2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区青苗国际学校常营校区高一（上）期中
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.下列关系中正确的个数是( )
；；；．
A. B. C. D.
3.“”是“函数单调递增”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设，，则两数最精确的关系是( )
A. B. C. D.
5.若，，则下列命题正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6.一元二次不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.下列四组函数中，表示同一函数的一组是( )
A. ， B. ，
C. D.
8.函数的( )
A. 最小值是，最大值是 B. 最小值是，最大值是
C. 最小值是，最大值是 D. 没有最大值也没有最小值
9.若实数，，且，则( )
A. 有最大值为 B. 有最小值为
C. 有最小值为 D. 无最小值
10.已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集的补集是( )
A. B.
C. ， D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知集合，，若，则的取值范围是______．
12.用符号语言表示命题：对于所有的实数，满足：______；该命题的否定为______．
13.已知，则的最小值为______．
14.若不等式对一切恒成立，则的取值范围是______．
15.已知是偶函数，当时则当时______．
16.，若，则 ______．
三、解答题：本题共4小题，共48分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
若，且，求的值．
18.本小题分
某广告公司要为客户设计一幅周长为单位：的矩形广告牌，如何设计这个广告牌可以使广告牌的面积最大？
19.本小题分
已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．
求的值；
求满足的的取值范围．
20.本小题分
已知函数，．
Ⅰ判断函数的奇偶性，并说明理由；
Ⅱ当时，证明：函数在上单调递减；
Ⅲ若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.， ，
13.
14.
15.
16.或
17.解：，，且，
，
或，
解得，或，或，或，
当时，，，成立；
当时，，，成立；
当时，，，成立；
当时，，，不成立．
的值为，，．
18.解：由题意，可设矩形广告牌的一边长为，
则另一边长为，且．
设矩形广告牌的面积为，则
．
根据二次函数的性质，可知
当时，，
此时另一边：．
当矩形广告的四边都为时，广告牌的面积最大．
19.解：函数在上递减，
即，又
或，又函数图象关于轴对称，
为偶数，故为所求．
函数在，上均为减函数
等价于或或，
解得
故的取值范围为
20.Ⅰ解：，
又的定义域为且，
函数为奇函数；
Ⅱ证明：任取，，设，则
．
，，，
，
．
又，
函数在上单调递减；
Ⅲ解：
．
不等式恒成立化为不等式对任意的恒成立．
令函数，其中，且．
当时，抛物线开口向下，不合题意；
当时，恒成立，符合题意；
当时，．
只需，
即．
综上，的取值范围是．
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