2024-2025学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省宝鸡市金台区高二（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.椭圆与椭圆的( )
A. 长轴长相等 B. 短轴长相等 C. 离心率相等 D. 焦距相等
3.经过两条直线和的交点，且垂直于直线的直线方程为( )
A. B. C. D.
4.设椭圆：的左、右焦点为，若点在上，则的周长为( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，以、为邻边的平行四边形的面积为 ( )
A. B. C. D.
6.已知三条直线：，：，：不能围成三角形，则实数的取值集合为( )
A. B. C. D.
7.二面角的棱上有、两点，直线、分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于，已知，，，，则该二面角的大小为( )
A. B. C. D.
8.我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，过点的直线的一个法向量为，则直线的点法式方程为：，化简得类比以上做法，在空间直角坐标系中，经过点的平面的一个法向量为，则该平面的方程为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法中，正确的有( )
A. 直线在轴上的截距是
B. ：与：平行，则实数的值为
C. 若点和点关于直线对称，则
D. 过点且在轴，轴上的截距相等的直线方程为
10.直线：，圆：，下列结论正确的是( )
A. 直线恒过定点
B. 直线与圆必有两个交点
C. 直线与圆的相交弦长的最大值为
D. 当时，圆上存在个点到直线距离等于
11.以下命题正确的是( )
A. 若是平面的一个法向量，直线上有不同的两点，，则的充要条件是
B. 已知，，三点不共线，对于空间任意一点，若，则，，，四点共面
C. 已知，，若与垂直，则
D. 已知的顶点坐标分别为，，，则边上的高的长为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.经过点，且以为一个方向向量的直线的斜截式方程为______．
13.焦点在轴上的椭圆的离心率为，则值为______．
14.已知直线过，且与以，为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，．
求线段的长；
求异面直线与所成角的余弦值．
16.本小题分
已知关于，的方程：．
若方程表示圆，求的取值范围；
若圆与圆外切，求的值；
若圆与直线：相交于，两点，且，求的值．
17.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，且焦距为．
求的方程；
设直线的倾斜角为，且与交于，两点，点为坐标原点，求面积的最大值．
19.本小题分
如图，三棱柱中，侧面，已知，，，点是棱的中点．
求证：平面；
在棱上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：设，，，
则，，．
，
，
．
，
．
．
．
异面直线与所成角的余弦值为．
16.解：关于，的方程：．
整理得：，
由于方程表示圆，所以：，
解得：．
圆的方程转化为：，
圆与圆外切，
，
解得：．
圆与直线：相交于，两点，
则：圆心到直线的距离，
且，
所以利用垂径定理得：，
解得：．
17.解：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，
则，，，，．
证明：因为，，，
设平面的法向量为，
则，令，则，，所以，
因为，所以，
因为平面，所以平面；
因为平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
18.解：依题意可知，解得，，
故C的方程为．
依题意可设直线的方程为，
联立，整理得，
则，解得．
设，，
则，，
，
原点到直线的距离，
则的面积，
当且仅当，
即时，的面积有最大值，且最大值为．
19.证明：，，，
，
，得，
又侧面，，
又，平面；
以为原点，，，分别为，，轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，．
则，．
设平面的法向量为，
则，令，求得．
假设在棱上存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，
不妨设，．
又，，
，，
，
又平面的法向量为，
则与平面所成角的正弦值为：
，，
化简得，解得或．
在棱上存在点，使得与平面所成角的正弦值为．
此时或．
第1页，共1页