2024-2025学年重庆市巴蜀中学教育集团高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年重庆市巴蜀中学教育集团高二（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列直线中，倾斜角为钝角的直线是( )
A. B. C. D.
2.若圆：与圆：外切，则的值是( )
A. B. C. D.
3.已知在等差数列中，且，则数列的通项公式为( )
A. B. C. D.
4.已知点在圆上运动，为坐标原点，则线段的中点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
5.已知双曲线的两条渐近线之间的夹角小于，则双曲线的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.已知动点在椭圆：上，，，则的最大值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线：，过左焦点的直线与双曲线交于，两点若存在条直线满足，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点在抛物线中，一平行于轴的光线射向抛物线上的点，反射后反射光线经过抛物线的焦点射向抛物线上的点，再反射后又沿平行轴方向的直线射出则直线与之间的最小距离为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若数列的通项公式为，则下列说法正确的是( )
A. 该数列有个负数项
B. 该数列有无限多个正数项
C. 该数列的最小项大于函数的最小值
D. 该数列中的所有项均为奇数或的倍数
10.椭圆：的左、右焦点分别为、，过的直线与椭圆相交于、两点，其中是椭圆的上顶点，为面积是的正三角形，则下列说法正确的是( )
A. 的周长为 B. 椭圆的离心率为
C. 的长为 D. 的面积为
11.已知实数、满足方程，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围是
B. 的取值范围是
C. 的取值范围是
D. 的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若数列的前项和公式为，则的通项公式为______．
13.当原点到动直线：的距离最大时，实数的值为______．
14.已知抛物线：的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上一动点，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆关于轴对称且经过点和．
求圆的标准方程；
过点的直线与圆交于、两点；若，求直线的方程．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧棱底面，，底面为平行四边形，，、分别在棱、上，平面．
若是的中点，求与平面所成角的余弦值；
若，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知椭圆：的左右焦点分别为，，过且斜率为的直线与椭圆相交于两点，点为的中点，直线的斜率为．
求椭圆的标准方程；
若轴上的点满足，求的取值范围．
18.本小题分
二次函数的图象是抛物线，现在我们用“图象平移”的方式讨论其焦点与准线，举例如下：二次函数的图象可以由的图象沿向量平移得到；抛物线、即的焦点坐标为，准线方程为；故二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
求二次函数的焦点的坐标和准线方程；
证明：二次函数上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等；
已知点，过点的直线与抛物线相交于、两点，过点作轴的垂线与直线相交于点证明：点在定直线上．
19.本小题分
已知双曲线：的左顶点为，左、右焦点分别为、，过的直线与双曲线的右支交于、两点当时，．
求双曲线的标准方程；
若三角形的面积为，求直线的方程；
证明：存在实数，使得恒成立．
参考答案
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15.解：由圆关于轴对称知圆心在轴上，设圆心；
因为圆经过点和，
所以，
解得，所以，圆的半径为，
故圆的标准方程为．
若，则圆心到直线的距离为；
若直线的斜率不存在，则直线的方程为，
圆心到直线的距离为，满足题意；
若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即，
则，解得，
此时直线的方程为，即；
综上所述：直线的方程为或．
16.解：因为，，底面为平行四边形，
所以底面是正方形，连接交于点，连接，
因为平面，平面平面，平面，
所以；又是中点，故E是中点，
以为原点，分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
不妨设，则，，，，
由题意，是的中点，则，
故，
设平面的法向量为，
则，则，
令，得，
记与平面所成角为，
则，
故，
故EF与平面所成角的余弦值为．
，故，
故DE；又，，平面，
平面，故平面，
故平面的法向量，
平面的法向量，
记平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
17.解：设，，，那么；
根据、两点在椭圆上可得：，，
得：，
所以，解得；
又因为，所以，因此的标准方程为．
根据题意：线段的垂直平分线与轴的交点为点；
根据直线的斜率为知与轴不垂直，那么直线为，
联立直线方程和椭圆方程可得，
化简得：，根的判别式恒成立，
根据韦达定理：；
所以；
那么的垂直平分线方程为；
令；
当时：，当且仅当时取等号，此时；
当时：，当且仅当时取等号，此时．
综上：的取值范围是．

18.解：二次函数，
它的图象可以由抛物线沿向量平移得到；
抛物线、即的焦点坐标为，准线方程为；
所以二次函数的焦点坐标为，准线方程为．
证明：设为二次函数上任意一点，则，
故；
而到准线的距离，
故二次函数上任意一点与焦点的距离和到准线的距离相等．
证明：显然直线的斜率存在，故设直线：，
联立，消去并整理得：；
恒成立，
设，，则，；
直线，故；
故
，故，即：点在定直线上．

19.解：由题意得，，又，
解得，，，
故双曲线的标准方程为．
由知，设直线的方程为，
由直线与双曲线的右支交于、两点知；
联立，消去整理得，
则，，
故，
点到直线距离，
故，即，
整理得，解得或舍去，
故，故直线的方程为，即或．
证明：由题意，，
当时：，解得，
不妨取，则，
，所以，满足；
故如果存在实数，使得恒成立，则；
当时，证明恒成立：
设，则；
所以，
则，
所以，
又，故，
所以；
综上所述：存在实数，使得恒成立．
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