北京五十中分校2024-2025学年高二上学期期中数学试卷（PDF版，含答案）

北京五十中分校 2024-2025 学年高二上学期期中数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.直线3 4 + 1 = 0不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.直线 = √ 3 + 1的倾斜角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
3.已知点 是点 (2, 3,4)在坐标平面 内的射影，则点 的坐标为( )
A. (2, 3,0) B. (2,0,4) C. (0, 3,4) D. (2,3,4)
4.已知直线√ 3 + 1 = 0与直线2√ 3 + + 3 = 0平行，则它们之间的距离是( )
5
A. 1 B. C. 3 D. 4
4
5.如图，在四面体 中，
1
= ， = ， = .点 在 上，且 = ，
2
为 的中点，则 =( )
1 1 1
A. +
2 2 3
1 1 1
B.
2 2 3
1 1 1
C. + +
2 2 3
1 1 1D. +
2 2 3
6.圆 21： +
2 = 2与圆 2 22：( 2) + ( 2) = 2的位置关系是( )
A. 相交 B. 相离 C. 内切 D. 外切
7.已知空间中四点 ( 1,1,0)， (2,2,1)， (1,1,1)， (0,2,3)，则点 到平面 的距离为( )
√ 6 √ 6
A. √ 6 B. C. D. 0
3 6
8.已知点 (1,3)， ( 2, 1)，若直线 ： = ( 2) + 1与线段 相交，则 的取值范围是( )
1
A. [ , +∞) B. ( ∞, 2]
2
1 1
C. ( ∞, 2] ∪ [ , +∞) D. [ 2, ]
2 2
9.已知向量 = (2, 1,3)， = ( 4,2, )的夹角为钝角，则实数 的取值范围为( )
第 1 页，共 8 页
10
A. ( ∞, 6) B. ( ∞, 6) ∪ ( 6, )
3
10 10
C. ( , +∞) D. ( ∞, )
3 3
10.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只
由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明
世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十
二面体、正二十面体.如图，已知一个正八面体 的棱长为2， ， 分
别为棱 ， 的中点，则直线 和 夹角的余弦值为( )
5
A.
6
√ 11
B.
6
√ 21
C.
6
√ 15
D.
6
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.直线 + 2 = 0与 = 0的交点坐标为______．
12.已知向量 = (2, 1,6)， = (1, , 3)，且 ⊥ ，则 的值为______．
13.已知方程 2 + 2 2 + 2 + = 0表示半径为2的圆，则实数 =________．
14.若 ， 是两个不共线的向量，已知 = 2 + ， = + 3 ， 1 2 1 2 1 2 = 2 1 2 ，若 ， ， 三
点共线，则 =______．
15.如图，已知正方体 1 1 1 1的棱长为2，点 是△ 内(包括边
界)的动点，则下列结论中正确的序号是______. (填所有正确结论的序号)
①若 = , ∈ (0,1)，则 1 //平面 1 1；
1②若 = ( + )，则直线 与 1 所成角的余弦值为
√ 10；
2 5
③若 1 = ，则 的最大值为
√ 6；
2
④若平面 与正方体各个面都相交，且 1 ⊥ ，则截面多边形的周长一定为6√ 2．
三、解答题：本题共 6 小题，共 72 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
第 2 页，共 8 页
16.(本小题12分)
已知 = (1,3, 2), = ( 1,1,2)．
(1)求| + |的值；
(2)若( + ) ⊥ ( )，求实数 的值．
17.(本小题12分)
