( + 1)且 ( ) < ( )，
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( ) ( )
又 > 0，所以 ( ) < ( + 1)，
( ) ( +1)
即 ( ) < ( ) < ( + 1)，
1 1 1
对于 = ( + )，因 +1 = ( + 1 + +1) ( +2 2
)，
2
1
令 = + ，因 ∈ ，
2 +
所以 ( ) < ( ) < ( + 1)，
1 1
所以 ( + 1 + +1) ( + ) > 0， 2 2
即 +1 > 0，
所以数列{ }是单调递增的．
18.【答案】解：(1) = 2 + 4 2 3，
5
= (12 + 4 ) 2 6 ( ≥ ) …(6分)
2
3 2
(2) = (12 + 4 )[ ]2
9
…(8分)
(12+4 ) 12+4
3 3 3 3
∵ = (1 ) < ，
12+4 4 +3 4
5
∴ 在[ , +∞)上是增函数 …(12分)
2
5
∴当 = 时，储油罐的建造费用最小．…(14分)
2
19.【答案】(Ⅰ)证明：连接 1 ，如图所示，
因为 1 = 1 ，点 是棱 的中点，所以 1 ⊥ ，
又平面 1 1 ⊥平面 ， 1 平面 1 1，平面 1 1 ∩平面 = ，
所以 1 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 1 ⊥ ，
以 点为坐标原点，平面 内过点 作 的垂线为 轴， 、 1所在直线分别为 、 轴，建立如图所示
的空间直角坐标系 ，
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由题意知∠ = 90°，∠ = 30°， 1 = 1 = ，点 、 分别是棱 、 1 1的中点，
设 1 = 1 = = 4，则 = = = 2， = 30° = 2√ 3， 1 = √ 4
2 22 = 2√ 3，
所以点 到 轴的距离为 30° = 1，点 到 轴的距离为 30° = √ 3，
则 (0, 2,0)， (0,2,0)， 1(0,0,2√ 3)，
√ 3 3
(√ 3, 1,0)， 1(√ 3, 3,2√ 3)， ( , , 2√ 3)， 2 2
所以 √ 3 3 = ( , , 2√ 3)， = ( √ 3, 1,0)，
2 2
因为 √ 3 3 = × ( √ 3) + × 1 + 2√ 3 × 0 = 0，所以 ⊥ ．
2 2
(Ⅱ)解：设直线 与平面 1 所成角为 ，
由( )得 √ 3 3Ⅰ = ( √ 3, 1,0)， 1 = (0,2, 2√ 3)， = ( , , 2√ 3)， 2 2
所以|
√ 3 3
| = √ ( )2 + ( )2 + (2√ 3)2 = √ 15，
2 2
设平面 1 的法向量 = ( , , )，
= √ 3 + = 0
则{ ，令 = 1，则 = (1,√ 3, 1)，
1 = √ 3 = 0
所以 √ 3 3| | = √ 12 + (√ 3)2 + 12 = √ 5， = × 1 + × √ 3 + 2√ 3 × 1 = 4√ 3， 2 2

所以 = |cos <
| | 4√ 3 4
, > | = = = ，
| | | | √ 15×√ 5 5
又 ∈ [0,90°]，所以 4 3 = √ 1 ( )2 = ，
5 5
3
故直线 与平面 1 所成角的余弦值为 ． 5
(Ⅲ)解：由(Ⅰ)知平面 1 的法向量为 = (1,0,0)，
设二面角 1 的平面角为 ，由图知 为锐角，
| | 1 √ 5
因为 = |cos < , > | = = = ，
| | | | 1×√ 5 5
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又 为锐角，所以 2√ 5 = √ 1 2 = ，
5
故二面角 1 的正弦值为
2√ 5．
5
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