2024-2025学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年广东省实验中学高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则复数的虚部为( )
A. B. C. D.
2.一组数据，，，，，，，的百分之七十五分位数是( )
A. B. C. D.
3.在四面体中，，，，为的重心，在上，且，则( )
A. B.
C. D.
4.已知随机事件和互斥，且，，则等于( )
A. B. C. D.
5.已知直线过定点，且方向量为，则点到的距离为( )
A. B. C. D.
6.双曲线与椭圆有相同的焦点，一条渐近线的方程为，则双曲线的标准方程为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆：的右焦点为，过点的直线交椭圆于，两点，若的中点坐标为，则的方程为( )
A. B. C. D.
8.椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为的直线过左焦点交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围为，则线段的长度的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在棱长为的正方体中，，分别是，中点，则( )
A. 平面 B. 直线与平面所成的角为
C. 平面平面 D. 点到平面的距离为
10.已知点是左、右焦点为，的椭圆：上的动点，则( )
A. 若，则的面积为
B. 使为直角三角形的点有个
C. 的最大值为
D. 若，则的最大、最小值分别为和
11.如图，曲线是一条“双纽线”，其上的点满足：到点与到点的距离之积为，则下列结论正确的是( )
A. 点在曲线上
B. 点在上，则
C. 点在椭圆上，若，则
D. 过作轴的垂线交于，两点，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知点在角的终边上，则 ______．
13.若为偶函数，则实数 ______．
14.如图，椭圆与双曲线有公共焦点，，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点为两曲线的一个公共点，且，Ⅰ为
的内心，，，三点共线，且，轴上点，满足，，则的最小值为______；的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，已知圆的圆心在直线上，且与直线相切于坐标原点．
求圆的标准方程；
经过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程．
16.本小题分
已知三角形的内角，，所对的边分别为，，，若，且．
若，求；
点在边上且平分，若，求三角形的周长．
17.本小题分
椭圆：过点且离心率为，为椭圆的右焦点，过的直线交椭圆于，两点，定点．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ若面积为，求直线的方程．
18.本小题分
在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面底面，，且，分别为，的中点．
证明：平面；
若直线与平面所成的角为，
求平面与平面所成锐二面角的余弦值．
平面将四棱锥分成上、下两部分，求平面以下部分几何体的体积．
19.本小题分
已知双曲线的实轴长为，渐近线方程为．
求双曲线的标准方程；
双曲线的左、右顶点分别为、，过点作与轴不重合的直线与交于、两点，直线与交于点，直线与交于点．
设直线的斜率为，直线的斜率为，若，求的值；
求的面积的取值范围．
参考答案
1.
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15.解：圆的圆心在直线上，设，则，
解得，即，圆的半径为，
圆的标准方程为；
经过点的直线被圆截得的弦长为，
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
此时直线被圆截得的弦长为，不符合题意，
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
，解得或，
直线的方程为或．
16.解：由正弦定理可知，
，
，
，即，
由余弦定理知，
又，
，由，，知，
故为直角三角形，，
，
故；
点在边上且平分，
所以，即，即，即，
又由于，即，即
代入得到，
所以或舍去，
所以的周长为．
17.解：由题意可得：，，又，
联立解得：，，．
椭圆的方程为：．
．
若轴，把代入椭圆方程可得：，解得．
则，舍去．
若与轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线的方程为：．
把代入椭圆方程可得：．
，，
．
则，解得．
直线的方程为：．
18.证明：取中点，连接，，
因为为的中点，所以，，
又因为，，
所以，，所以四边形为平行四边形，
所以，因为
平面，平面，所以平面；
解：平面平面，平面平面，平面，
，所以平面，
取中点，连接，则，所以平面，
所以，，所以，所以，
又，所以，，
如图，以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
所以，，，
所以，
设平面的一个法向量，，
则，即，取，则，
平面的一个法向量可取，
设平面与平面所成锐二面角为，
所以，
所以平面与平面所成锐二面角的余弦值．
如图，，从而垂直于，四边形为矩形，正三角形中，垂直于，
又垂直于，从而垂直于平面所以四棱锥体积为，
又四棱锥的体积为，所以五面体为．
19.解：由题意知：，，解得，，双曲线方程为．
因为直线斜率不为，设直线方程为，易知，，
设，，联立，得，
则，且，
．
由题可得：：，：．
联立可得：，即，同理
所以
，
故，
因为且，
所以．
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