2024-2025学年浙江省杭州市高一（上）期中数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市高一（上）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 充要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则
4.已知函数的定义域为，则函数的定义域为( )
A. B. C. D.
5.若，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数为定义在上的奇函数，当时，，则当时的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.存在三个实数，，，满足下列两个等式：；，其中表示这三个实数，，中的最大值，则( )
A. 的最大值是 B. 的最小值是
C. 的最大值是 D. 的最小值是
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的有( )
A.
B.
C.
D. 若，，则
10.已知函数满足，下列结论正确的是( )
A. B.
C. 为奇函数 D. 为偶函数
11.已知，，，则下列结论正确的有( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
三、填空题：本题共3小题，共20分。
12.计算 ______．
13.若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______．
14.如图，边长为的菱形的两条对角线交于点，且动点从点出发，沿着菱形四条边逆时针运动回到点，记运动的路程为，点到点距离的平方为，则函数在上单调递______填“增”或“减”；若关于的方程恰有个不等实根，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，集合．
若，求；
若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知函数．
若，求的值；
若，求函数的最小值．
17.本小题分
已知定义在上的奇函数满足：对，，且，都有成立，且．
若函数．
求证：函数是偶函数；
求函数的单调区间；
求不等式的解集．
18.本小题分
已知函数
若是上的增函数，求实数的取值范围；
若，方程有三个实数解，，
写出实数和的取值范围；
求证：．
19.本小题分
已知二次函数满足：有两个实数根，．
若，求实数的取值范围；
若，，记在时的最小值为，求的表达式；
若，，，与都是整数且，求，的值．
参考答案
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12.
13.
14.减
15.解：根据题意，集合，
若，则，
故A；
根据题意，若是的充分不必要条件，
则，
则有，解可得，
即的取值范围为
16.解：因为函数，；所以，
所以，
所以；
若，
则函数，
设，，则，当且仅当时取等号；
所以，所以，
因为函数在时单调递增，
所以时取得最小值为．
17.解：定义在上的奇函数满足：
对，，且，都有成立，且，
所以，
证明：若函数，
则，
所以函数是偶函数；
，，且，都有，
所以，
所以，即在上单调递减，
根据偶函数对称性可得，在上单调递增，
所以的单调递减区间为，单调递增区间为；
因为，是偶函数，
所以，由，
故可转化为或，
当时，由得，即，
因为在上是减函数，所以；
当时，由得，即，
因为在上是增函数，所以，
即不等式的解集为．
18.解：因为，
又是上的增函数，
所以，解得，
所以实数的取值范围为；
当时，，
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又，
令，即，解得；
当时，，
则在上单调递增，
且，；
则的图象如下所示：
因为方程有三个实数解，，，
即与有三个交点，
由图可知，
且，，
所以；
证明：由可知，
所以，
所以
，
令，
因为，
所以，
则，
所以
则，
又对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
又，
所以，
所以，
所以．
19.解：由已知得有两个不等实根，
，
解得或．
实数的取值范围是．
由，知，
，
，
，
，
当时，的图象是开口向上的抛物线，
当时，，，
时，，，
．
由题意，，
由，得，
方程的解都是整数，则或，
，即时，，，
，即时，，，
综上，时，，；时，，．
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