已知 1 1 1 1是正方体，点 为 1 1的中点，点 为 1 1的中点．
(Ⅰ)求证： 1 ⊥ ；
(Ⅱ)求二面角 的余弦值．
18.(本小题12分)
已知△ 顶点 (1,2)、 ( 3, 1)、 (3, 3)．
(1)求边 的垂直平分线 1的方程；
(2)若直线 2过点 ，且 2的纵截距是横截距的2倍，求直线 2的方程．
19.(本小题12分)
已知圆 的圆心在直线 2 = 0上，且与 轴相切于点(0,1)．
(Ⅰ)求圆 的方程；
(Ⅱ)若圆 与直线 ： + = 0交于 ， 两点，_____，求 的值．
从下列两个条件中任选一个补充在上面问题中并作答：条件①：∠ = 120°；条件②：| | = 2√ 3．
20.(本小题12分)
如图1，菱形 中，∠ = 60°， = 4， ⊥ 于 .将△ 沿 翻折到△ ′ ，使 ′ ⊥ ，如
图2．
(Ⅰ)求证：平面 ′ ⊥平面 ；
第 3 页，共 8 页
(Ⅱ)求直线 ′ 与平面 ′ 所成角的正弦值；

(Ⅲ)设 为线段 ′ 上一点，若 //平面 ′ ，求 的值．
′
21.(本小题12分)
在平面直角坐标系 中，已知圆 ： 2 + 2 4 = 0及点 ( 1,0)， (1,2)．
(1)若直线 平行于 ，与圆 相切，求直线 的方程；
(2)在圆 上是否存在点 ，使得 2 + 2 = 12成立？若存在，求点 的个数；若不存在，说明理由；
(3)对于线段 上的任意一点 ，若在以点 为圆心的圆上都存在不同的两点 ， ，使得点 是线段 的
中点，求圆 的半径 的取值范围．
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】(1,1)
12.【答案】20
13.【答案】 2
14.【答案】 8
15.【答案】①②④
16.【答案】解：(1)已知 = (1, 3, 2), = ( 1, 1, 2)，
则 + = (0,4,0)，则| + | = 4；
(2)因为( + ) ⊥ ( )，则( + ) ( ) = 0，
又 + = (1 , 3 + , 2 + 2 )， = (2,2, 4)，
则(1 ) 2 + (3 + ) 2 + ( 2 + 2 ) ( 4) = 0，化简整理可得，16 8 = 0，解得 = 2．
17.【答案】(1)证明：依题意以 为原点， ， ， 1所在直线分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系，
如图，设正方体棱长为2，
则 (2,2,0)， 1(0,0,2)， (0,2,0)，
因为 ， 分别是 1 1， 1 1的中点，
所以 (2,1,2)， (1,2,2)，
所以 1 = ( 2, 2,2), = ( 1,1,0)，
1 = ( 2) × ( 1) + ( 2) × 1 + 0 = 0，
所以 1 ⊥ ，所以 1 ⊥ ．
第 5 页，共 8 页
(2)解：因为 ⊥平面 ，所以平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
因为 = ( 1,1,0)， = ( 1,0, 2)，
= + = 0
所以{ ，令 = 1，则 = 2， = 2，
= 2 = 0
所以 = ( 2, 2,1)，
2 2
cos , = = = ，
| | | | 1×√ 9 3
因为二面角 是锐二面角，
2
所以二面角 的余弦值为 ．
3
18.【答案】解：(1)由 ( 3, 1)、 (3, 3)，
3 ( 1) 1
可知 中点为(0, 2)，且 = = ， 3 ( 3) 3
所以其垂直平分线斜率满足 1 = 1，即 1 = 3，
所以边 的垂直平分线 1的方程为 ( 2) = 3( 0)，即3 2 = 0；

(2)当直线 2不过坐标原点时，由题意设直线方程为 + = 1， 2
1 2
由 2过点 (1,2)，则 + = 1，解得 = 2， 2

所以直线 2方程为 + = 1，即2 + 4 = 0； 2 4
2
当直线 2过坐标原点时， 2 = = 2，此时直线 2： = 2 ，符合题意； 1
综上所述，直线 2的方程为 = 2 或2 + 4 = 0．
19.【答案】解：(Ⅰ)设圆心坐标为 ( , )，半径为 ．
∵圆 的圆心在直线 2 = 0上，∴ = 2 ．
又圆 与 轴相切于点(0,1)，∴ = 1， = | 0|．
∴圆 的圆心坐标为(2,1)， = 2．
则圆 的方程为( 2)2 + ( 1)2 = 4；
(Ⅱ)如果选择条件①，
∵ ∠ = 120°，| | = | | = 2，
∴圆心 到直线 的距离 = 1．
|2 1+ |
则 = = 1，解得 = √ 2 1或 √ 2 1．
√ 1+1
如果选择条件②，
第 6 页，共 8 页
∵ | | = 2√ 3，| | = | | = 2，
∴圆心 到直线 的距离 = 1．
|2 1+ |
则 = = 1，解得 = √ 2 1或 √ 2 1．
√ 1+1
20.【答案】(Ⅰ)证明：在菱形 中，因为 ⊥ ，
所以 ⊥ ， ⊥ ，所以 ′ ⊥ ．
因为 ′ ⊥ ， ′ ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ′ ⊥平面 ．
因为 ′ 平面 ′ ，所以平面 ′ ⊥平面 ．
(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知 ′ ⊥ ， ′ ⊥ ， ⊥ ，如图建立空间直角坐标系 ，
则 (0,0,0)， (2,0,0)， (0,2√ 3, 0)， (4,2√ 3, 0) ， ′(0,0,2)，
所以 ′ = (0,0, 2)， ′ = ( 2,0,2)， = (2,2√ 3, 0)．
设平面 ′ 的法向量 = ( , , )，
2 + 2 = 0 =
由{ ′ = 0，得{ ，所以{ ．
= 0 2 + 2√ 3 = 0 = √ 3
令 = 1，则 = √ 3， = √ 3，
所以 = (√ 3, 1,√ 3)，所以| | = √ (√ 3)2 + ( 1)2 + (√ 3)2 = √ 7．
又| ′ | = 2， ′ = 2√ 3，
′ 2√ 3 √ 21所以cos < ′ , >= = = ，
| ′ | | | 2√ 7 7
所以直线 ′ 与平面 ′ 所成角的正弦值为√ 21．
7
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知， ′ = (0, 2√ 3, 2)， = (0,2√ 3, 0)，
设 = ′ = (0, 2√ 3 , 2 )，则 = + = (0,2√ 3 2√ 3 , 2 )．
因为 //平面 ′ ，所以 = 0，
第 7 页，共 8 页
即0 × √ 3 + (2√ 3 2√ 3 ) × ( 1) + 2 × √ 3 = 0，
1
所以 = ，即
1
= ′，所以 = 1．
2 2 ′
21.【答案】解：(1)圆 ： 2 + 2 4 = 0，可得( 2)2 + 2 = 4，∴ (2,0)，半径为2，
2 0
∵ 平行于 ，点 ( 1,0)， (1,2)，可得 = = 1， 1 ( 1)
∴设直线 的方程为 = + ，
| +2|
则圆心 到直线 之距 = = = 2，解得 = 2 ± 2√ 2，
√ 2
∴直线 的方程为 = 2 + 2√ 2或 = 2 2√ 2．
(2)假设圆上存在点 ，设 ( , )，则( 2)2 + 2 = 4，
又 2 + 2 = ( + 1)2 + ( 0)2 + ( 1)2 + ( 2)2 = 12，即 2 + ( 1)2 = 4，
∵ 2 2 < √ (2 0)2 + (0 1)2 < 2 + 2，
则圆( 2)2 + 2 = 4与圆 2 + ( 1)2 = 4相交，∴点 的个数为2．
(3)对于线段 上的任意一点 ，若在以点 为圆心的圆上都存在不同的两点 ， ，使得点 是线段 的
中点，
+
设点 ( , 0)， 1 ≤ ≤ 2， ( , )，由于点 是线段 的中点，则 ( , )，
2 2
又 ， 都在半径为 的圆 上，
( 1)2 + ( 2)2 = 2 ( 1)2 + ( 2)2 = 2
∴，{ + ，即{ ，
( 1)2 + ( 2)2 = 2 ( + 2)2 + ( 4)2 = (2 )2
2 2
由方程组有解，即以(1,2)为圆心， 为半径的圆与以(2 , 4)为圆心，2 为半径的圆有公共点，
∴ (2 )2 ≤ ( 1)2 + 4 ≤ (2 + )2对 ∈ [ 1,2]恒成立，
2 2√ 2又4 ≤ ( 1) + 4 ≤ 8，∴ 2 ≤ 4且9 2 ≥ 8，解得 ≤ ≤ 2，
3
又 在圆 外，∴ ( 1)2 + 4 > 2恒成立，
∴ 2 < 4，即0 < < 2，
2√ 2
∴ 的半径 的取值范围为[ , 2)．
3
第 8 页，共 8 页